（全国通用版）2022年高考数学一轮复习 第十二单元 直线与圆学案 文

（全国通用版）2022年高考数学一轮复习 第十二单元 直线与圆学案 文直线的方程定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角；规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为；范围：直线l的倾斜角的取值范围是0，)(2)直线的斜率定义：当直线l的倾斜角时，其倾斜角的正切值tan 叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即ktan_；斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.2直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率ykxb与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率yy0k(xx0)两点式过两点与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式AxByC0(A2B20)所有直线1已知A(m，2)，B(3,0)，若直线AB的斜率为2，则m的值为()A1B2C1或2 D2解析：选B由直线AB的斜率k2，解得m2.2若经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率大于1，则m的取值范围是()A(5,8) B(8，)C. D.解析：选D由题意知1，即0，5m0，解得2a.2(2018天津模拟)若坐标原点在圆(xm)2(ym)24的内部，则实数m的取值范围是()A(1,1) B(，)C(，) D.解析：选C因为(0,0)在(xm)2(ym)24的内部，则有(0m)2(0m)24，解得m.3(2015北京高考)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A(x1)2(y1)21B(x1)2(y1)21C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22解析：选D圆的半径r，圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为(x1)2(y1)22.4若圆C的圆心在x轴上，且过点A(1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为_解析：设圆心坐标为C(a,0)，点A(1,1)和B(1,3)在圆C上，|CA|CB|，即，解得a2，所以圆心为C(2,0)，半径|CA|，圆C的方程为(x2)2y210.答案：(x2)2y210两条直线的位置关系过双基1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.(2)两条直线垂直：如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1k21.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1l2.2两条直线的交点的求法直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解3距离P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d平行线AxByC10与AxByC20间距离d1已知直线l1：(3a)x4y53a和直线l2：2x(5a)y8平行，则a()A7或1 B7C7或1 D1解析：选B由题意可得a5，所以，解得a7(a1舍去)2圆x2y26x2y30的圆心到直线xay10的距离为1，则a()A BC. D2解析：选B圆x2y26x2y30可化为(x3)2(y1)27，其圆心(3,1)到直线xay10的距离d1，解得a.3已知直线l1：(m2)xy50与l2：(m3)x(18m)y20垂直，则实数m的值为()A2或4 B1或4C1或2 D6或2解析：选D当m18时，两条直线不垂直，舍去；当m18时，由l1l2，可得(m2)1，化简得(m6)(m2)0，解得m6或2.4若两条平行直线4x3y60和4x3ya0之间的距离等于2，则实数a_.解析：两条平行直线的方程为4x3y60和4x3ya0，由平行线间的距离公式可得2，即|6a|10，解得a4或16.答案：4或16清易错1在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑2运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错1已知直线l1：x(a2)y20，直线l2：(a2)xay10，则“a1”是“l1l2”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A法一：(1)当直线l1的斜率不存在，即a2时，有l1：x20，l2：2y10，此时符合l1l2.(2)当直线l1的斜率存在，即a2时，直线l1的斜率k10，若l1l2，则必有直线l2的斜率k2，所以1，解得a1.综上所述，l1l2a1或a2.故“a1”是“l1l2”的充分不必要条件法二：l1l21(a2)(a2)a0，解得a1或a2.所以“a1”是“l1l2”的充分不必要条件2若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小值为()A. B.C. D.解析：选C因为，所以两直线平行由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以|PQ|的最小值为.直线与圆的位置关系过双基直线与圆的位置关系(半径r，圆心到直线的距离为d)相离相切相交图形量化方程观点000几何观点drdrdr1直线yax1与圆x2y22x30的位置关系是()A相切 B相交C相离 D随a的变化而变化解析：选B因为直线yax1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆x2y22x30的内部，故直线与圆相交2(2018大连模拟)若a2b22c2(c0)，则直线axbyc0被圆x2y21所截得的弦长为()A. B1C. D.解析：选D因为圆心(0,0)到直线axbyc0的距离d，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于 ，所以弦长为.3已知圆C：x2y26x80，则圆心C的坐标为_；若直线ykx与圆C相切，且切点在第四象限，则k的值为_解析：圆的方程可化为(x3)2y21，故圆心坐标为(3,0)；由1，解得k，由切点在第四象限，可得k.答案：(3,0)圆与圆的位置关系过双基圆与圆的位置关系(两圆半径r1，r2，d|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量的关系dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|d|r1r2|1若圆x2y21与圆(x4)2(ya)225相切，则实数a_.答案：2或02圆x2y240与圆x2y24x4y120的公共弦长为_解析：由得xy20.又圆x2y24的圆心到直线xy20的距离为.由勾股定理得弦长的一半为，所以所求弦长为2.答案：2一、选择题1直线 xy30的倾斜角为()A.B.C. D.解析：选C直线xy30可化为yx3，直线的斜率为，设倾斜角为，则tan ，又00)，又由圆与直线4x3y0相切可得1，解得a2，故圆的标准方程为(x2)2(y1)21.二、填空题9已知直线l过点A(0,2)和B(，3m212m13)(mR)，则直线l的倾斜角的取值范围为_解析：设此直线的倾斜角为，00，且0，解得1m0)将ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()A(0,1) B.C. D. 解析：选B由消去x，得y，当a0时，直线yaxb与x轴交于点，结合图形知，化简得(ab)2a(a1)，则a.a0，0，解得b.考虑极限位置，即a0，此时易得b1，故选B.一、选择题1如果AB0，BC0，则直线AxByC0不经过的象限是()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选C由AB0，BC0，可得直线AxByC0的斜率为0，直线在y轴上的截距0, 故直线不经过第三象限2直线xsin y20的倾斜角的取值范围是()A0，) B.C. D.解析：选B直线xsin y20的斜率为ksin ， 1sin 1, 1k1, 直线倾斜角的取值范围是.3已知点M是直线xy2上的一个动点，且点P(，1)，则|PM|的最小值为()A. B1C2 D3解析：选B|PM|的最小值即点P(，1)到直线xy2的距离，又1，故|PM|的最小值为1.4(2018郑州质量预测)“a1”是“直线axy10与直线(a2)x3y20垂直”的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：选Baxy10与(a2)x3y20垂直，a(a2)30，解得a1或a3.“a1”是两直线垂直的充分不必要条件5已知点A(1，2)，B(m,2)，若线段AB的垂直平分线的方程是x2y20，则实数m的值为()A2 B7C3 D1解析：选CA(1，2)和B(m,2)的中点在直线x2y20上， 2020，m3.6已知直线l过点P(1,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，则当AOB的面积取得最小值时，直线l的方程为()A2xy40 Bx2y30Cxy30 Dxy10解析：选A由题可知，直线l的斜率k存在，且k0，则直线l的方程为y2k(x1)A，B(0,2k)，SOAB(2k)4，当且仅当k2时取等号直线l的方程为y22(x1)，即2xy40.7(2018豫南九校质量考评)若直线xay20与以A(3,1)，B(1,2)为端点的线段没有公共点，则实数a的取值范围是()A(2,1)B(，2)(1，)C.D(，1)解析：选D直线xay20过定点C(2,0)，直线CB的斜率kCB2，直线CA的斜率kCA1，所以由题意可得a0且21，解得a.8已知P(x0，y0)是直线l：AxByC0外一点，则方程AxByC(Ax0By0C)0表示()A过点P且与l垂直的直线B过点P且与l平行的直线C不过点P且与l垂直的直线D不过点P且与l平行的直线解析：选D因为P(x0，y0)是直线l：AxByC0外一点，所以Ax0By0Ck，k0.若方程AxByC(Ax0By0C)0，则AxByCk0.因为直线AxByCk0和直线l斜率相等，但在y轴上的截距不相等，故直线AxByCk0和直线l平行因为Ax0By0Ck，且k0，所以Ax0By0Ck0，所以直线AxByCk0不过点P，故选D.二、填空题9已知点A(3，4)，B(6,3)到直线l：axy10的距离相等，则实数a的值为_解析：由题意及点到直线的距离公式得，解得a或.答案：或10与直线2x3y50平行，且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程是_解析：由平行关系设所求直线方程为2x3yc0, 令x0，可得y；令y0，可得x， 6，解得c， 所求直线方程为2x3y0, 化为一般式可得10x15y360.答案：10x15y36011已知直线l1的方程为3x4y70，直线l2的方程为6x8y10，则直线l1与l2的距离为_解析：直线l1的方程为3x4y70，直线l2的方程为6x8y10，即3x4y0，直线l1与l2的距离为.答案：12在平面直角坐标系中，已知点P(2,2)，对于任意不全为零的实数a，b，直线l：a(x1)b(y2)0，若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围是_解析：由题意，直线过定点Q(1，2)，PQl时，d取得最大值5, 直线l过点P时，d取得最小值0, 所以d的取值范围0,5答案：0,5 三、解答题13已知方程(m22m3)x(2m2m1)y52m0(mR)(1)求方程表示一条直线的条件； (2)当m为何值时，方程表示的直线与x轴垂直；(3)若方程表示的直线在两坐标轴上的截距相等，求实数m的值解：(1)由解得m1，方程(m22m3)x(2m2m1)y52m0(mR)表示直线，m22m3,2m2m1不同时为0，m1.故方程表示一条直线的条件为m1.(2)方程表示的直线与x轴垂直，解得m.(3)当52m0，即m时，直线过原点，在两坐标轴上的截距均为0；当m时，由，解得m2.故实数m的值为或2.14已知直线m：2xy30与直线n：xy30的交点为P.(1)若直线l过点P，且点A(1,3)和点B(3,2)到直线l的距离相等，求直线l的方程；(2)若直线l1过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，ABO的面积为4，求直线l1的方程解：(1)由得即交点P(2,1)由直线l与A，B的距离相等可知，lAB或l过AB的中点 由lAB，得klkAB，所以直线l的方程为y1(x2)，即x2y40，由l过AB的中点得l的方程为x2，故x2y40或x2为所求(2)法一：由题可知，直线l1的斜率k存在，且k0. 则直线l1的方程为yk(x2)1kx2k1.令x0，得y12k0，令y0，得x0，SABO(12k)4，解得k， 故直线l1的方程为yx2，即x2y40.法二：由题可知，直线l1的横、纵截距a，b存在，且a0，b0，则l1：1.又l1过点(2,1)，ABO的面积为4，解得故直线l1的方程为1，即x2y40.1设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)(点P与点A，B不重合)，则PAB的面积最大值是()A2 B5C. D.解析：选C由题意可知，动直线xmy0过定点A(0,0)动直线mxym30m(x1)3y0，因此直线过定点B(1,3)当m0时，两条直线分别为x0，y3，交点P(0,3)，SPAB13.当m0时，两条直线的斜率分别为，m，则m1，因此两条直线相互垂直当|PA|PB|时，PAB的面积取得最大值由|PA|AB|，解得|PA|.SPAB|PA|2.综上可得，PAB的面积最大值是.2已知直线y2x是ABC中C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(4,2)，(3,1)，则点C的坐标为()A(2,4) B(2，4)C(2,4) D(2，4)解析：选C设A(4,2)关于直线y2x的对称点为(x，y)，则解得，即(4，2)直线BC所在方程为y1(x3)，即3xy100.联立解得可得C(2,4)3在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)的距离之和最小的点的坐标是_解析：设平面上任一点M，因为|MA|MC|AC|，当且仅当A，M，C共线时取等号，同理|MB|MD|BD|，当且仅当B，M，D共线时取等号，连接AC，BD交于一点M，若|MA|MC|MB|MD|最小，则点M为所求kAC2，直线AC的方程为y22(x1)，即2xy0.又kBD1，直线BD的方程为y5(x1)，即xy60.由得即M(2,4)答案：(2,4)高考研究课(二)圆的方程命题3角度求方程、算最值、定轨迹全国卷5年命题分析考点考查频度考查角度圆的方程5年4考求圆的方程及先求圆的方程再考查应用与圆有关的最值问题5年1考求范围与圆有关的轨迹问题未考查圆的方程圆的方程的求法，应根据条件选用合适的圆的方程，一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.典例求经过点A(5,2)，B(3，2)，且圆心在直线2xy30上的圆的方程解法一：用“几何法”解题由题意知kAB2，AB的中点为(4,0)，设圆心为C(a，b)，圆过A(5,2)，B(3，2)两点，圆心一定在线段AB的垂直平分线上则解得C(2,1)，r|CA|.所求圆的方程为(x2)2(y1)210.法二：用“代数法”解题设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，则解得故圆的方程为(x2)2(y1)210.法三：用“代数法”解题设圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则解得所求圆的方程为x2y24x2y50.方法技巧求圆的方程的方法(1)方程选择原则若条件中圆心坐标明确时，常设为圆的标准方程，不明确时，常设为一般方程(2)求圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是代数法，大致步骤如下：根据题意，选择标准方程或一般方程；根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程即时演练根据下列条件，求圆的方程(1)已知圆心为C的圆经过点A(0，6)，B(1，5)，且圆心在直线l：xy10上；(2)圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点P(3，2)解：(1)法一：设圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则圆心坐标为.由题意可得解得所以圆的方程为x2y26x4y120.法二：因为A(0，6)，B(1，5)，所以线段AB的中点D的坐标为，直线AB的斜率kAB1，因此线段AB的垂直平分线的方程是y，即xy50.则圆心C的坐标是方程组的解，解得所以圆心C的坐标是(3，2)圆的半径长r|AC|5，所以圆的方程为(x3)2(y2)225.(2)法一：如图，设圆心坐标为(x0，4x0)，依题意得1，x01，即圆心坐标为(1，4)，半径r2，故圆的方程为(x1)2(y4)28.法二：设所求方程为(xx0)2(yy0)2r2，根据已知条件得解得因此所求圆的方程为(x1)2(y4)28.与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想常见的命题角度有：(1)斜率型最值问题；(2)截距型最值问题；(3)距离型最值问题；(4)距离和(差)的最值问题；(5)三角形的面积的最值问题角度一：斜率型最值问题1已知实数x，y满足方程x2y24x10，求的最大值和最小值解：原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k.所以的最大值为，最小值为.角度二：截距型最值问题2在角度一条件下求yx的最大值和最小值解：yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，如图所示，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2.所以yx的最大值为2，最小值为2.角度三：距离型最值问题3设P(x，y)是圆(x2)2y21上的任意一点，则(x5)2(y4)2的最大值为()A6B25C26 D36解析：选D(x5)2(y4)2表示点P(x，y)到点(5，4)的距离的平方，又点(5，4)到圆心(2,0)的距离d5，则点P(x，y)到点(5，4)的距离最大值为6，从而(x5)2(y4)2的最大值为36.角度四：距离和(差)的最值问题4已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A54B.1C62 D.解析：选A圆心C1(2,3)，C2(3,4)，作C1关于x轴的对称点C1(2，3)，连接C1C2与x轴交于点P，此时|PM|PN|取得最小值，为|C1C2|1354.角度五：三角形的面积的最值问题5已知两点A(1,0)，B(0,2)，点P是圆(x1)2y21上任意一点，则PAB面积的最大值与最小值分别是()A2，(4) B.(4)，(4)C.，4 D.(2)，(2)解析：选B直线AB的方程为1，即2xy20，圆心(1,0)到直线AB的距离d，则点P到直线AB的距离最大值为1，最小值为1，又|AB|，则(SPAB)max(4)，(SPAB)min(4)，故选B.方法技巧求解与圆有关的最值问题的2大规律(1)借助几何性质求最值处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解(2)建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用基本不等式法、参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的与圆有关的轨迹问题典例已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y)因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)在RtPBQ中，|PN|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.方法技巧求与圆有关的轨迹问题的4种常用方法直接法直接根据题目提供的条件列出方程定义法根据圆、直线等定义列方程几何法利用圆的几何性质列方程代入法找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等即时演练1(2018唐山调研)点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是()A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)21解析：选A设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则即代入x2y24，得(2x4)2(2y2)24.化简得(x2)2(y1)21.2设点A为圆(x1)2y21上的动点，PA是圆的切线，且|PA|1，则点P的轨迹方程为()Ay22x B(x1)2y24Cy22x D(x1)2y22解析：选D设P(x，y)，则由题意知，圆(x1)2y21的圆心为C(1,0)、半径为1，PA是圆的切线，且|PA|1，|PC|，即(x1)2y22，点P的轨迹方