（通用版）2022年高考数学一轮复习 第11章 统计与统计案例 2 第2讲 用样本估计总体教案 理

（通用版）2022年高考数学一轮复习 第11章 统计与统计案例 2 第2讲 用样本估计总体教案 理1统计图表(1)频率分布直方图的画法步骤求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；决定组距与组数；将数据分组；列频率分布表；画频率分布直方图(2)频率分布折线图和总体密度曲线频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线(3)茎叶图的画法步骤第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列； 第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的两侧2样本的数字特征(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数(3)平均数：把称为a1，a2，an这n个数的平均数(4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，xn的平均数为，则这组数据的标准差和方差分别是s s2(x1)2(x2)2(xn)23与平均数和方差有关的结论(1)若x1，x2，xn的平均数为，那么mx1a，mx2a，mxna的平均数为ma；(2)数据x1，x2，xn与数据x1x1a，x2x2a，xnxna的方差相等，即数据经过平移后方差不变；(3)若x1，x2，xn的方差为s2，那么ax1b，ax2b，axnb的方差为a2s2；(4)s2(xi)22，即各数平方的平均数减去平均数的平方 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大()(2)在频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间内的频率越大()(3)茎叶图中的数据要按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次()(4)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，后者直观()(5)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数的估计值()答案：(1)(2)(3)(4)(5) (2017高考全国卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是()A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份D各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳解析：选A.根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都是减少，所以A错误 重庆市某年各月的平均气温()数据的茎叶图如图，则这组数据的中位数是()A19 B20C21.5 D23解析：选B.由茎叶图可知这组数据由小到大依次为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，所以中位数为20. (2018郑州第一次质量预测)我市某校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为20，40)，40，60)，60，80)，80，100，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是_解析：依题意得，成绩低于60分的相应的频率等于(0.0050.01)200.3，所以该班的学生人数是150.350.答案：50 甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为_和_解析：由茎叶图可知甲的平均数为24.乙的平均数为23.答案：2423茎叶图 典例引领 (2017高考山东卷)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为()A3，5 B5，5C3，7 D5，7【解析】根据两组数据的中位数相等可得6560y，解得y5，又它们的平均值相等，所以，解得x3.故选A.【答案】A茎叶图中的三个关注点(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏(3)给定两组数据的茎叶图，估计数字特征，茎上的数字由小到大排列，一般“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小 通关练习1(2018贵州遵义航天高中模拟)某学生在一门功课的22次考试中，所得分数茎叶图如图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为()A117 B118C118.5 D119.5解析：选B.22次考试中，所得分数最高的为98，最低的为56，所以极差为985642，将分数从小到大排列，中间两数为76，76，所以中位数为76，所以此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为4276118.2为了了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，现采用简单随机抽样的方法，从该校400名授课教师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示，如图所示据此可估计上学期该校400名教师中，使用多媒体进行教学的次数在16，30)内的人数为()A100 B160C200 D280解析：选B.由茎叶图可知在20名教师中，上学期使用多媒体进行教学的次数在16，30)内的人数为8，据此可以估计400名教师中，使用多媒体进行教学的次数在16，30)内的人数为400160.频率分布直方图(高频考点)频率分布直方图是高考的热点，选择题、填空题、解答题都有可能出现难度一般较小高考对频率分布直方图的考查主要有以下三个命题角度：(1)求样本的频率、频数；(2)求样本的数字特征；(3)与概率结合的问题 典例引领 角度一求样本的频率、频数 (2016高考山东卷)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30，样本数据分组为17.5，20)，20，22.5)，22.5，25)，25，27.5)，27.5，30根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A56 B60C120 D140【解析】由频率分布直方图可知，这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04)2.50.7，故这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为2000.7140.故选D.【答案】D角度二求样本的数字特征 (2018云南省11校跨区调研)为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量(单位：克)，按照27.5，32.5)，32.5，37.5)，37.5，42.5)，42.5，47.5)，47.5，52.5分为5组，其频率分布直方图如图所示(1)求图中a的值；(2)估计这种植物果实重量的平均数和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)【解】(1)组距d5，由5(0.020.040.075a0.015)1得a0.05.(2)各组中点值和相应的频率依次为中点值3035404550频率0.10.20.3750.250.075300.1350.2400.375450.25500.07540，s2(10)20.1(5)20.2020.375520.251020.07528.75.角度三与概率结合的问题 (2018东北四市高考模拟)某手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者(200名女性，300名男性)进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：女性用户分值区间50，60)60，70)70，80)80，90)频数20408050男性用户分值区间50，60)60，70)70，80)80，90)频数45759060(1)完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小(不计算具体值，给出结论即可)；(2)根据评分的不同，运用分层抽样的方法从男性用户中抽取20名用户，再从这20名用户中满足评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数X的分布列和数学期望【解】(1)女性用户和男性用户的频率分布直方图如图由图可知女性用户评分的波动小，男性用户评分的波动大(2)运用分层抽样的方法从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分的用户有6人，其中评分小于90分的有4人，从6人中任取3人，则X的可能取值为1，2，3，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以X的分布列为X123PE(X)2.频率、频数、样本容量的计算方法(1)组距频率(2)频率，样本容量，样本容量频率频数提醒制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确 通关练习1在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的，且样本容量为140，则中间一组的频数为()A28 B40C56 D60解析：选B.设中间一组的频数为x，因为中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的，所以其他8组的频数和为x，由xx140，解得x40.2(2018武汉市武昌区调研考试)我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x(吨)，月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费为了了解全市居民用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨)，将数据按照0，0.5)，0.5，1)，4，4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图(1)求频率分布直方图中a的值；(2)已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由解：(1)由频率分布直方图，可得(0.080.16a0.400.52a0.120.080.04)0.51，解得a0.30.(2)由频率分布直方图知，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为(0.120.080.04)0.50.12.由以上样本频率分布，可以估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为800 0000.1296 000.(3)因为前6组的频率之和为(0.080.160.300.400.520.30)0.50.880.85，前5组的频率之和为(0.080.160.300.400.52)0.50.730.85，所以2.5x3.由0.3(x2.5)0.850.73，解得x2.9.因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准样本数字特征的求解与应用 典例引领 (1)在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例的数据，一定符合该标志的是()A甲地：总体均值为3，中位数为4B乙地：总体均值为1，总体方差大于0C丙地：中位数为2，众数为3D丁地：总体均值为2，总体方差为3(2)(2018南昌模拟)若1，2，3，4，m这五个数的平均数为3，则这五个数的方差为_(3)(2018石家庄市教学质量检测(二)设样本数据x1，x2，x2 017的方差是4，若yi2xi1(i1，2，2 017)，则y1，y2，y2 017的方差为_【解析】(1)根据标志，要求数据中每个个体不超过7.中位数与众数不能体现个体数据，无法确定方差体现数据中个体的波动程度，若大于0，则无法确定若均值为2，方差为3，假设xi8，则s23，故假设不成立(2)由3得m5，所以这五个数的方差为(13)2(23)2(33)2(43)2(53)22.(3)设样本数据的平均数为，则yi2xi1的平均数为21，则y1，y2，y2 017的方差为(2x1121)2(2x2121)2(2x2 017121)24(x1)2(x2)2(x2 017)24416.【答案】(1)D(2)2(3)16(1)众数、中位数、平均数及方差的意义平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明地描述平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述波动大小(2)在计算平均数、方差时可利用平均数、方差的有关结论 通关练习1甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()A甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析：选C. 甲(45678)6，乙(5369)6，甲的成绩的方差为(222122)2，乙的成绩的方差为(123321)2.4.2(2018合肥市第二次教学质量检测)某同学在高三学年的五次阶段性考试中，数学成绩依次为110，114，121，119，126，则这组数据的方差是_解析：因为对一组数据同时加上或减去同一个常数，方差不变，所以本题中可以先对这5个数据同时减去110，得到新的数据分别为0，4，11，9，16，其平均数为8，根据方差公式可得s230.8.答案：30.83(2018贵阳市监测考试)在某校科普知识竞赛前的模拟测试中，得到甲、乙两名学生的6次模拟测试成绩(百分制)的茎叶图(如图)若从甲、乙两名学生中选择一人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由解：学生甲的平均成绩甲82，学生乙的平均成绩乙82，又s(6882)2(7682)2(7982)2(8682)2(8882)2(9582)277，s(7182)2(7582)2(8282)2(8482)2(8682)2(9482)2，则甲乙，ss，说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，即乙发挥更稳定，故可选择学生乙参加知识竞赛 众数、中位数和平均数的异同众 数中位数平均数相同点都是描述一组数据集中趋势的量不同点与这组数据中的部分数据有关，出现在这些数据中不一定在这些数据中出现奇数个时，在这组数据中出现；偶数个时，为中间两数的平均值不一定在这些数据中出现 标准差和方差的异同相同点：标准差和方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小不同点：方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差程度，标准差则不然 易错防范(1)易忽视频率分布直方图中纵轴表示的应为.(2)在绘制茎叶图时，易遗漏重复出现的数据，重复出现的数据要重复记录，同时不要混淆茎叶图中茎与叶的含义 1把样本容量为20的数据分组，分组区间与频数如下：10，20)，2；20，30)，3；30，40)，4；40，50)，5；50，60)，4；60，70，2，则在区间10，50)上的数据的频率是()A0.05 B0.25C0.5 D0.7解析：选D.由题知，在区间10，50)上的数据的频数是234514，故其频率为0.7.2(2018广西三市第一次联考)在如图所示一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为61，则被污染的数字为()A1 B2C3 D4解析：选B.由题图可知该组数据的极差为482028，则该组数据的中位数为612833，易得被污染的数字为2.3(2018岳阳模拟)某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为()A6万元 B8万元C10万元 D12万元解析：选C.设11时到12时的销售额为x万元，依题意有，解得x10.4某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为5将数据分组成0，5)，5，10)，30，35)，35，40时，所作的频率分布直方图是()解析：选A.由分组可知C，D一定不对；由茎叶图可知0，5)有1人，5，10)有1人，所以第一、二小组频率相同，频率分布直方图中矩形的高应相等，可排除B.5某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|xy|的值为()A1 B2C3 D4解析：选D.由题意这组数据的平均数为10，方差为2，可得：xy20，(x10)2(y10)28，设x10t，y10t，由(x10)2(y10)28，得t24，所以|xy|2|t|4.6(2018湖南省五市十校联考)某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则nm的值是_解析：由甲组学生成绩的平均数是88，可得88，解得m3.由乙组学生成绩的中位数是89，可得n9，所以nm6.答案：67为了普及环保知识，增强环保意识，某大学有300名员工参加环保知识测试，按年龄分组：第1组25，30)，第2组30，35)，第3组35，40)，第4组40，45)，第5组45，50，得到的频率分布直方图如图所示现在要从第1，3，4组中用分层抽样的方法抽取16人，则在第4组中抽取的人数为_解析：根据频率分布直方图得，第1，3，4组的频率之比为143，所以用分层抽样的方法抽取16人时，在第4组中应抽取的人数为166.答案：68(2018成都市第二次诊断性检测)在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未被污损，即9，10，11，1 ，那么这组数据的方差s2可能的最大值是_解析：由题意可设两个被污损的数据分别为10a，b，(a，bZ，0a9)，则10ab9101150，即ab10，b10a，所以s2(910)2(1010)2(1110)2(10a10)2(b10)22a2(b10)2(1a2)(192)32.8.答案：32.89某校1 200名高三年级学生参加了一次数学测验(满分为100分)，为了分析这次数学测验的成绩，从这1 200人的数学成绩中随机抽取200人的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解决下列问题：成绩分组频数频率平均分0，20)30.0151620，40)ab32.140，60)250.1255560，80)c0.57480，100620.3188(1)求a、b、c的值；(2)如果从这1 200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P(注：60分及60分以上为及格)；(3)试估计这次数学测验的年级平均分解：(1)由题意可得，b1(0.0150.1250.50.31)0.05，a2000.0510，c2000.5100.(2)根据已知，在抽出的200人的数学成绩中，及格的有162人所以P0.81.(3)这次数学测验样本的平均分为73，所以这次数学测验的年级平均分大约为73分10(2017高考北京卷)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：20，30)，30，40)，80，90，并整理得到如下频率分布直方图：(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间40，50)内的人数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等试估计总体中男生和女生人数的比例解：(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.020.04)100.6，所以样本中分数小于70的频率为10.60.4.所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.010.020.040.02)100.9，分数在区间40，50)内的人数为1001000.955.所以总体中分数在区间40，50)内的人数估计为40020.(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.020.04)1010060，所以样本中分数不小于70的男生人数为6030.所以样本中的男生人数为30260，女生人数为1006040，男生和女生人数的比例为604032.所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为32.1(2018长春模拟)某销售公司为了解员工的月工资水平，从1 000位员工中随机抽取100位员工进行调查，得到如下的频率分布直方图：(1)试由此图估计该公司员工的月平均工资；(2)该公司的工资发放是以员工的营销水平为重要依据来确定的，一般认为，工资低于4 500元的员工属于学徒阶段，没有营销经验，若进行营销将会失败；高于4 500元的员工属于成熟员工，进行营销将会成功现将该样本按照“学徒阶段工资”“成熟员工工资”分成两层，进行分层抽样，从中抽出5人，在这5人中任选2人进行营销活动活动中，每位员工若营销成功，将为公司赚得3万元，否则公司将损失1万元试问在此次比赛中公司收入多少万元的可能性最大？解：(1)估计该公司员工的月平均工资为0.000 11 0002 0000.000 11 0003 0000.000 21 0004 0000.000 31 0005 0000.000 21 0006 0000.000 11 0007 0004 700(元)(2)抽取比为，从工资在1 500，4 500)内的员工中抽出100(0.10.10.2)2人，设这两位员工分别为1，2；从工资在4 500，7 500内的员工中抽出100(0.30.20.1)3人，设这三位员工分别为A，B，C.从中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：(1，2)，(1，A)，(1，B)，(1，C)，(2，A)，(2，B)，(2，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)两人营销都成功，公司收入6万元，有以下3种不同的等可能结果：(A，B)，(A，C)，(B，C)，概率为；其中一人营销成功，一人营销失败，公司收入2万元，有以下6种不同的等可能结果：(1，A)，(1，B)，(1，C)，(2，A)，(2，B)，(2，C)，概率为；两人营销都失败，公司收入2万元，即损失2万元，有1种结果：(1，2)，概率为.因为，所以公司收入2万元的可能性最大2(2018河北三市第二次联考)某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如图：(1)比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；(2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X的分布列和均值解：(1) 甲 (79111313162328)15，乙(78101517192123)15，s(8)2(6)2(4)2(2)2(2)2128213244.75，s(8)2(7)2(5)2022242628232.25.甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大所以乙同学做解答题相对稳定些(2)根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别为P1，P2，两人失分均超过15分的概率为P1P2，X的所有可能取值为0，1，2.依题意，XB(2，)，P(Xk)C()k()2k，k0，1，2，则X的分布列为X012PX的均值E(X)2.