不等式的证明教案（手稿）

【课题】 不等式的证明（一）【教材】 普通高中课程标准实验教科书选修4.5不等式选讲【授课人】 宜昌市第一中学 钟卫华一、创设情境，生成命题（板书课题：不等式的证明（一）（播放视频）上课！非常高兴能够来到这里，与大家共度一节课的美好时光。今天，我们将共同复习不等式证明的几种常见方法。（板书：常见方法）（1）首先，一起来做个游戏。请看大屏幕。现有A、B、C、D四个长方体容器，其尺寸如图所示。游戏规则如下：每人一次性从四个容器中取两个，盛水多者为胜。问：怎样取，才能使先取者必胜？（停顿2秒）（2）共同分析一下。盛水的多少取决于容器的容积，那A,B,C,D四个容器的容积依次是多少？请大声告诉我，A（ ），B（ ），C（ ），D（ ）。很好，请再思考，游戏中“先取者必胜”的关键在于什么？（请学生回答）非常好，请坐。根据这位同学的回答，此游戏的本质就是容积两两之和的比较，很明显，这样的比较有三种情况，AB VS CD, AC VS BD, AD VS BC.下面，请大家分成三组，分别研究这三种方案，看怎样取才能保证先取者必胜？左边的同学为第一组，研究第一种方案，中间的同学为第二组，研究第二种方案，右边的同学为第三组，研究第三种方案。我们来比一比，看哪个小组最快？研究完了的请举手示意。下面比赛正式开始。（学生分组研究，然后回答）首先有请第一组的代表。（学生：不行，因为与大小不定）恭喜你，回答完全正确，请坐。接下来有请第二组的代表。（学生：不行，因为与大小不定）都同意他的说法吗？（学生：同意）很好，请坐。再来看看第三组研究的成果。（学生：先取A,D可以，因为成立）有没有不同的意见？（学生：没有）很好，请坐。三个小组旗鼓相当，难分伯仲，都很厉害啊！（3）好，现在游戏已经做完了，那你能从刚才的探究过程中提炼出一个完整的数学真命题吗？（请学生回答）很好，请坐。二、证明命题，归纳方法（1）这就是教材上第21页的例题1，让我们先一起来赏析教材对这个不等式的证明过程。先将不等式两边作差，然后重新组合，分解因式，再结合已知条件判断出差值大于0，从而得到原不等式成立。这种证明不等式的方法叫做（停顿1秒）“作差比较法”。（板书：一、比较法 作差比较法）作差比较法的基本步骤是作差-变形-判断（与0比较大小）-下结论（板书：作差-变形-判断（与0比较大小）-下结论），其中最关键的是变形，为了能够定号，我们经常采用因式分解，跟此例题一样，将差值化为若干个因式的乘积，或者利用配方和有理化等手段，将差值化为几个非负数的和。（2）大家再回顾以往所学的知识，不等式的证明除了作差比较法，还有哪些最基本的、最常用的方法？（请学生回答）（板书：作商比较法、综合法、分析法）（3）那这个不等式能否用刚才所提到的几种方法证明呢？请大家试一试，在草稿本上快速完成，并在完成后将你的方法与同桌互相交流.（学生完成后，收集几位同学的证明过程，准备实物投影仪.）让我们先来看看这位同学的证明过程.（教师先挑选一个同学的证明过程进行投影，边投影边讲解，修正，补充。）这位同学采用的是作商比较法，大家能类比作差比较法总结一下它的基本步骤吗？一起说，第一步（），第二步（），第三步（），第四步（）。（学生回答后，教师课件展示。）非常好，再来看看下一位同学的证明过程。这是哪位同学写的？好，请你上台来亲自为大家讲解你的思路。（教师挑选一个同学上台投影，并讲解。）（掌声送给学生）这位同学思维严谨，表达清晰，真是令人佩服啊！刚才他采用的是综合法，综合法是从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这是一种由因导果的思考和证明方法，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”。 （板书：已知可知未知）接下来，我们再挑一位同学的证明过程来看看。（教师最后再挑选一个同学的证明过程进行投影，边投影边讲解，修正，补充。）这位同学采用的是分析法，有谁能类比综合法帮我们总结一下分析法的基本步骤？（学生回答后，教师补充并课件展示。）分析法是从待证结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到所需条件为一个明显成立的事实，从而得出待证命题成立，这是一种执果索因的思考和证明方法。即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。 （板书：未知需知已知）分析法的书写必须非常规范，其基本格式是：要证什么，即证什么，只需证什么，因为什么成立，所以原不等式成立。（板书：要证,即证，只需证，成立，原不等式成立）当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻求证明的思路，而用综合法叙述、表达整个过程。因为分析法利于思考，综合法宜于表达，两者“联袂”，效果尤佳。（4）同学们，刚才我们用了几种最常见的方法证明了这个不等式，其实还可以有其它的方法，有兴趣的同学可以课后进行尝试。再回到这个不等式，请思考，如果我们去掉一个条件，会发生什么变化？（学生回答） 对，大于号就变成了大于或等于号。于是，我们就得到了一个新的命题。（板书：命题：）三、灵活运用，巩固提高这个不等式是很有用的，不妨咱们来瞧瞧。请看，这是一道课本习题。（教材25页习题2（2）请大家利用刚才所研究的结论，结合前面复习的方法，看能否解决这一问题。在草稿本上快速完成。（学生完成并回答，教师课件展示）很好，请坐。这位同学思维敏捷，条理清楚，将来必成大器！我们利用刚才已经证明过的结论，成功的证明了该不等式，这种方法就是综合法。四、命题推广，拓展深化再回到这个不等式，实际上，它不仅很有用，而且还很美。看，如果我们将这个不等式中的a与b互换，会怎样？（学生回答）对，没有任何变化，所以这个不等式具有一种“轮换对称美”。那大家想一想，我们以前学过的不等式中也有具备这种轮换对称美的吗？很好，就是它，基本不等式（板书： ）非常精彩,请坐。这样，我们就得到了两个推广的命题。对于这个更具一般性的推广2，你能利用刚才复习过的方法对它进行证明吗？（学生回答，教师板书）谢谢你的配合，请坐。刚才我们只是推广到了m,n为正整数的情况，当m,n为正有理数还行吗？正实数又如何？这些留给大家课后进行思考、探究。（预案：由于时间关系，这个问题留给大家课后进行思考、探究。另外，刚才我们只是推广到了m,n为正整数的情况，当m,n为正有理数行吗？正实数又如何？这些大家也可以在课后去想一想。）五、课内小结，课外延伸（1）今天的这节课，我们从一个实际背景出发，提炼出了一个数学命题，然后对它进行了证明、应用和推广，下面请大家畅所欲言，说说自己在这节课上的体会。（学生回答后教师归纳补充并课件展示）好，我们把这几位同学的体会汇总一下，供大家分享。这节课我们复习了不等式证明的几种常用方法：比较法（作差、作商）、综合法、分析法。实际上，不等式的证明还有很多方法，这些留待我们下节课继续研究。通过这节课我们还可以感知到一种研究问题的常用思路：提炼-探究（求解或证明）-应用-推广。另外，这节课还让我们充分体会到数学是有用的，数学是很美的。（2）最后，布置一个课外拓展任务，这里有一个建筑学方面的小资料，（停顿10秒）请利用本节课所学，对该问题进行探索研究，得出结论。感谢大家的配合，也预祝各位同学在未来的高考中超越梦想，再铸辉煌。下课！