高一数学下备课笔记

第三讲 反函数【知识要点】1.反函数的定义一般的，对于函数，设它的定义域为，值域为。如果对中任意一个值，在定义域中都有唯一确定的值与它对应，使成立，这样得到的关于的函数叫做的反函数，记为。习惯上，自变量常用表示，而函数用表示，所以把它改写成为。【析】 （1） 反函数的存在性问题：不是所有的函数都存在反函数；一个函数具有反函数的充要条件是确定这个函数的对应是从定义域到值域上的一一对应；单调函数必有反函数（但存在反函数的函数不一定是单调函数），且函数与其反函数在各自的对应区间上的单调性一致；奇函数不一定存在反函数，但奇函数若存在反函数，则其反函数也是奇函数；偶函数也可能有反函数，如：（2） 求反函数的基本步骤（三部曲）：反求：通过解方程，得，即把用表示出来；交换：交换的位置，即把改写成；求域：指出或求出反函数的定义域。反函数的性质（1）原函数的定义域是其反函数的值域，原函数的值域是其反函数的定义域；（2）函数的图像与它的反函数的图像关于直线对称。【析】原函数过点，则其反函数过点，即设函数存在反函数，则函数和函数的图像是同一图像；函数和函数的图像关于直线对称反函数为其本身的函数称为自反函数，自反函数具有以下性质：定义域和值域相等；的图像关于直线对称。【学习目标】理解反函数的概念会求反函数及其定义域掌握互为反函数的图像的对称问题能解决一些与反函数有关的问题【典型例题】1反函数的概念问题【例1】判断下列命题是否正确，若不正确，请举一反例说明：（1）函数的定义域为M，值域为N，则函数的反函数是；（2）若函数有反函数，则一定为单调函数；（3）奇函数一定有反函数，偶函数一定没有反函数；（4）分段函数一定没有反函数.【分析】利用反函数的概念.【解答】（1）对；（2）不正确，如有反函数，但不是单调函数；（3）不正确，如为奇函数，但没有反函数；，为偶函数，但有反函数； （4）不正确，如分段函数有反函数.【点评】掌握反函数的概念是解决这类问题的关键.2求反函数的问题【例1】求下列函数的反函数：（1）； （2）；（3）； （4）.【分析】利用求反函数的三步曲.【解答】（1）由， 交换得反函数：； （2）由， ， 交换得反函数：， 又原函数在上递减，相应的， 反函数为； （3）当时， 反函数为； 当时， 反函数为； 反函数为； （4）， ， +得， ， 反函数为.【点评】（1）求一个函数的反函数，一般要求出解析式并注明反函数的定义域；（2）求解析式要涉及到解方程，若出现多解情况，应考虑的取值范围而取舍，至于求分段函数的反函数时，应分别求其解析式；（3）求反函数的定义域可以通过求原函数的值域来确定.【例2】已知函数和是互为反函数，求的值.【分析】通过交换来求解反函数.【解答】在中交换得；又，.【点评】“交换”是求反函数过程中的必要步骤，正确理解其涵义并合理运用，往往使运算过程简化.3反函数的求值问题【例1】已知函数在定义域上存在反函数，且.求.【分析】利用反函数的概念.【解答】解法一：令， ， 再由， ； 解法二：令， ， 令， ，.【点评】解法二灵活利用了反函数的概念，避开了求反函数的过程，从而简化了运算，这是反函数求值的最基本的技能技巧.【例2】函数的反函数的图像经过点，求的值.【分析】灵活利用反函数的概念，避开求反函数.【解答】由已知有：原函数的图像经过点，再令，即.【点评】本例的反函数为对数函数，在下一讲中学习.4反函数的应用问题【例1】求函数的值域.【分析】利用反函数的定义域就是原函数的值域.【解答】由，反函数，函数的值域为.【点评】（1）求函数的值域可以转化为求其反函数的定义域，这种方法实际上是转化法求函数值域的一种特例，即转化为求的取值范围；（2）利用反函数的定义域来求原函数的值域的方法称为“反函数法”，但须注意，“反函数法”一般只适用原函数的定义域为自然域（即使函数表达式有意义的的取值范围）的情况。【例2】已知的反函数，求证：对任意正实数，都有.【分析】可以先求出反函数的关系式，再解决上述问题；或不求反函数，直接利用反函数的单调性.【解答】，又易知函数在是单调递减，且，在单调递减，.【点评】利用原函数研究其反函数，是反函数有关证明问题的常用思路.5反函数的图像问题【例1】已知函数的图像过点，它的反函数图像也过此点，求函数 的解析式.【分析】利用互为反函数的两个函数图像间的关系.【解答】函数与反函数的图像关于直线对称，反函数图像过点，则原函数图像过点，由已知得：，.【点评】本例若求反函数，再以点代入，虽思路自然，但过程繁琐.【例2】已知函数的图像关于直线对称，求实数的值.【分析】函数图像关于自身关于直线对称，即函数的反函数是其本身.【解答】解法一：由，反函数为，函数的图像关于直线对称，函数的反函数是其本身，；解法二：函数的图像过点，它的反函数过点，又函数的图像关于直线对称，函数的反函数是其本身，点也在函数的图像上，.【点评】反函数等于本身的函数，称为自反函数.常见的自反函数有：（1）；（2）.【例3】（1）设集合，其中， 为实常数，则它在图像上反映出的类似特征是_；（2）如果函数具有下列其中的一个性质，利用（1）的结论判断它是否一定 存在反函数？并说明理由：周期函数；单调函数；在定义域内不是单调函数.【分析】分析反函数的特征.【解答】（1）由函数的概念知：对于定义域内中的任意一个值，在值域中有且仅有唯一的值和它对应；反映在函数的图像上，即有，则直线与函数的图像有唯一交点；若，直线与函数的图像没有交点；的元素个数为0或者1个.（2）一定不存在反函数，垂直于轴的直线与函数图像有无穷多个交点；一定存在反函数，垂直于于轴的直线与函数图像最多有一个交点；不一定存在反函数，垂直于轴的直线与函数图像有无穷多个交点（如周期函数），从而没有反函数；或垂直于于轴的直线与函数图像最多有一个交点（如函数），从而有反函数.【点评】本例讨论了反函数的图像特征，其结论用来判断函数是否存在反函数显得更简洁.【基础训练】1. 函数的反函数的定义域是_。2. 函数图象恒过定点，若存在反函数，则的图象必过定点 .3. 已知的反函数为的图象经过点，则= 。4. 函数（）的反函数_5. 若函数y=f(x)的图象与函数y=lg(x+1)的图象关于直线xy=0对称,则f(x)=（ ） A10x1. B110x. C110x. D10x1.6. 若函数（0，且1）的反函数的图像过点（2，1），则 7. 函数f(x)=x3+1的反函数f-1(x)=_8. 若函数f(x)的反函数为(x)=x2(x0),则f(4)= .9. 函数的反函数 .10. 若函数f(x)=ax(a0,且a1)的反函数的图像过点(2,1),则a= .11. 函数的反函数12. 函数（）的反函数 13. 函数 的反函数是 .14. 已知函数，则方程的解_.15. 函数的图象过点（，），则， 16. 设的反函数为，若函数的图像过点，且， 则 17. 设a0,a1,函数y=logax的反函数和y=的反函数的图象关于 ( )A. x轴对称 B. y轴对称 C. y=x对称 D. 原点对称【能力提高】 1. 已知函数，则_.2.记的反函数为，则方程的解 3. 函数的反函数为（ ）A. B. C. D. 4. 已知函数f(x)=-在区间上的反函数是其本身，则可以是 （ ）A-2，-1 B -2，0 C0，2 D5. 设函数的图像关于原点对称，且存在反函数. 若已知，则 6. 设函数 （）的反函数为，若函数的图像不经过第二象限 ， 则的取值范围 .7. 函数在定义域内存在反函数, 则= ( ) A. B. C. D.8. 已知函数.（1）求证：函数在内单调递增；（2）记为函数的反函数. 若关于的方程在上有解，求的取值范围.第四讲 对数函数【知识要点】对数一般地，如果的次幂等于，即，则数叫做以为底的对数。记作：【析】 （1） 负数和零没有对数 （2）指对数互化： （3）常用对数（以10为底）：自然对数（以无理数为底）： （4）对数的运算性质：对数函数的概念函数叫做对数函数，其中是自变量，它的定义域为【析】 （1） 对数函数和指数函数在底数相同条件下是互为反函数。因此，指数函数的反函数叫做对数函数，这里指数函数的底数和对数函数的底数限制条件应相同。 （2） 对数函数的解析式中底数是常数，真数是自变量，认清常数与自变量的位置是相当重要的，若，这个函数是对数函数的倒数了。对数函数的图像与性质（1） 对数函数的定义域为，即对数函数的图像都在轴右方。（2） 对数函数的值域为，结合性质1得到对数函数的图像必通过第一、四象限（3） 对数函数必有，即函数图像恒过定点（4） 对数函数，当时，在上单调递增函数。 对数函数，当时，在上单调递减函数。（5） 对数函数，对于，当时，；当时， 对于，当时，；当时，（6） 对数函数，对任意正整数，恒有（7） 对数函数的图像是以轴为渐近线的曲线（8） 对数函数的图像特征如图所示。【析】 （1） 由于同底数的指数函数和对数函数是互为反函数，学习对数函数性质时，应采用类比的方法和指数函数的性质进行对照比较。 （2） 和指数函数一样在讨论对数函数的单调性、大小、图像问题是应对底数分类讨论【学习目标】理解与是互为反函数会求对数函数的定义域和值域会用描点法画出对数函数的图像会用计数器求对数函数的值掌握对数函数的性质，利用性质解决对数函数问题会判断对数函数的单调性、值的大小【典型例题】1对数的概念及其运算问题【例1】已知，求实数的值.【分析】利用对数的概念，把各个对数式化成指数形式计算.【解答】设，则，代入已知等式，.【点评】定义法解题是其基本方法，也是解决对数问题的重要手段.【例2】计算：（1）；（2）.【分析】利用对数性质以及对数恒等式进行计算.【解答】（1）原式；（2）原式【点评】熟练掌握真数商积幂与方根的对数运算性质，可以化简对数式，给运算带来方便.上述计算结果是否正确，还可以通过计算器的演算来验证.2对数函数的概念【例1】求下列函数的定义域： （1）；（2）；（3）.【分析】对数型函数的定义域确定条件：底数非1的正数，真数大于0.【解答】（1）得定义域为；（2）且且, 求得定义域为；（3）由分式得，再由对数函数得，且，求得定义域为.【点评】对数型函数有意义的条件是：底数是非1的正数，真数必须大于零.【例2】函数， （1）若其定义域包含一切负实数，求实数的取值范围； （2）当时，求的反函数.【分析】从不等式的解集入手.【解答】（1）从不等式的解集为， 而，.（2）时，互换，得反函数是； 时， 同理可得反函数是.【点评】解决指数与对数函数的反函数问题，求反函数的解析式的过程，实际上利用对数的意义，进行指数与对数式互换来完成，要注意的是反函数的定义域的确定.3对数函数的单调性及应用【例1】写出下列函数的单调递增区间： （1）；（2）；（3）.【分析】先求函数定义域，在由复合函数的单调性求出单调区间.【解答】（1）定义域满足，其中是增函数， 而函数在定义内的增区间是，递增区间是； （2）求得定义域为， 其中是减函数，而函数在定义域内的减区间是和， 递增区间是和； （3）定义域满足得， 其中在定义域上是增函数， 当时，递增区间是， 当时，此函数没有递增区间.【点评】由于单调区间是定义域的子集，解决对数函数的单调性问题要先求其定义域；有关复合函数的单调性有：同增（或同减）得到的复合函数为增函数，增减得到的符合函数为减函数；对数函数的单调性依据底数的大小而定增减性.【例2】已知，用定义法证明：该函数是递减函数.【分析】代换成初等函数的单调性来证明.【证明】函数定义域为，设，对任意，且，又，即证得函数在是递减函数.【点评】复合函数的单调性的证明，一般可代换成初等函数的形式，先解决初等函数的单调性的证明，再来完成复合后的函数单调性证明.【例3】已知，求实数的取值范围.【分析】利用对数函数的单调性以及大小性质.【解答】对数有意义的条件是：，而，由于是递减函数，求得.【点评】比较对数函数的大小，除考虑函数的单调性外，最好与其图像结合来考虑，使解决问题直观，便于找到转化条件.4对数函数的奇偶性问题【例1】判断下列函数的奇偶性： （1）；（2）.【分析】从奇偶函数的定义来思考.【解答】（1）任给，都成立，故该函数是偶函数；（2），任给， 都成立，故该函数是奇函数.【点评】若是偶函数，则函数可能是偶函数；对于研究函数 是否是奇函数情况，一般只能通过奇函数的定义来解决.【例2】函数()， （1）判断它的奇偶性； （2）求它的反函数.【分析】先猜它的奇偶性，进一步证明猜想.【解答】（1）函数的定义域为，猜测它为奇函数，对于任意实数， 故该函数是奇函数；（2）令，反函数为.【点评】对于定义域关于原点对称的的指对数型函数的奇偶性，可以在其定义域内取特殊值，求其函数值和来观察它的奇偶性，然后推证；求指数、对数型函数的反函数中的解方程过程，实际上是指对数互相转化的过程.5对数函数的图像问题【例1】画出下列函数的大致图像： （1）；（2）.【分析】先研究函数的性质，再利用图像变换关系画图像.【解答】（1）当时，函数的图像可以看作函数的图像左移2个单位得到，当时，此函数是偶函数，利用偶函数图像性质，画图如下；（2）由于时，函数，当且仅当时取等号，函数，以下可采用描点法完成图像.（1） （2）【点评】除了可以用描点法画复合函数的图像，还可以先研究函数的性质（定义域、值域、奇偶性、单调性以及图像过定点等），利用性质刻画函数的图像特征.【例2】若，则从小到大的顺序是_.【分析】利用函数的图像.【解答】在平面直角坐标系内，分别画出函数的图像，由于，在坐标平面内分别画出直线与对应的函数图像相交，由其交点的高低得到.【例3】是上的减函数，那么的取值范围是（ ）.【分析】利用图像.【解答】一次函数递减：，对数函数递减：，又在处也符合递减关系，求得.故选C.【点评】通过函数图像的直观性解题，减少繁琐的运算，这就是用函数的数形思想解决问题的重要手段，对数函数的所有性质都是其函数的图像特征，类似地，对数函数的图像上也相应地反映了该函数的代数性质.6对数函数值问题【例1】对数函数的图像过点，则方程的近似解_.【分析】先求出对数函数的解析式，再结合图像找出近似解的可能范围，通过计算器算出近似解.【点评】设，将代入，由计算器演算：，方程的近似解.【解答】对数函数值的计算问题，除了利用对数运算定义和性质求值外，计算器的合理使用也是必不可少的，借用计算器还可以比较对数值的大小问题.【例14】已知，求的最大值，及取得最大值时的值.【分析】利用函数的性质.【解答】，的定义域是，要使所求函数有意义的条件是：， ，当，即时，当时，函数取最大值13.【点评】代数转化成初等函数以及我们熟悉的函数的最值问题的计算，注意：有意义的条件是.【基础训练】1. 函数的定义域是_2. 若函数f (x ) =，则f (log23)= .3（lg2）2+lg5lg20= 4已知lg2=a，lg3=b，则等于_.5已知2 lg(x2y)=lgxlgy，则的值为_.6. 函数y=的定义域为_.7. 函数的图像恒过一定点是_.OxyOxyOxyOxy8若的图像是 （ ）A B C D9若在区间上是增函数，则的取值范围是（ ）A BCD 10. 函数的值域为 ( )ABCD11. 设函数，则的值为 ( )A0 B1 C10D不存在12. 已知函数在区间上的函数值大于0恒成立，则实数a的取值范围是A B C D13. 函数y = logax和y = (1a)x+a的图象只可能是 （ ）A B C D14. 若（），则函数的图象 （ ）A关于直线y=x对称B关于x轴对称C关于y轴对称D关于原点对称15. 求不等式log0。5（3x-1）1的解集.16. 解方程： .17. 已知函数，（，且）（1）求函数的定义域；（2）求使函数的值为正数的的取值范围18. 已知函数.（1）若，求的值；（2）若关于的方程在有解，求实数的取值范围.【能力提高】 1. 函数 如果，则的取值范围为_. 2. 设函数，则在区间内有定义且不是单调函数的充要条件是 . 3若log2=0，则x、y、z的大小关系是 （ ）Azxy Bxyz Cyzx Dzyx4. 函数在上的最大值与最小值之和为，则的值为（ ） A B C2 D4A.B.C.D.5. 函数的图像为 （ ）6已知函数y=log (ax22x1)的值域为R，则实数a的取值范围是（ ） Aa 1 B0a 1 C0a1 D0a1 7. 已知是R上的增函数，点A（1，1）,B（1，3）在它的图象上，为它的反函数，则不等式的解集是 （ ）A（1，3）B（2，8）C（1，1）D（2，9）8. 已知函数f(x)=lg(a21)x2(a1)x1，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围9. 已知函数f(x)=loga(aax)且a1，（1）求函数的定义域和值域；（2）讨论f(x)在其定义域上的单调性；（3）证明函数图象关于y=x对称第五讲 简单的指数、对数方程【知识要点】 1简单的指数方程 我们把指数里含有未知数的方程叫做指数方程【析】 解指数方程的常见题型及方法：（1），化成对数式得到（2）同底的幂相等及指数相等得；（3），代换法设方程化为先求方程未知数的解，再解方程求出 的值；（4）两边取对数得方法（通常取常用对数），由对数幂的运算性质得到我们熟悉的方程来求解2简单的对数方程对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程【析】 解对数方程的常见题型及方法：（1），化成指数式得到；（2）同底的对数相等及真数相等得（3），代换法设方程化成为先求方程未知数的解，再解方程，求出的值。注意：对数方程求出的解必须要检验；若未知数出现在底数时，可用换底公式来解决【学习目标】理解指数函数方程、对数方程的概念掌握简单的指数方程、对数方程的解法：同底转化法、代换法，理解对数方程求解中要验根的必要性会利用指数、对数函数的图像求方程的近似根【典型例题】1解简单的指数方程【例1】解方程： （1）；（2）；（3）.【分析】化为同底的幂，利用指数函数单调性转化成整数形式求其解；或用两边取对数的方法求解.【解答】（1）方程化为，所以； （2）方程化为：， ； 另解：两边取常用对数： ， ，； （3）两边取常用对数： ，.【点评】解指数方程，一般可先尝试是否可化成同底幂的方程（）；对于等式两边底数不同，可采用两边去对数的方法求解，如果是方程.【例2】解方程：.【分析】代换法设，转化成的整数方程，先求出再求的值.【解答】方程化为，设，则方程转化为：，.【点评】对于型方程，可用代换法设转化为先求关于的一元二次方程的根作为铺垫，求解过程要注意指数函数的值域验根.【例3】方程：的解是_.【分析】将方程化为的形式，两边除以，再设，转化为先求的方程的解，进而求.【解答】方程化为两边都除以，并设得，.【点评】寻找底数不同幂的联系，不难发现通过代换法可转化成齐二次方程来求解.2解简单的对数方程【例1】解方程： （1）；（2）；（3）.【分析】对于型对数方程，利用指对数互化转化求解.【解答】（1）由指对数互化：， 经检验方程的解为； （2）原方程化为：， 经检验方程的解为； （3）， 经检验方程的解为.【点评】由于对数函数的定义域为，且对数式的变形过程又不一定等价，因此变形过程中有时会增根，有时会失根，所以求解对数方程时，一定要检验.【例2】解方程： （1）；（2）.【分析】（1）两边转化成以2为底的对数，利用对数函数是单调函数，化去对数转化为整式方程求解，并验根；（2）用换底公式化为同底的对数求解.【解答】（1）化成对数形式： ，令， 方程化为， ， 经检验方程的解为； （2）用换底公式化成以2为底的对数方程：， ，经检验方程的解为.【点评】通过换底公式将方程两边化成同底的对数形式，是解对数方程的常用方法.【例3】已知，求的值.【分析】等式看作关于的方程求解.【解答】方程化为：，.【点评】解对数方程要检验，检验的基本方法是将解代入原方程考查两个方面：式子是否有意义和等号两边值是否相等.3指、对数混合型方程问题【例1】解方程： （1）；（2）.【分析】两边取常用对数的方法求解.【解答】（1）两边取常用对数：， ，经检验它们都是方程的解； （2）， 原方程化为， 两边取常用对数，可得， 经检验它们都是方程的解.【点评】两边取对数是解这类指、对数混合型方程问题的常用方法.4含参数的指、对数方程问题【例1】已知关于的方程有一个根是2，求的值并解此方程.【分析】先换元求出的值，再把代入.【解答】设，则原方程化为：， ， 把代入求得：， （1）当时，由， （2）当时，由.【点评】解含参数的方程时，要注意对参数分类讨论.【基础训练】1. 方程的解_.2. 若为方程的两个实数解，则 3. 若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是 . 4. 已知(a0) ，则 .5. 已知= .6. 若函数，则f（4）= .7. 若函数的定义域为，则的取值范围为_.8. 已知函数的取值范围是 .9. 设函数f(x)= ，则满足f(x)= 的x值为_.10. 已知函数的反函数的图象经过点（-1，2），那么a的值等于 .11. 若偶函数满足且时,则方程的零点个数是 ( )A. 2个 B. 4个 C. 3个 D. 多于4个12. 已知函数是以2为周期的偶函数，且当的值为 ( ).ABC D13. 函数的反函数是 （ ）14. 以依次表示方程的根，则的大小顺序为 （ ）A B C D15. 函数定义在上且当时, 若，求实数的值.16. 已知函数f(x)=log4(4x+1)，g(x)=(k1)x，记F(x)=f(x)g(x)，且F(x)为偶函数(1)求实常数k的值；(2)求证：当m1时，函数y=f(2x)与函数y=g(2x+m)的图象最多只有一个交点【能力提高】 1. 已知，那么等于_.2. 若，且。则=_.3. 使成立的的取值范围是 4. 函数与函数的图象及与所围成的图形面积是_ 5. 已知函数的图像与函数（且）的图像交于点，如果，那么的取值范围是_.6. 已知函数，若实数是方程的解，且，则的值为 ( ) A恒为正值 B等于 C恒为负值 D不大于7. ，函数，则的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 8. 设是函数的反函数，则使成立的x的取值范围为（ ）A B C D 9. 已知函数f(x)=ax+ (a1)（1） 证明：函数f(x)在(-1,+)上为增函数；（2） 用反证法证明f(x)=0没有负数根.10. 已知函数f(x)2x若f(x)2，求x的值若2t f(2t)+m f(t)0对于t1,2恒成立，求实数m的取值范围.第五章 三角比第一讲 任意角及其度量【知识要点】 1角的概念的推广 （1） 定义：角是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。 规定：射线按逆时针方向旋转所形成的角为正角；射线按顺时针方向旋转所形成的角为负角； 射线没有旋转（终边与始边重合）也认为形成了一个角，该角叫做零角 （2） 象限角：顶点在原点，始边在轴的正半轴，终边落在第几象限就说这个角时第几象限的角。 （3） 终边相同的角：与角终边相同的角的集合为【析】 终边在州的正半轴上的角的集合为；终边在轴的负半轴上的角的集合为；终边在轴上的角的集合为；终边在轴上的角的集合为；终边在坐标轴上的角的集合为；第二象限角的集合为2弧度制（1） 1弧度：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小（2） 角度制与弧度制换算关系：弧度，弧度，1弧度（3） 常见特殊角的角度数与弧度数对照表：角度数弧度数【析】 用弧度制度量角，即在角的集合与实数集之间建立了一一对应关系 （4） 象限角的表示： 第一象限的角的集合：； 第二象限的角的集合： 第三象限的角的集合： 第四象限的角的集合：3弧长公式与扇形面积公式若扇形圆心角的弧度数为，半径为，弧长为，面积为，则（1）；（2） 4任意角的三角比 定义：点是任意角终边上的任意一点，记 规定：【析】 三角比中角的范围：三角比在各象限的符号，如下图：5终边相同的角的同名三角比终边相同的角的同名三角比相等，即 【析】 这组公式可将任意角的三角比化为内的角的三角比【学习目标】理解任意角和象限角的概念，会表示与角终边相同的所有角的集合，会表示某象限角的全体理解角的弧度制，会进行角度制与弧度制的换算知道利用扇形的圆心角的弧度制和半径求出扇形的弧长和面积掌握任意角的三角比的定义，会根据角的终边上的一点的坐标求出角的六个三角比，会利用任意角的三角比的定义进行三角比的求值、化简和证明知道任意角的六个三角比在各个象限内的符号，能确定某个角的三角比的符号借助计算器能求出已知角的三角比【典型例题】1.根据角的终边判断角的范围问题 【例1】 判断下列各角分别是第几象限角：(1)2345；(2)-1650；（3)；（4）【分析】先将任意角化为或的形式，再判别角所在象限.【解答】【点评】将任意角化为形式，可以是，也可以是，如【例2】 设是第一象限的角，试讨论是哪个象限的角？【分析】先表示第一象限角的范围，再求出的范围.【解答】【点评】按同样的方法，当是第二、第三、第四象限的角时，可推知所在的象限，可用右图简记如下：说明：标有I、II、III、IV的区域，分别是当是第一、第二、第三、第四象限的角时，所在的区域.【例3】 写出终边位于图(1)和图(2)中阴影部分(包括边界)内的角的集合： (1) (2)【分析】先在内表示终边位于阴影部分内的角的集合：，再用终边相同的形式来表示符合条件的角的集合.【解答】【点评】以上集合也可以用角度制来表示.第(2)小题若表示成，则为终边位于非阴影部分内(包括边界)的角的集合.2.弧长与扇形面积公式的应用问题 【例1】 已知一个扇形的周长为定值a,求其面积的最大值，并求此时圆心角的大小.【分析】根据扇形面积公式，应建立扇形面积关于其半径的目标函数.【解答】【点评】本例还可以利用基本不等式来求最大值：3.求值问题 【例1】 已知直线与圆交于A、B两点，点A在轴上方，O是原点.a) 求以射线OA为终边的角的正弦值；b) 求以射线OB为终边的角的正弦值.【分析】根据三角比的定义可知，求出角终边上除顶点外一点的坐标是关键.【解答】由得 点A、B的坐标分别为、.于是【点评】运用三角比定义可简化解题.【例2】 设实数t0,直线与交于点P,角的终边经过点P,求的值.【分析】先求出点P的坐标，再计算出，最后就和两种情况计算出的值.【解答】由得点P的坐标为(-4t,3t).【点评】本题对与两种情况的讨论运用了数学中分类讨论的思想.4.化简问题 【例1】 【分析】本题运用三角比定义解答，注意及开方过程中的符号讨论.【解答】设为角终边上任意一点，它与原点的距离是r(r0),则，且 (否则cot与sec至少有一个无意义).【点评】本例运用定义化简三角函数关系式不失为化简的一个巧妙方向；需要注意的是开根号时的符号问题.5.证明类问题 【例1】 根据任意角的三角比的定义证明.【分析】运用三角比的定义证明三角恒等式，前提条件是给定的式子都有意义，它所运用的数学思想是等价转化思想，即把三角恒等式的证明问题转化为的代数运算问题.【解答】依三角比的定义，有【点评】等价转化方法是用“”的比值代替三角比的值.【基础训练】1.在平面直角坐标系中画出下列各角，并指出每个角的正负以及它所在的象限.2.下列结论是否正确？(1) 第二象限的角大于第一象限的角；(2) 第一象限的角都是正角；(3) 锐角都是第一象限的角；(4) 相等的角终边相同，终边相同的角不一定相等.3.写出下列角的集合.(1) 终边落在轴的非负半轴上的角；(2) 终边落在轴的非正半轴上的角；(3) 终边落在轴上的角；(4) 终边落在坐标轴上的角.4.写出在到之间与的角终边相同的角.5.设角满足，且与的终边重合.则角的大小是( )6. (A) (B) (C) (D) 7. 8. (A) (B) (C) (D) 9. (A)第一象限角 (B)第二象限角 (C)第三象限角 (D)第四象限角10. 11.12.已知3rad的圆心角所对的圆弧的弧长为9，那么此圆心角所夹的扇形面积是 .13.已知圆中的一条弦长等于其半径r,那么此弦和其所对的劣弧所组成的弓形面积等于 .14. 15. 16. 17. 18. (A) (B) (C) (D) 19. 如果MP和OM分别是的正弦线和余弦线，那么( )(A) (B) (C) (D) 20(A)第一或第二象限角 (B) 第二或第四象限角 (C)第一或第三象限角 (D) 第二或第三象限角21. (A)-2,4 (B) 4,2,0,-2(C)-2,0,4 (D) -4,-2,0,422. 已知为第一象限的角，那么能确定函数值为正值的是( )(A) (B) (C) (D) 23.设是第三象限的角，且，则是( )(A)第一象限角 (B) 第二象限角 (C)第三象限角 (D) 第四象限角24. 设是第二象限的角，则是( )(A)第一象限角 (B) 第二象限角 (C)第三象限角 (D) 第四象限角25.已知点是角的终边上一点，且，求的值.26.已知，化简27.根据任意角的三角比的定义证明.【能力提高】1. (A)不是第三象限角 (B) 不是第四象限角 (C) 是第四象限角 (D) 不是第一象限角2. 3. 将时钟的分针拨慢10分钟，那么此过程中分针经过的弧度数是( )(A) (B) (C) (D) 4. 5. 半径为r的扇形，它的周长等于所在弧的半圆长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少角度？扇形的面积是多少？6.一个圆锥的侧面的面积是1cm2，它的底面周长是2cm，求它的侧面展开图的圆心角的弧度数和弦长.7. 点O是坐标原点，角的终边上有一点M，|OM|=2，角的终边上有一点N，|ON|=4，P为MN的中点，求以OP为终边的角的正切值.8. 9. 10若点P()在角的终边上，且求实数a的取值范围.11. 13.对，已知，且，确定角是第几象限的角或终边的位置.14.已知，求.15.设，求角的其他三角函数值.16.设，求使成立的的取值范围.第二讲 同角三角比关系及诱导公式【知识要点】 1同角三角比的关系（1） 倒数关系：（2） 商数关系：（3） 平方关系：【析】 同角三角比的八个关系都是当取使关系式的两边都有意义的任意值；广义理解“同角”，如三个倒数关系与是五个最基本的同角三角比的关系，其余3个可由其推出；同角三角比的八个关系的基本作用是：已知某角的一个三角比的值，可求该角的其他三角比的值；化简含有三角比的式子；证明三角比的恒等式或条件等式；利用同角三角比的八个关系进行三角比的恒等变形的常用方法是：“化弦”与“化切”；“1”的逆向代换（如：）2诱导公式 第一组： 第二组： 第三组： 第四组： 第五组： 【析】 以上诱导公式都是当取使等式两边都有意义的任意值；以上诱导公式的正负号的确定；将看成锐角时，等号左边的角的三角比的正负，决定了等号的正负号；利用以上五组诱导公式可将任意角的三角比转化成锐角或零角的三角比，转化的一般途径是：负角正角内的角锐角或零角，以上的转化途径不唯一。【学习目标】会推导同角三角比的关系掌握同角三角比的关系式，并会应用其进行求值、化简与证明掌握这五组诱导公式，并会运用它们将任意角的三角比转化为内的角的三角比，以达到化简、求值的目的【典型例题】1.求值问题 【例1】【分析】先根据，确定角所在的象限，再利用同角三角比的关系求其他五个三角比的值.【解法】(1)若角是第二象限角, 则(2)若角是第三象限角,则【点评】“先定位置再定量”应先考虑对角的范围进行分类讨论.【例2】【分析】可以将1代换为再进行计算，也可运用进行代换【解法一】 将代入上式，得.【解法二】 将代入上式，得.【解法三】由，得于是设，则，【点评】同角三角比公式的正用、逆用都要熟练掌握；注意1的代换；另外，解法三是一种在不知如何下手时的较好替代方法.【例3】 ，求下列各式的值.【分析】“知切求弦”，可考虑“切化弦”.【解答】由已知得【点评】第(1)小题还可以用“切化弦”，由代入原式中求值；(2)小题使用“1”的逆向代换：.2.化简类问题 【例1】 化简下列各式.【分析】三角比化简的一般要求：(1)项数尽量少(2)三角比的种类尽量少(3)次数尽量低(4)尽量不含根式(5)分母尽量不含三角比(6)能求值的尽量求出来.【解答】【点评】“切割化弦”是同角三角比的恒等变形的常用技巧之一.【例2】 化简下列各式： 【分析】先用诱导公式，再用同角三角比的关系进行化简.【解答】 【点评】使用诱导公式时应注意正负号.3.证明类问题【例1】【分析】考虑对整数分偶数与奇数讨论.【证明】【点评】根据诱导公式，所要证等式右边可以不需对进行讨论，都有.【例2】【分析】证明条件等式，可由题设出发，证到结论.【证明】由已知得故要证等式成立.【点评】本题的主要证明方法是“化弦”，因此还可以采用“切化弦”、“余弦化正弦”等办法.【基础训练】1. 2. 3. (A)(B)(C)(D)4. (A) (B) (C) (D)5. 6. 已知A是三角形的一个内角，sinAcosA = ,则这个三角形是（ ） (A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)不等腰直角三角形 (D)等腰直角三角形7. 已知= ,则的值等于 （ ） (A) (B) (C) (D) 8. 已知是第三象限角，且，则 （ ）(A) (B) (C) (D) 9. 如果角满足,那么的值是 （ ） (A) (B) (C) (D) 10. 若 = 2 tan，则角的取值范围是 11. 已知，则的值是(A) (B) (C) 2 (D)212. 若是方程的两根，则的值为 (A) (B) (C) (D) 13. 若，则的值为_14. 已知，则的值为15. 已知，则m=_； 16. 若为二象限角，且，那么是 (A) 第一象限角 (B) 第二象限角(C) 第三象限角(D) 第四象限角17. ，则的值等于（ ）(A) (B) (C) (D) 18. 若，则 ；19. 化简20已知，求的值【能力提高】1. 2. 3. 4. 求证：5. 已知，且（1）求、的值；（2）求、的值（3）求的值（4）（5） ，（6） ，6. 化简