2022高考数学”一本“培养优选练 小题分层练9 压轴小题巧解练（1）文

2022高考数学”一本“培养优选练 小题分层练9 压轴小题巧解练（1）文一、选择题1若函数yf(x)的图象上存在不同的两点M、N关于原点对称，则称点对(M，N)是函数yf(x)的一对“和谐点对”(点对(M，N)与(N，M)看作同一对“和谐点对”)已知函数f(x)则此函数的“和谐点对”有()A1对B2对C3对D4对B作出f(x)的图象如图所示，f(x)的“和谐点对”数可转化为yex(x0)和yx24x(x0)的图象的交点个数由图象知，函数f(x)有2对“和谐点对”2已知函数f(x)2x(x0)与g(x)log2(xa)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是()A(，) B(，)C(，2) D.B由f(x)关于y轴对称的函数为h(x)f(x)2x(x0)，令h(x)g(x)，得2xlog2(xa)(x0)，则方程2xlog2(xa)在(0，)上有解，作出y2x与ylog2(xa)的图象，如图所示，当a0时，函数y2x与ylog2(xa)的图象在(0，)上必有交点，符合题意，若a0，若两函数在(0，)上必有交点，则log2a，解得0a，综上可知，实数a的取值范围是(，)，故选B.3(2018济南二模)设x1，x2分别是函数f(x)xax和g(x)xlogax1的零点(其中a1)，则x14x2的取值范围是()A4，) B(4，)C5，) D(5，)Df(x)xax的零点x1是方程xax，即ax的解，g(x)xlogax1的零点x2是方程xlogax10，即logax的解，即x1，x2是yax与ylogax与y交点A，B的横坐标，可得0x11，x21，yax的图象与ylogax关于yx对称，y的图象也关于yx对称，A，B关于yx对称，设A，B，A关于yx对称点A与B重合，x2x2x11，x14x2x1x23x223x2235，x14x2的取值范围是(5，)，故选D.4(2018马鞍山二模)已知函数f(x)在R上满足f(x)f(x)x2，当x(0，)时，f(x)x.若f(1a)f(1a)2a，则实数a的取值范围是()A0，) B1，)C(，0 D(，1A由题意可设g(x)f(x)x2，x(0，)时，f(x)x，g(x)f(x)x0，g(x)在(0，)上单调递增，又f(x)f(x)x2，g(x)g(x)f(x)f(x)x2x2x20，g(x)为奇函数，又f(0)0，g(x)0，g(x)为(，)上的增函数，又f(1a)f(1a)2a，g(1a)g(1a)0，即g(1a)g(1a)，1a1a，即a0，故选A.5已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数yf(2x21)f(x)只有一个零点，则实数的值是()A. B. C DC函数yf(2x21)f(x)只有一个零点，方程f(2x21)f(x)0只有一个实数根，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)f(x)，f(2x21)f(x)0f(2x21)f(x)f(2x21)f(x)2x21x，方程2x2x10只有一个实数根，(1)242(1)0，解得.故选C.6设F为抛物线C：y24x的焦点，过点P(1,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点，若|FQ|2，则|AB|()A. B2 C3 D4D很明显直线的斜率存在，设直线方程为yk(x1)，与抛物线联立可得：k2x2(2k24)xk20，则：xQ1，yQk(xQ1)，即Q，而F(1,0)，利用两点之间距离公式可得：|FQ|2，整理化简可得：0，2.利用根与系数的关系有：x1x26，x1x21，则|x1x2|，由弦长公式可得：|AB|x1x2|4.7已知定义在(0，)上的函数f(x)，满足f(x)0；f(x)f(x)3f(x)(其中f(x)是f(x)的导函数，e是自然对数的底数)，则的取值范围为()A. B.C. D.A构造函数g(x)，x(0，)，则g(x)0，所以函数g(x)在(0，)上是增函数，所以g(1)g(2)，即，则e；令h(x)，x(0，)，则h(x)0, 函数h(x)在(0，)上是减函数，所以h(1)h(2)，即，则.综上，e，故答案为A.8(2018黄山二模)已知椭圆和双曲线有共同焦点F1，F2, P是它们的一个交点，且F1PF2，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则的最大值为()A. B. C2 D3A考查一般性结论，当F1PF2时：设|PF1|m，|PF2|n，椭圆的长半轴长为a1，双曲线的长半轴长为a2，两曲线的焦距为c，结合题意有：mn2a1，|mn|2a2，两式平方相加可得：m2n22(aa)，两式平方作差可得：mnaa，由余弦定理有：4c2m2n22mncos ，则：4c22(aa)2(aa)cos ，2c2(1cos )a(1cos )a，即1，结合二倍角公式有：1.本题中，则有1，即12，则，当且仅当2，时等号成立，据此可得的最大值为.故选A.9设函数f(x)ex(12x)ax，其中a1，若存在唯一负整数x0，使得f(x0)a，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.D设g(x)ex(2x1)，yaxa，由题意知存在唯一的负整数x0使得g(x0)在直线yaxa的下方，g(x)ex(2x1)2exex(2x1)，当x时，g(x)0，当x时，g(x)0，当x时，g(x)取最小值2e，直线yaxa恒过定点(1,0)且斜率为a，故a0且g(1)3e1aa，g(2)2aa，解得a，故选D.10已知F是抛物线x24y的焦点，P为抛物线上的动点，且点A的坐标为(0，1)，则的最小值是()A. B. C. D.C由题意可得，抛物线x24y的焦点F(0,1)，准线方程为y1.过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线的定义可得|PF|PM|，则sinPAM，PAM为锐角当PAM最小时，最小，则当PA和抛物线相切时，最小设切点P(2，a)，由yx2的导数为yx，则PA的斜率为2，a1，则P(2,1)|PM|2，|PA|2， sinPAM，故选C.11已知函数f(x)(xa)2(exa)2(aR)，若存在x0R，使得f(x0)成立，则实数a的值为()A. B. C. D.D函数f(x)可以看作是动点M(x，ex)与动点N(a，a)之间距离的平方，动点M在函数yex的图象上，N在直线yx的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由yex得，yex，令y1，解得x0，曲线上点M(0,1)到直线yx的距离最小，最小距离d，则f(x)，根据题意，要使f(x0)，则f(x0)，此时N恰好为垂足，由kMN1，解得a，故选D.12(2018东莞高三二模)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为2，过右焦点F的直线l交双曲线C的两条渐近线于A，B两点，且20，则直线l的斜率k(k0)的值等于()A3 B2 C. D.A因为双曲线C：1(a0，b0)的离心率为2，所以2，则双曲线的两条渐近线方程为yx，设过右焦点F的直线l的方程为xtyc，联立得yA，联立，得yB，由20，得yA2yB，即，解得t，即直线l的斜率k(k0)的值等于3.故选A.二、填空题13已知函数f(x)且关于x的方程f(x)xa0有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是_(1，)依题意，由f(x)xa0有且只有一个实数根得，函数yf(x)的图象与直线yxa有唯一公共点在同一平面直角坐标系中画出直线yx与函数yf(x)的大致图象(图略)，平移直线yx，当平移到该直线在y轴上的截距大于1时，相应直线与函数yf(x)的图象有唯一公共点，即此时关于x的方程有且只有一个实数根，因此a1，即实数a的取值范围是(1，)14双曲线C：1 的左、右焦点为F1，F2，过F1的直线交双曲线左支于A，B两点，则|AF2|BF2|的最小值为_10根据双曲线1得a2，b，根据双曲线的定义|AF2|AF1|2a4，|BF2|BF1|2a4，相加得|AF2|BF2|(|BF1|AF1|)8，由题意可知|AF1|BF1|AB|，当|AB|是双曲线通径时|AB|最小，即有|AF2|BF2|(|BF1|AF1|)|AF2|BF2|AB|8，即有|AF2|BF2|8|AB|8810，故答案为10.15有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”乙说：“甲、丙都未获奖”丙说：“我获奖了”丁说：“是乙获奖”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是_丙若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意故答案为丙16(2018惠州二模)已知F是抛物线x24y的焦点，有人由“追求”联想到“锥、球”并构造了一道名为追求2017的题目，请你解答此题：球O的球心为点O，球O内切于底面半径为、高为3的圆锥，三棱锥VABC内接于球O，已知OAOB，ACBC，则三棱锥VABC的体积的最大值为_圆锥的母线长为2，设球O的半径为r，则，解得r1.OAOB，OAOB1，AB，ACBC，C在以AB为直径的圆上，平面OAB平面ABC，O到平面ABC的距离为，故V到平面ABC的最大距离为1.又C到AB的最大距离为，三棱锥VABC的体积的最大值为.