2022高考数学”一本“培养优选练 压轴大题抢分练1 文

2022高考数学”一本“培养优选练 压轴大题抢分练1 文1已知抛物线y22px(p0)上点M(3，m)到焦点F的距离为4.(1)求抛物线方程；(2)点P为准线上任意一点，AB为抛物线上过焦点的任意一条弦，设直线PA，PB，PF的斜率为k1，k2，k3，问是否存在实数，使得k1k2k3恒成立若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由解(1)抛物线y22px(p0)的焦点为，准线为x，由抛物线的定义可知：43，p2，抛物线方程为y24x.(2)由于抛物线y24x的焦点F为(1,0)，准线为x1，设直线AB：xmy1，与y24x联立，消去x，整理得：y24my40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(1，t)，有易知k3，而k1k2t2k3，存在实数2，使得k1k2k3恒成立2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：y21，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m，n，mn0.(1)求证：k1k2；(2)试探求OPQ的面积S是否为定值？并说明理由解(1)k1，k2存在，x1x20，mn0，m，n，y1y20，k1k2.(2)当直线PQ的斜率不存在，即x1x2，y1y2时，由得，y0，又由P(x1，y1)在椭圆上，得y1，|x1|，|y1|.SPOQ|x1|y1y2|1.当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为ykxb.由得(4k21)x28kbx4b240，x1x2，x1x2.y1y20，(kx1b)(kx2b)0，得2b24k21，SPOQ|PQ|b|2|b|1.综上可得，POQ的面积S为定值3已知f(x)xln x.(1)求f(x)的最小值；(2)证明：对一切x(0，)都有ln x.解(1)f(x)1ln x，在上，f(x)0，f(x)递减，在上，f(x)0，f(x)递增，所以f(x)在x时，取得最小值f.(2)要证：ln x只需证：xln x，因为f(x)xln x在(0，)最小值为，所以构造函数g(x)(x0)，g(x)，因此g(x)在(0,1)递增，在(1，)递减，所以g(x)最大值为g(1)，又因为f(x)与g(x)的最值不同时取得，所以f(x)g(x)，即xln x，所以ln x.4已知函数f(x)ln xa.(1)若曲线f(x)在x1处的切线l过点(1,0)，求a的值及切线l的方程；(2)若存在唯一整数x0，使得f(x0)0，求实数a的取值范围，并判断此时方程f(x)0的实根个数解(1)因为f(x)2，所以f(1)a6，f(1)2，由曲线f(x)在x1处的切线过点(1,0)，可得切线l的斜率kf(1)，即2，所以a2，且切线l的方程为y2(x1)，即2xy20.(2)由题可知：f(x)(x0)，所以当x时，f(x)0，f(x)单调递减，当x时，f(x)0，f(x)单调递增若存在唯一整数x0，使得f(x0)0，则x01，所以即所以ln 2a6，所以实数a的取值范围为.结合f(x)在上单调递减，在上单调递增，且f(1)0，f(2)0，fe3a0，可知f(x)0在上及上各有1个实根，所以f(x)0有2个实根