浙江省2022年中考数学复习 微专题五 以特殊三角形为背景的计算与证明训练

浙江省2022年中考数学复习 微专题五 以特殊三角形为背景的计算与证明训练1如图，在RtABC中，ACB90，BAC30，E为AB边的中点，以BE为边作等边BDE，连结AD，CD.(1)求证：ADECDB；(2)若BC，在AC边上找一点H，使得BHEH最小，并求出这个最小值2如图，在等边ABC中，点D，E，F分别同时从点A，B，C出发，以相同的速度在AB，BC，CA上运动，连结DE，EF，DF.(1)证明：DEF是等边三角形；(2)在运动过程中，当CEF是直角三角形时，试求的值3从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线(1)如图1，在ABC中，CD为角平分线，A40，B60，求证：CD为ABC的完美分割线；(2)在ABC中，A48，CD是ABC的完美分割线，且ACD为等腰三角形，求ACB的度数；(3)如图2，在ABC中，AC2，BC，CD是ABC的完美分割线，且ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长4如图，ABC和ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，BACDAE90，点P为射线BD，CE的交点(1)求证：BDCE；(2)若AB2，AD1，把ADE绕点A旋转，当EAC90时，求PB的长5如图，直角ABC中，A为直角，AB6，AC8.点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程中：(1)求证：APR，BPQ，CQR的面积相等；(2)求PQR面积的最小值；(3)用t(秒)(0t2)表示运动时间，是否存在t，使PQR90？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由6问题：(1)如图1，在RtABC中，ABAC，D为BC边上一点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90得到AE，连结EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为_；探索：(2)如图2，在RtABC与RtADE中，ABAC，ADAE，将ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：(3)如图3，在四边形ABCD中，ABCACBADC45.若BD9，CD3，求AD的长 参考答案1(1)证明：在RtABC中，BAC30，E为AB边的中点，BCEA，ABC60.DEB为等边三角形，DBDE，DEBDBE60，DEA120，DBC120，DEADBC，ADECDB.(2)解：如图，作点E关于直线AC对称点E，连结BE交AC于点H，连结EH，AE，则点H即为符合条件的点由作图可知，EHHE，AEAE，EACBAC30，EAE60，EAE为等边三角形，EEEAAB，AEB90.在RtABC中，BAC30，BC，AB2，AEAE，BE3，BHEH的最小值为3.2(1)证明：ABC是等边三角形，ABC60，ABBCCA.ADBECF，BDCEAF.在ADF，BED和CFE中，ADFBEDCFE，FDDEEF，DEF是等边三角形(2)解：ABC和DEF是等边三角形，DEFABC.当DEBC时(EFBC时，同理)，BDE30，BEBD，即BEBC，CEBC.EFECsin 60BCBC，()2()2.3(1)证明：A40，B60，ACB80，ABC不是等腰三角形CD平分ACB，ACDBCDACB40，ACDA40，ACD为等腰三角形DCBA40，CBDABC，BCDBAC，CD是ABC的完美分割线 (2)解：当ADCD时，如图，则ACDA48.BDCBCA，BCDA48，ACBACDBCD96.当ADAC时，如图，则ACDADC66.BDCBCA，BCDA48，ACBACDBCD114.当ACCD时，如图，则ADCA48.BDCBCA，BCDA48.ADCBCD48与ADCBCD矛盾，ACCD不成立综上所述，ACB96或114.(3)解：由已知得ADAC2.BCDBAC，.设BDx(x0)，则()2x(x2)，解得x1(负值舍去)，CD2.4(1)证明：ABC和ADE是等腰直角三角形，BACDAE90，ABAC，ADAE，DABEAC，ADBAEC，BDCE.(2)解：如图，当点E在AB上时，BEABAE1.EAC90，CE.同(1)可证ADBAEC，DBAECA.PEBAEC，PEBAEC，PB.如图，当点E在BA延长线上时，BE3.EAC90，CE.同(1)可证ADBAEC，DBAECA.BEPCEA，PEBAEC，PB.综上所述，PB的长为或.5(1)证明：在RtABC中，AB6，AC8，BC10，sinB，sinC.如图，过点Q作QEAB于点E，作QDAC于点D.在RtBQE中，BQ5t，sinB，QE4t.在RtCDQ中，CQBCBQ105t，QDCQsinC(105t)3(2t)，QEBQsinB5t4t.由运动知AP3t，CR4t，BPABAP63t3(2t)，ARACCR84t4(2t)，SAPRAPAR3t4(2t)6t(2t)，SBPQBPQE3(2t)4t6t(2t)，SCQRCRQD4t3(2t)6t(2t)，SAPRSBPQSCQR，APR，BPQ，CQR的面积相等(2)解：由(1)知，SAPRSBPQSCQR6t(2t)AB6，AC8，SPQRSABC(SAPRSBPQSCQR)6836t(2t)2418(2tt2)18(t1)26.0t2，当t1时，SPQR最小6.(3)解：存在由(1)知QE4t，QD3(2t)，AP3t，CR4t，AR4(2t)，BPABAP63t3(2t)，ARACCR84t4(2t)A90，四边形AEQD是矩形，AEDQ3(2t)，ADQE4t，DR|ADAR|4t4(2t)|4(2t2)|，PE|APAE|3t3(2t)|3(2t2)|.DQE90，PQR90，DQREQP，tanDQRtanEQP.在RtDQR中，tanDQR，在RtEQP中，tanEQP，t或1.6解：(1) BCDCEC(2)BD2CD22AD2，理由如下：如图，连结CE.BACBADDAC90，DAECAEDAC90，BADCAE.在BAD与CAE中，BADCAE，BDCE，ACEB，DCE90，CE2CD2ED2.在RtADE中，AD2AE2ED2，ADAE，BD2CD2ED2，EDAD，BD2CD22AD2.(3)如图，作AEAD，使AEAD，连结CE，DE.BACCADDAECAD，即BADCAE.在BAD与CAE中，BADCAE(SAS)，BDCE9.ADC45，EDA45，EDC90，DE6.DAE90，ADAEDE6.