2022年高考数学大二轮总复习 增分策略 专题八数学思想方法试题

2022年高考数学大二轮总复习 增分策略 专题八 数学思想方法试题高考数学以能力立意，一是考查数学的基础知识，基本技能；二是考查基本数学思想方法，考查数学思维的深度、广度和宽度，数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理和解决问题，是数学意识，是数学技能的升华和提高，中学数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归和转化思想(一)函数与方程思想函数思想，就是用函数与变量去思考问题分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数学思想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想例1(1)(xx湖南)若0x1x2ln x2ln x1Beex1eDx2e0时，就化为不等式f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数有关理论(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决跟踪演练1(1)(xx淄博实验中学诊断)若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)xf(x)，则()A2f(1)f(2)C2f(1)f(2) Df(1)f(2)(2)如图是函数yAsin(x)(其中A0，0，)在一个周期内的图象，则此函数的解析式是()Ay2sin(2x)By2sin(2x)Cy2sin()Dy2sin(2x)(二)数形结合思想数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质例2(1)(xx山东)已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx，若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()A(0，) B(，1)C(1,2) D(2，)(2)若实数x、y满足则的最小值是_思维升华数形结合思想在解题中的应用(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数的零点的范围(3)构建解析几何模型求最值或范围(4)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系跟踪演练2(1)已知奇函数f(x)的定义域是x|x0，xR，且在(0，)上单调递增，若f(1)0，则满足xf(x)|PF2|，则的值为_思维升华分类与整合思想在解题中的应用(1)由数学概念引起的分类有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等(3)由数学运算和字母参数变化引起的分类如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等(4)由图形的不确定性引起的分类讨论有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等跟踪演练3(1)(xx课标全国)钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC等于()A5 B.C2 D1(2)(xx广东)设集合A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1,0,1，i1,2,3,4,5，那么集合A中满足条件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素个数为()A60 B90C120 D130(四)转化与化归思想转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题例4(1)定义运算：(ab)xax2bx2，若关于x的不等式(ab)x0的解集为x|1x2，则关于x的不等式(ba)x0的解集为()A(1,2)B(，1)(2，)C.D.(1，)(2)已知函数f(x)ln xx1，g(x)x22bx4，若对任意的x1(0,2)，任意的x21,2，不等式f(x1)g(x2)恒成立，则实数b的取值范围是()A(， B(1，)C(1，) D1，思维升华转化与化归思想在解题中的应用(1)在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化等(2)换元法：是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法(3)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化(4)在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解(5)在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题，转化为其导函数f(x)构成的方程、不等式问题求解(6)在解决解析几何、立体几何问题时，常常在数与形之间进行转化跟踪演练4(1)(xx安徽)设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)sin x当0x0且a1)，则fff的值为_提醒：完成作业专题八专题八 数学思想方法A组专题通关1若2x5y2y5x，则有()Axy0 Bxy0Cxy0 Dxy02已知函数f(x)满足f(a)3，则f(a5)的值为()Alog23 B. C. D13已知函数f(x)ax3bsin x4(a，bR)，f(lg(log210)5，则f(lg(lg 2)等于()A5 B1C3 D44(xx重庆月考)方程log(a2x)2x有解，则a的最小值为()A2 B1C. D.5(xx广东实验中学阶段考试)已知0ab B()a()bC(lg a)26(xx天津)已知函数f(x)函数g(x)bf(2x)，其中bR，若函数yf(x)g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是()A. B.C. D.7已知变量x，y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k等于()A B.C0 D或08等比数列an中，a37，前3项之和S321，则公比q的值是()A1 BC1或 D1或9(xx江西)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2xy40相切，则圆C面积的最小值为()A. B.C(62) D.10已知正四棱锥SABCD中，SA2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为()A1 B.C2 D311已知函数f(x)若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是_12(xx湖南)已知函数f(x)若存在实数b，使函数g(x)f(x)b有两个零点，则a的取值范围是_13(xx福建)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_(单位：元)B组能力提高14(xx黄冈中学期中)定义在R上的函数f(x)满足：f(x)1f(x)，f(0)6，f(x)是f(x)的导函数，则不等式exf(x)ex5(其中e为自然对数的底数)的解集为()A(0，)B(，0)(3，)C(，0)(1，)D(3，)15(xx广东实验中学阶段考试)已知关于x的方程k在(0，)有且仅有两根，记为，(0，求证：ln aln b1.学生用书答案精析专题八数学思想方法例1(1)C(2)解析(1)设f(x)exln x(0x1)，则f(x)ex.令f(x)0，得xex10.根据函数yex与y的图象可知两函数图象交点x0(0,1)，因此函数f(x)在(0,1)上不是单调函数，故A，B选项不正确设g(x)(0x1)，则g(x).又0x1，g(x)0.函数g(x)在(0,1)上是减函数又0x1x2g(x2)，x2ex1e.(2)f(x)sin 2xcos 2xsin(2x)，将f(x)sin(2x)的图象向右平移个单位，得到ysin(2x2)的图象，由所得图象关于y轴对称，可知sin(2)1，即sin(2)1，故2k，kZ，即，kZ，又0，所以min.跟踪演练1(1)A(2)B解析(1)由于f(x)0恒成立，因此在R上是单调递增函数，即f(2)2f(1)，故答案为A.(2)依函数图象，知y的最大值为2，所以A2.又()，所以T，又，所以2，所以y2sin(2x)将(，2)代入可得sin()1，故2k，kZ，又，所以.所以函数的解析式为y2sin(2x)，故选B.例2(1)B(2)2解析先作出函数f(x)|x2|1的图象，如图所示，当直线g(x)kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)kx过A点时斜率为，故f(x)g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为(，1)(2)可行域如图所示又的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k.由图知，过点A的直线OA的斜率最小联立得A(1,2)，所以kOA2.所以的最小值为2.跟踪演练2(1)(1,0)(0,1)(2)2解析(1)作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知xf(x)0的x的取值范围是(1,0)(0,1)(2)如图，SRtPAC|PA|AC|PA|，当CPl时，|PC|3，此时|PA|min2.(S四边形PACB)min 2(SPAC)min2.例3(1)C(2)2或解析(1)由f(f(a)2f(a)得，f(a)1.当a1时，有3a11，a，a1.当a1时，有2a1，a0，a1.综上，a，故选C.(2)若PF2F190，则|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，|PF1|PF2|6，|F1F2|2，解得|PF1|，|PF2|，.若F2PF190，则|F1F2|2|PF1|2|PF2|2|PF1|2(6|PF1|)2，解得|PF1|4，|PF2|2，2.综上所述，2或.跟踪演练3(1)B(2)D解析(1)SABCABBCsin B1sin B，sin B，B或.当B时，根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcos B1225，所以AC，此时ABC为钝角三角形，符合题意；当B时，根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcos B1221，所以AC1，此时AB2AC2BC2，ABC为直角三角形，不符合题意故AC.(2)在x1，x2，x3，x4，x5这五个数中，因为xi1,0,1，i1,2,3,4,5，所以满足条件1|x1|x2|x3|x4|x5|3的可能情况有“一个1(或1)，四个0，有C2种；两个1(或1)，三个0，有C2种；一个1，一个1，三个0，有A种；两个1(或1)，一个1(或1)，两个0，有CC2种；三个1(或1)，两个0，有C2种故共有C2C2ACC2C2130(种)，故选D.例4(1)D(2)A解析(1)1,2是方程ax2bx20的两实根，12，12，解得由(31)x3x2x20，解得x1.(2)依题意，问题等价于f(x1)ming(x2)max.f(x)ln xx1，所以f(x).由f(x)0，解得1x3，故函数f(x)的单调递增区间是(1,3)，同理得f(x)的单调递减区间是(0,1)和(3，)，故在区间(0,2)上，x1是函数f(x)的极小值点，这个极小值点是唯一的，所以f(x1)minf(1).函数g(x2)x2bx24，x21,2当b2时，g(x2)maxg(2)4b8.故问题等价于或或解第一个不等式组得b1，解第二个不等式组得1b，第三个不等式组无解，综上所述，b的取值范围是(，故选A.跟踪演练4(1)A(2)解析(1)f(x)f(x)sin x，f(x2)f(x)sin x.f(x2)f(x)sin xsin xf(x)f(x)是以2为周期的周期函数又f()f(4)f()，ffsin，ff.当0x时，f(x)0，f0，ff.故选A.(2)由于直接求解较困难，可探求一般规律，f(x)f(1x)1，ffff149.二轮专题强化练答案精析专题八数学思想方法1B把不等式变形为2x5x2y5y，构造函数y2x5x，其为R上的增函数，所以有xy.所以xy0.2C分两种情况分析，或者，无解，由得，a7，所以f(a5)2231，故选C.3C因为lg(log2 10)lg(lg 2)lg(log210lg 2)lg(lg 2)lg 10，所以lg(lg 2)lg(log210)设lg(log210)t，则lg(lg 2)t.由条件可知f(t)5，即f(t)at3bsin t45，所以at3bsin t1，所以f(t)at3bsin t4143.4B由log(a2x)2x得a2x()2x21，当且仅当x1时取等号a的最小值为1.5D0abb1，故A错误；又y()x是减函数，()a()b，故B错误；又ylg x是增函数，lg alg b(lg b)2，故C错误，D正确故选D.6D方法一当x2时，g(x)xb4，f(x)(x2)2；当0x2时，g(x)bx，f(x)2x；当x2时，方程f(x)g(x)0可化为x25x80，无解；当0x2时，方程f(x)g(x)0可化为2x(x)0，无解；当x2时，方程f(x)g(x)0可化为(x2)2x2，得x2(舍去)或x3，有一解；当0x2时，方程f(x)g(x)0可化为2x2x，有无数个解；当x2时，方程f(x)g(x)0可化为x25x70，无解；当0x2时，方程f(x)g(x)0可化为1x2x，无解；当x0)，则高h ，所以体积Va2h .设y12a4a6(a0)，则y48a33a5.令y0，得0a4；令y4.故函数y在(0,4上单调递增，在4，)上单调递减可知当a4时，y取得最大值，即体积V取得最大值，此时h 2，故选C.11(10,12)解析作出f(x)的大致图象由图象知，要使f(a)f(b)f(c)，不妨设abc，则lg alg bc6.lg alg b0，ab1，abcc.由图知10c12，abc(10,12)12(，0)(1，)解析函数g(x)有两个零点，即方程f(x)b0有两个不等实根，则函数yf(x)和yb的图象有两个公共点若aa时，f(x)x2，函数先单调递减后单调递增，f(x)的图象如图(1)实线部分所示，其与直线yb可能有两个公共点若0a1，则a3a2，函数f(x)在R上单调递增，f(x)的图象如图(2)实线部分所示，其与直线yb至多有一个公共点若a1，则a3a2，函数f(x)在R上不单调，f(x)的图象如图(3)实线部分所示，其与直线yb可能有两个公共点综上，a1.13160解析设该长方体容器的长为x m，则宽为 m又设该容器的造价为y元，则y2042(x)10，即y8020(x)(x0)因为x24(当且仅当x，即x2时取“”)，所以ymin80204160(元)14A由题意可知不等式exf(x)ex50，设g(x)exf(x)ex5.所以g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)10，所以函数g(x)在定义域上单调递增，又因为g(0)0，所以g(x)0的解集为x0.15C由k，即得方程|cos x|kx在(0，)上有两个不同的解，作出y|cos x|的图象，由图知直线ykx与y|cos x|与x(，)时相切，此时y|cos x|cos x，y|xsin k，又|cos |kk，所以sin sin 22sin2.16解(1)依题意，Sn1Snan1Sn3n，即Sn12Sn3n，由此得Sn13n12(Sn3n)即bn12bn，又b1S13a3，因此，所求通项公式为bnSn3n(a3)2n1，nN*.(2)由(1)知Sn3n(a3)2n1，nN*，于是，当n2时，anSnSn13n(a3)2n13n1(a3)2n223n1(a3)2n2，an1an43n1(a3)2n22n212()n2a3，当n2时，an1an12()n2a30a9.又a2a13a1.综上，所求的a的取值范围是9，)17(1)解f(x)(x1)令f(x)0，得x0.当x变化时，f(x)和f(x)的变化情况列表如下：x(1,0)0(0，)f(x)0f(x)极小值由上表可知，x0时f(x)取得极小值f(0)0.(2)证明在x0时，f(x)取得极小值，而且是最小值，于是f(x)f(0)0，从而ln(1x)在x1时恒成立，令1x0，则11，ln aln bln 1.因此ln aln b1在a0，b0时成立ln aln b1.