（浙江专用）2022高考数学二轮复习 课时跟踪检测（十六）大题考法——圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题

（浙江专用）2022高考数学二轮复习 课时跟踪检测（十六）大题考法圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题1(2018浙江高考名师预测卷二)已知椭圆C：1(ab0)的一个焦点与抛物线y28x的焦点相同，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点M为椭圆上任意一点，MF1F2面积的最大值为4.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C上的任意一点N(x0，y0)，从原点O向圆N：(xx0)2(yy0)23作两条切线，分别交椭圆于A，B两点试探究|OA|2|OB|2是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由解：(1)抛物线y28x的焦点为(2，0)，由题意可得c2.当点M位于椭圆短轴的端点处时，MF1F2的面积最大，即有b2c4，解得b2，所以a2b2c24812，故椭圆C的方程为1.(2)设直线OA：yk1x，OB：yk2x，A(x1，y1)，B(x2，y2)，设过原点与圆(xx0)2(yy0)23相切的切线方程为ykx，则有，整理得(x3)k22x0y0ky30，所以k1k2，k1k2.又因为点N在椭圆上，所以1，所以可求得k1k2.将yk1x代入椭圆方程x23y212，得x，则y.同理可得x，y，所以|OA|2|OB|216.所以|OA|2|OB|2的值为定值，且为16.2.如图，曲线C由上半椭圆C1：1(ab0，y0)和部分抛物线C2：yx21(y0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，是否存在直线l，使得以PQ为直径的圆恰好过点A，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解：(1)在C2的方程中，令y0，可得x1，A(1,0)，B(1,0)又A，B两点是上半椭圆C1的左、右顶点，b1.设C1的半焦距为c，由及a2c2b21可得a2，a2，b1.(2)由(1)知，上半椭圆C1的方程为x21(y0)由题易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为yk(x1)(k0)代入C1的方程，整理得(k24)x22k2xk240.设点P的坐标为(xP，yP)，又直线l经过点B(1,0)，xP1，xP.从而yP，点P的坐标为.同理，由得点Q的坐标为(k1，k22k)(k，4)，k(1，k2)依题意可知APAQ，0，即k4(k2)0，k0，k4(k2)0，解得k.经检验，k符合题意，故直线l的方程为y(x1)3.已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，右焦点为F，右顶点为E，P为直线xa上的任意一点，且()2.(1)求椭圆C的方程；(2)过F且垂直于x轴的直线AB与椭圆交于A，B两点(点A在第一象限)，动直线l与椭圆C交于M，N两点，且M，N位于直线AB的两侧，若始终保持MABNAB，求证：直线MN的斜率为定值解：(1)设P，F(c,0)，E(a,0)，则，(ca,0)，所以()2，即(ca)2，又e，所以a2，c1，b，从而椭圆C的方程为1.(2)由(1)知A，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，设MN的方程为ykxm，代入椭圆方程1，得(4k23)x28kmx4m2120，所以x1x2，x1x2.又M，N是椭圆上位于直线AB两侧的动点，若始终保持MABNAB，则kAMkAN0，即0，(x21)(x11)0，即(2k1)(2m2k3)0，得k.故直线MN的斜率为定值.4(2018镇海中学5月模拟)已知抛物线C1，C2的方程分别为x22y，y22x.(1)求抛物线C1和抛物线C2的公切线l的方程；(2)过点G(a，b)(a，b为常数)作一条斜率为k的直线与抛物线C2：y22x交于P，Q两点，当弦PQ的中点恰好为点G时，试求k与b之间的关系解：(1)由题意可知，直线l的斜率显然存在，且不等于0，设直线l的方程为ytxm.联立消去y并整理得x22tx2m0，因为直线l与抛物线C1相切，所以1(2t)24(2m)0，整理得t22m0.同理，联立得2tm1.由，解得所以直线l的方程为yx.(2)由题意知直线PQ的方程为ybk(xa)，即yk(xa)b.联立消去y得k2x2(2k2a2kb2)xk2a2b22kab0，当k0时，直线PQ与抛物线C2：y22x只有一个交点，故k0，设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，所以由根与系数的关系得x1x2，所以.又y1y2k(x1a)bk(x2a)bk(x1x2)2ka2b2ka2b，所以.要满足弦PQ的中点恰好为点G(a，b)，根据中点坐标公式可知即所以kb1.故k与b之间的关系是互为倒数5已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个焦点恰好与抛物线y24x的焦点重合(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆的上顶点为A，过点A作椭圆C的两条动弦AB，AC，若直线AB，AC斜率之积为，直线BC是否恒过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由解：(1)由题意知椭圆的一个焦点为F(1,0)，则c1.由e得a，所以b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)由(1)知A(0,1)，当直线BC的斜率不存在时，设BC：xx0，设B(x0，y0)，则C(x0，y0)，kABkAC，不合题意故直线BC的斜率存在设直线BC的方程为ykxm(m1)，并代入椭圆方程，得：(12k2)x24kmx2(m21)0，由(4km)28(12k2)(m21)0，得2k2m210.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1，x2是方程的两根，由根与系数的关系得，x1x2，x1x2，由kABkAC得：4y1y24(y1y2)4x1x2，即(4k21)x1x24k(m1)(x1x2)4(m1)20，整理得(m1)(m3)0，又因为m1，所以m3，此时直线BC的方程为ykx3.所以直线BC恒过一定点(0,3)