2022年高考数学一轮复习 第一部分 基础与考点过关 第八章 立体几何初步学案

2022年高考数学一轮复习 第一部分 基础与考点过关 第八章 立体几何初步学案理解空间点、线、面的基本位置关系；会用数学语言规范地表述空间点、线、面的位置关系了解公理1，2，3及公理3的推论1，2，3，并能正确判定；了解平行公理和等角定理理解空间直线、平面位置关系的定义，能判定空间两直线的位置关系；了解异面直线所成的角1. (必修2P24练习2改编)用集合符号表示“点P在直线l外，直线l在平面内”为_答案：Pl，l解析：考查点、线、面之间的符号表示2. (必修2P28练习2改编)已知ABPQ，BCQR，若ABC45，则PQR_答案：45或135解析：由等角定理可知PQR与ABC相等或互补，故答案为45或135.3. (原创)若直线l上有两个点在平面外，则_(填序号) 直线l上至少有一个点在平面内； 直线l上有无穷多个点在平面内； 直线l上所有点都在平面外； 直线l上至多有一个点在平面内答案：解析：由已知得直线l，故直线l上至多有一个点在平面内4. (必修2P31习题15改编)如图所示，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，则下列结论中不正确的是_(填序号) 当时，四边形EFGH是平行四边形； 当时，四边形EFGH是梯形； 当时，四边形EFGH一定不是平行四边形； 当时，四边形EFGH是梯形答案：解析：由，得EHBD，且，同理得FGBD 且 ，当时，EHFG且EHFG.当时，EHFG，但EHFG，只有错误5. (必修2P30练习2改编)在正方体A1B1C1D1ABCD中，与AB异面的棱有_答案：A1D1，DD1，CC1，C1B11. 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面2. 空间两条直线的位置关系位置关系共面情况公共点个数相交直线在同一平面内有且只有一个平行直线在同一平面内 没有异面直线不同在任何一个平面内没有3. 平行直线的公理及定理(1) 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行(2) 定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等4. 异面直线的判定(1) 判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线(2) 符号表示：若l，A，B，Bl，则直线AB与l是异面直线5. 异面直线所成的角(1) 定义：设a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线aa，bb，我们把直线a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角(2) 范围：.(3) 若异面直线a，b所成的角是直角，就称异面直线a，b互相垂直记作ab.备课札记,1平面的基本性质),1)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别为CC1，AA1的中点，画出平面BED1F和平面ABCD的交线解：如图，在平面ADD1A1内延长D1F与DA交于一点P，则P平面BED1F. DA平面ABCD， P平面ABCD， 点P是平面ABCD与平面BED1F的一个公共点又点B是两平面的一个公共点， PB为两平面的交线如图，在直角梯形ABDC中，ABCD，ABCD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由解：显然点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于ABCD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示 EAC，AC平面SAC， E平面SAC.同理，可证E平面SBD， 点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连结SE，则直线SE是平面SBD和平面SAC的交线,2共点、共线、共面问题),2)如图，在四边形ABCD和四边形ABEF中，BCAD，BCAD，BEFA，BEFA，点G，H分别为FA，FD的中点(1) 求证：四边形BCHG是平行四边形(2) C，D，F，E四点是否共面？为什么？(1) 证明：因为点G，H分别为FA，FD的中点，所以GHAD，GHAD.又BCAD，BCAD，所以GHBC，且GHBC，所以四边形BCHG为平行四边形(2) 解：C，D，F，E四点共面理由如下：由BEFA，BEFA，点G为FA的中点知，BEFG，BEFG，所以四边形BEFG为平行四边形，所以EFBG.由(1)知BGCH，BGCH，所以EFCH，所以EF与CH共面又DFH，所以C，D，F，E四点共面变式训练如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是AB，BC的中点，A1C1与B1D1交于点O.求证：A1，C1，F，E四点共面证明：如图，连结AC，因为点E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是ABC的中位线，所以EFAC.由直棱柱知AA1綊CC1，所以四边形AA1C1C为平行四边形，所以ACA1C1.所以EFA1C1，故A1，C1，F，E四点共面,3空间直线位置关系问题),3)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N分别是A1B1，B1C1的中点求证：(1) AM和CN共面；(2) D1B和CC1是异面直线证明：(1) 如图，连结MN，A1C1，AC. 点M，N分别是A1B1，B1C1的中点， MNA1C1. A1A綊C1C， 四边形A1ACC1为平行四边形， A1C1AC， MNAC， A，M，N，C四点共面，即AM和CN共面(2) ABCDA1B1C1D1是正方体， B，C，C1，D1不共面假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面，使D1B平面，CC1平面， D1，B，C，C1，这与B，C，C1，D1不共面矛盾 假设不成立，即D1B与CC1是异面直线变式训练已知空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD的中点(1) 求证：BC与AD是异面直线；(2) 求证：EG与FH相交证明：(1) 假设BC与AD不是异面直线，则BC与AD共面不妨设它们所共平面为，则B，C，A，D，所以四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾所以BC与AD是异面直线(2) 如图，连结AC，BD，则EFAC，HGAC，因此EFHG；同理EHFG，则EFGH为平行四边形又EG，FH是平行四边形EFGH的对角线，所以EG与FH相交1. 在下列命题中，不是公理的是_(填序号) 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线； 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面； 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内； 平行于同一个平面的两个平面相互平行答案：解析：不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；是平面的基本性质公理2. 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论： ABEF； AB与CM所成的角为60； EF与MN是异面直线； MNCD.以上结论中正确的是_(填序号)答案：解析：把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，ABEF，EF与MN是异面直线，ABCM，MNCD，只有正确3. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有_条答案：无数解析：在A1D1，C1D1上任取一点P，M，过点P，M与直线EF作一个平面，因CD与平面不平行，所以它们相交，设CDQ，连结PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线由点P的任意性知，有无数条直线与直线A1D1，EF，CD都相交4. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱CC1，BB1及DD1的中点求证：BGCFD1E.证明： 点E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点， CE平行且等于GD1，BF平行且等于GD1，则四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形则GCD1E，GBD1F. BGC与FD1E对应两边的方向分别相同， BGCFD1E.5. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，点E为AB的中点，点F为AA1的中点求证：(1) C1，O，M三点共线；(2) E，C，D1，F四点共面；(3) CE，D1F，DA三线共点证明：(1) C1，O，M平面BDC1，又C1，O，M平面A1ACC1，由公理3知，点C1，O，M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上， C1，O，M三点共线(2) 点E，F分别是AB，A1A的中点， EFA1B. A1BCD1， EFCD1. E，C，D1，F四点共面(3) 由(2)可知，E，C，D1，F四点共面 EFA1B，EFA1B， EFD1C， D1F，CE为相交直线，记交点为P.则PD1F平面ADD1A1，PCE平面ADCB， P平面ADD1A1平面ADCBAD， CE，D1F，DA三线共点1. 如图，在正方体ABCDEFMN中，BM与ED平行；CN与BM是异面直线；CN与BE是异面直线；DN与BM是异面直线以上四个命题中，正确的命题是_(填序号)答案： 解析：观察图形，根据异面直线的定义可知，BM与ED是异面直线，CN与BM是异面直线，CN与BE不是异面直线，DN与BM是异面直线，故错误，正确即正确的命题是.2. 在空间四边形ABCD中，ABCD且AB与CD所成的角为30，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角解：如图，取AC的中点P.连结PM，PN，则PMAB，且PMAB，PNCD，且PNCD，所以MPN为直线AB与CD所成的角(或所成角的补角)则MPN30或MPN150.若MPN30，因为PMAB，所以PMN是AB与MN所成的角(或所成角的补角)又ABCD，所以PMPN，则PMN是等腰三角形，所以PMN75，即直线AB与MN所成的角为75.若MPN150，易知PMN是等腰三角形，所以PMN15，即直线AB与MN所成的角为15.故直线AB和MN所成的角为75或15.3. 已知在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N分别是棱CD，AD的中点求证：(1) 四边形MNA1C1是梯形；(2) DNMD1A1C1.证明：(1) 如图，连结AC，在ACD中， 点M，N分别是CD，AD的中点， MN是三角形ACD的中位线， MNAC，MNAC.由正方体的性质得ACA1C1，ACA1C1， MNA1C1且MNA1C1，即MNA1C1， 四边形MNA1C1是梯形(2) 由(1)知MNA1C1.又 NDA1D1， DNM与D1A1C1相等或互补而DNM与D1A1C1均是直角三角形中的锐角， DNMD1A1C1.1. 证明点线共面的常用方法：一是依据题中所给部分条件先确定一个平面，然后证明其余的点或线都在平面内；二是将所有元素分成几个部分，然后分别确定几个平面，再证这些平面重合；三是采用反证法2. 证明三线共点的方法：通常先证明两条直线的交点在第三条直线上，而第三条直线是分别经过这两条直线的两个平面的一条交线3. 异面直线的证明方法：一是应用判定定理(过平面内一点与平面外一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线)；二是采用反证法判定异面直线时通常采用排除法(既不相交也不平行)或判定定理4. 对于异面直线所成的角，要注意角的范围是以及两条直线垂直的定义，平移法是解决此类问题的关键备课札记第2课时直线与平面的位置 关系(1) (对应学生用书(文)109110页、(理)111112页)了解直线与平面的位置关系，了解线面平行的有关概念；除了能熟练运用线面平行的判定定理和性质定理外，还能运用定义判断位置关系 要熟练掌握线面平行的定义、判定及性质. 要注意线线关系、线面关系以及面面关系的转化对于直线与平面所成的角，点到面的距离了解即可1. (必修2P35练习2改编)给出下列条件： l； l与至少有一个公共点； l与至多有一个公共点则能确定直线l在平面外的条件为_(填序号)答案：解析：直线l在平面外：l或直线l与平面仅有一个交点2. (必修2P35练习7改编)在梯形ABCD中，ABCD，AB平面，CD平面，则直线CD与平面内的直线的位置关系是_答案：平行或异面解析：因为ABCD，AB平面，CD平面，所以CD平面，所以CD与平面内的直线可能平行，也可能异面3. (必修2P35练习4改编)在正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的表面中，与A1F1平行的平面是_答案：平面ABCDEF、平面CC1D1D解析：在正六棱柱中，易知A1F1AF，AF平面ABCDEF，且A1F1平面ABCDEF，所以A1F1平面ABCDEF.同理，A1F1C1D1，C1D1平面CC1D1D，且A1F1平面CC1D1D，所以A1F1平面CC1D1D.其他各面与A1F1均不满足直线与平面平行的条件故答案为平面ABCDEF与平面CC1D1D.4. (原创)P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出下列四个命题： OM平面PCD； OM平面PBC； OM平面PDA； OM平面PBA.其中正确命题的个数是_答案：2解析：由已知OMPD，得OM平面PCD且OM平面PAD.故正确的只有.5. (必修2P41习题5改编)在四面体ABCD中，点M，N分别是ACD，BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是_答案：平面ABC、平面ABD解析：如图，连结AM并延长交CD于E，连结BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点E，由，得MNAB，因此，MN平面ABC，且MN平面ABD.1. 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：位置关系直线a在平面内直线a与平面相交直线a与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示aaAa图形表示2. 直线与平面平行判定定理性质定理文字如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行符号图形作用线线平行线面平行线面平行线线平行,1基本概念辨析),1)下列命题中真命题的个数为. 直线l平行于平面内的无数条直线，则l； 若直线a在平面外，则a； 若直线ab，直线b，则a； 若直线ab，b，那么直线a平行于平面内的无数条直线.答案：1解析： 直线l虽与平面内无数条直线平行，但l有可能在平面内， l不一定平行于. 是假命题. 直线a在平面外，包括两种情况：a和a与相交， a和不一定平行. 是假命题. 直线ab，b，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面内， a不一定平行于. 是假命题. ab，b，那么a或a， a可以与平面内的无数条直线平行. 是真命题.综上可知，真命题的个数为1.下列命题中正确的是.（填序号） 若直线a不在平面内，则a； 若直线l上有无数个点不在平面内，则l； 若直线l与平面平行，则l与内的任意一条直线都平行； 若l与平面平行，则l与内任何一条直线都没有公共点； 平行于同一平面的两直线可以相交.答案：解析：如图，aA时，a， 错误；直线l与相交时，l上有无数个点不在内， 错误；l时，内的直线与l平行或异面， 错误；l，l与无公共点， l与内任一直线都无公共点，正确；如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，A1C1与B1D1都与平面ABCD平行， 正确.,2线面平行的判定),2)如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，点E是PC的中点.求证：PA平面BDE.证明：如图，连结AC交BD于点O，连结OE.在平行四边形ABCD中，O是AC的中点，又E是PC的中点， OEPA. PA平面BDE，OE平面BDE， PA平面BDE.变式训练如图，在三棱柱A1B1C1ABC中， E，F分别是A1B，AC1的中点.求证：EF平面ABC.证明：如图，连结A1C，因为三棱柱A1B1C1ABC中，四边形AA1C1C是平行四边形，所以点F在A1C上，且为A1C的中点.在A1BC中，因为E，F分别是A1B，A1C的中点，所以EFBC.因为BC平面ABC，EF平面ABC，所以EF平面ABC.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点.求证：AP平面C1MN.证明：在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为点M，P分别为棱AB，C1D1的中点，所以AMPC1.又AMCD，PC1CD，故AMPC1，所以四边形AMC1P为平行四边形.从而APC1M.又AP 平面C1MN，C1M平面C1MN，所以AP平面C1MN.,3线面平行的性质),3)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，CC14，M是棱CC1上的一点.若点N是AB的中点，且CN平面AB1M，求CM的长.解：（解法1）如图，取AB1的中点P，连结NP，PM.因为点N是AB的中点，所以NPBB1.因为CMBB1，所以NPCM，所以NP与CM共面.因为CN平面AB1M，平面CNPM平面AB1MMP，所以CNMP.所以四边形CNPM为平行四边形，所以CMNPCC12. （解法2）如图，设NC与CC1确定的平面交AB1于点P，连结NP，PM.因为CN平面AB1M，CN平面CNPM，平面AB1M平面CNPMPM，所以CNMP.因为BB1CM，BB1平面CNPM，CM平面CNPM，所以BB1平面CNPM.又BB1平面ABB1，平面ABB1平面CNPMNP，所以BB1NP，所以CMNP，所以四边形CNPM为平行四边形.因为点N是AB的中点，所以CMNPBB1CC12.（解法3）如图，取BB1的中点Q，连结NQ，CQ.因为点N是AB的中点，所以NQAB1.因为NQ平面AB1M，AB1平面AB1M，所以NQ平面AB1M.因为CN平面AB1M，NQNCN，NQ，NC平面NQC，所以平面NQC平面AB1M.因为平面BCC1B1平面NQCQC，平面BCC1B1平面AB1MMB1，所以CQMB1.因为BB1CC1，所以四边形CQB1M是平行四边形，所以CMB1QCC12.（解法4）如图，分别延长BC，B1M，设交点为S，连结AS.因为CN平面AB1M，CN平面ABS，平面ABS平面AB1MAS，所以CNAS.由于ANNB，所以BCCS.又CMBB1，同理可得SMMB1，所以CMBB1CC12.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE平面BCC1B1.求证：点E是AB的中点.证明：连结BC1，因为OE平面BCC1B1，OE平面ABC1，平面BCC1B1平面ABC1BC1，所以OEBC1.在斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C是平行四边形，AC1A1CO，所以点O是AC1的中点，所以1，即点E是AB的中点.1. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABAC，点M，N，P分别为BC，CC1，BB1的中点.求证：A1N平面AMP.证明：取C1B1的中点D，连结A1D，DN，DM，B1C.由于点D，M分别为C1B1，CB的中点，所以DMCC1且DMCC1，故DMAA1且DMAA1，则四边形A1AMD为平行四边形，所以A1DAM.又A1D平面APM，AM平面APM，所以A1D平面APM.由于D，N分别为C1B1，CC1的中点，所以DNB1C.又点P，M分别为BB1，CB的中点，所以MPB1C.所以DNMP.又DN平面APM，MP平面APM，所以DN平面APM.由于A1DDND，所以平面A1DN平面APM.由于A1N平面A1DN，所以A1N平面APM.2. 如图，在四棱锥EABCD中，四边形ABCD为矩形，点M，N分别是AE，CD的中点.求证：直线MN平面EBC.证明：取BE中点F，连结CF，MF.因为点M是AE的中点，所以MF綊AB.又点N是矩形ABCD边CD的中点，所以NC綊AB，所以MF綊NC，所以四边形MNCF是平行四边形，所以MNCF.又MN平面EBC，CF平面EBC，所以MN平面EBC.3. 如图，在正三棱柱ABCABC中，D是AA上的点，点E是BC的中点，且AE平面DBC.试判断D点在AA上的位置，并给出证明.解：点D为AA的中点.证明如下：如图，取BC的中点F，连结AF，EF，设EF与BC交于点O，连结DO，BE，CF，在正三棱柱ABCABC中，点E是BC的中点，所以EFBBAA，且EFBBAA，所以四边形AEFA是平行四边形.因为AE平面DBC，AE平面AEFA，且平面DBC平面AEFADO，所以AEDO.在正三棱柱ABCABC中，点E是BC的中点，所以ECBC且ECBF，所以四边形BFCE是平行四边形，所以点O是EF的中点.因为在平行四边形AEFA中， AEDO，所以点D为AA的中点.4. 如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，点E是A1C1的中点.求证：BE平面ACD1.证明：如图，连结B1D1交A1C1于点E，连结BD交AC于点O，连结OD1. 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形， D1EBO且D1EBO， 四边形BED1O是平行四边形， BEOD1. OD1平面ACD1，BE平面ACD1， BE平面ACD1.5. 如图，在四棱锥PABCD中，PC平面PAD，ABCD，CD2AB2BC，点M，N分别是棱PA，CD的中点.求证：PC平面BMN.证明：设ACBNO，连结MO，AN.因为ABCD，ABCD，点N为CD的中点，所以ABCN，ABCN，所以四边形ABCN为平行四边形，所以O为AC的中点.又点M为PA的中点，所以MOPC.因为MO平面BMN，PC 平面BMN，所以PC平面BMN.1. 如图，在三棱锥PABC中，点M，N分别为AB，PA的中点.求证：PB平面MNC.证明：因为点M，N分别为AB，PA的中点，所以MNPB.因为MN平面MNC，PB 平面MNC，所以PB平面MNC.2. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，点D是AB的中点.求证：BC1 平面A1CD.证明：连结AC1，设交A1C于点O，连结OD. 四边形AA1C1C是矩形， O是AC1的中点. 在ABC1中， O，D分别是AC1，AB的中点， ODBC1. OD平面A1CD，BC1平面A1CD， BC1平面A1CD.3. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点PBB1（P不与B，B1重合）.PAA1BM，PCBC1N.求证：MN平面ABCD.证明：连结AC，A1C1，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1CC1，且AA1CC1， 四边形ACC1A1是平行四边形. ACA1C1. AC平面A1BC1，A1C1平面A1BC1， AC平面A1BC1. AC平面PAC，平面A1BC1平面PACMN， ACMN. MN平面ABCD，AC平面ABCD， MN平面ABCD.1. 判定或证明直线与平面平行的常用方法（1） 利用直线与平面平行的定义（无公共点）.（2） 利用直线与平面平行的判定定理（a，b，aba）.（3） 利用平面与平面平行的性质（，aa）.注意不管用哪种方法，都应将相应的条件写全，缺一不可.2. 直线与平面平行的性质定理的作用是证线线平行，应用时常常需构造辅助平面，和在平面几何中添加辅助线一样，在构造辅助平面时要确认这个平面的存在性.3. 证明平行问题时要注意“转化思想”的应用，要抓住线线、线面、面面之间的平行关系，实现“空间问题”与“平面问题”之间的转化.备课札记第3课时直线与平面的位置 关系（2） （对应学生用书（文）111113页、（理）113115页）了解直线与平面的位置关系，了解空间垂直的有关概念；熟练运用线面垂直的判定定理和性质定理.要注意线线垂直、线面垂直的转化.可以按照要证明的目标重新整理知识点.1. （必修2P38练习2（3）改编）已知直线l，a，b，平面.若la，a，b，则l与b的位置关系是.答案：平行解析：由线面垂直的性质可知，若a，b，则ab.因为la，所以lb.2. 已知两条异面直线平行于一平面，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是.（填序号） 平行； 垂直； 斜交； 不能确定.答案：解析：设a，b为异面直线，a平面，b平面，直线la，lb.过a作平面a，则aa， la.同理过b作平面b，则lb. a，b异面， a与b相交， l.3. 设l，m表示直线，m是平面内的任意一条直线，则“lm”是“l”成立的条件.（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”）答案：充要解析：由线面垂直的定义知，直线垂直于平面内任意一条直线，则直线与平面垂直，说明是充分条件，反之，直线垂直于平面，则直线垂直于平面内任意一条直线，说明是必要条件，则“lm”是“l”成立的充要条件.4. （必修2P42习题9改编）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆O上不同于A，B的任一点，则图中直角三角形的个数为.答案：4解析：因为AB是圆O的直径，所以ACBC，ACB是直角三角形；由PA平面ABC可得，PAAB，PAAC，所以PAB与PAC是直角三角形；因为PA平面ABC，且BC平面ABC，所以PABC.又BCAC，PAACA，所以BC平面PAC.而PC平面PAC，所以BCPC，PCB是直角三角形.故直角三角形的个数为4.5. （必修2P38练习3改编）在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB1，则点C到平面B1BDD1的距离为.答案：解析：连结AC，则ACBD，又BB1AC，故AC平面B1BDD1，所以点C到平面B1BDD1的距离为AC.1. 直线与平面垂直的定义：如果一条直线a与一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a与平面互相垂直，记作a，直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足.2. 结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.3. 直线与平面垂直判定定理性质定理文字如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行符号图形作用线线垂直线面垂直线面垂直线线平行4. 点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.5. 直线和平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离.6. 直线与平面所成的角（1） 斜线一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段.（2） 射影过平面外一点P向平面引斜线和垂线，那么过斜足Q和垂足P1的直线就是斜线在平面内的正投影（简称射影），线段P1Q就是斜线段PQ在平面内的射影，如图.（3） 直线和平面所成的角平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角.特别地，如果直线和平面垂直，那么就说这条直线与平面所成的角是直角；如果直线与平面平行或在平面内，则它们所成的角是0的角.备课札记,1直线与平面垂直的判定),1)如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是AB，BC的中点，A1C1与B1D1交于点O.若底面ABCD是菱形，且ODA1E，求证：OD平面A1C1FE.证明：连结BD，因为直棱柱中DD1平面A1B1C1D1，A1C1平面A1B1C1D1，所以DD1A1C1.因为底面A1B1C1D1是菱形，所以A1C1B1D1.又DD1B1D1D1，所以A1C1平面BB1D1D.因为OD平面BB1D1D，所以ODA1C1.又ODA1E，A1C1A1EA1，A1C1平面A1C1FE，A1E平面A1C1FE，所以OD平面A1C1FE.变式训练如图，在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，PAPB，M，N分别为AB，PA的中点.若ACBC，求证：PA平面MNC.证明：因为M，N分别为AB，PA的中点，所以MNPB.又因为PAPB，所以PAMN.因为ACBC，AMBM，所以CMAB.因为平面PAB平面ABC，CM平面ABC，平面PAB平面ABCAB，所以CM平面PAB.因为PA平面PAB，所以CMPA.又因为PAMN，MN平面MNC，CM平面MNC，MNCMM，所以PA平面MNC.,2直线与平面垂直性质的应用),2)如图，在四棱锥PABCD中，AD平面PAB，APAB.（1） 求证：CDAP；（2） 若CDPD，求证：CD平面PAB.证明：（1） 因为AD平面PAB，AP平面PAB，所以ADAP.因为APAB，ABADA，AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以AP平面ABCD.因为CD平面ABCD，所以CDAP.（2） 因为CDAP，CDPD，且PDAPP，PD平面PAD，AP平面PAD，所以CD平面PAD.因为AD平面PAB，AB平面PAB，所以ABAD.因为APAB，APADA，AP平面PAD，AD平面PAD，所以AB平面PAD.由得CDAB，因为CD平面PAB，AB平面PAB，所以CD平面PAB.变式训练如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交.求证：（1） EF平面AB1C；（2） EFBD1.证明：（1） 在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1ABCD，且A1B1ABCD，所以四边形A1B1CD是平行四边形，所以A1DB1C.因为EFA1D，所以EFB1C.又因为EFAC，ACB1CC，AC平面AB1C，B1C 平面AB1C，所以EF平面AB1C.（2） 连结BD，则BDAC.因为DD1平面ABCD，AC平面ABCD，所以DD1AC.因为ACBD，DD1BDD，DD1平面BDD1B1，BD平面BDD1B1，所以AC平面BDD1B1.又BD1平面BDD1B1，所以ACBD1.同理可证BD1B1C，又ACB1CC，AC平面AB1C，B1C平面AB1C，所以BD1平面AB1C.又EF平面AB1C，所以EFBD1.,3直线与平面垂直的探索题),3)在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D是BC的中点，BCBB1.（1） 若P是CC1上任一点，求证：AP不可能与平面BCC1B1垂直；（2） 试在棱CC1上找一点M，使MBAB1.（1） 证明：（反证法）假设AP平面BCC1B1， BC平面BCC1B1， APBC.又正三棱柱ABCA1B1C1中，CC1BC，APCC1P，AP平面ACC1A1，CC1平面ACC1A1， BC平面ACC1A1.而AC平面ACC1A1， BCAC，这与ABC是正三角形矛盾，故AP不可能与平面BCC1B1垂直.（2） 解：M为CC1的中点. 在正三棱柱ABCA1B1C1中，BCBB1， 四边形BCC1B1是正方形. 点M为CC1的中点，点D是BC的中点， B1BDBCM， BB1DCBM，BDB1CMB. BB1DBDB1， CBMBDB1， BMB1D. ABC是正三角形，D是BC的中点， ADBC. 平面ABC平面BB1C1C，平面ABC平面BB1C1CBC，AD平面ABC， AD平面BB1C1C. BM平面BB1C1C， ADBM. ADB1DD， BM平面AB1D. AB1平面AB1D， MBAB1.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.试确定点F的位置，使得D1E平面AB1F.解：如图，连结A1B，CD1，则A1BAB1. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，D1A1平面ABB1A1，AB1平面ABB1A1， A1D1AB1.又A1D1A1BA1，A1D1，A1B平面A1BCD1， AB1平面A1BCD1.又D1E平面A1BCD1， AB1D1E.于是使D1E平面AB1F等价于使D1EAF.连结DE，易知D1DAF，若有AF平面D1DE，只需证DEAF. 四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点， 当且仅当点F是CD的中点时，DEAF，即当点F是CD的中点时，D1E平面AB1F.1. 如图，在矩形ABCD中，AB1，BCa（a0），PA平面ABCD，且PA1，问BC边上是否存在点Q，使得PQQD，并说明理由.解：假设存在点Q，使得PQQD.连结AQ. PA平面ABCD，且DQ平面ABCD， PADQ. PQDQ，且PQPAP，PQ平面PAQ，PA平面PAQ， DQ平面PAQ. AQ平面PAQ， AQDQ.设BQx，则CQax，AQ2x21，DQ2（ax）21. AQ2DQ2AD2， x21（ax）21a2，即x2ax10（*）.方程（*）的判别式a24. a0， 当0，即0a0，即a2时，方程（*）有两个不等实根，设两个实根分别为x1，x2.由于x1x2a0，x1x210，则这两个实根均为正数.因此，当0a2时，BC边上存在不同的两点Q，使PQQD.2. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBCECAA1.（1） 求证：AC1平面BDE；（2） 求证：A1E平面BDE.证明：（1） 连结AC交BD于点O，连结OE.在长方体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABCD是正方形，点O为AC的中点，AA1CC1且AA1CC1，由ECAA1，得ECCC1，即点E为CC1的中点，于是在CAC1中，AC1OE.因为OE平面BDE，AC1平面BDE，所以AC1平面BDE.（2） 连结B1E.设ABa，则在BB1E中，BEB1Ea，BB12a.所以BE2B1E2BB，所以B1EBE.在长方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1平面BB1C1C，BE平面BB1C1C，所以A1B1BE.因为B1EA1B1 B1，B1E平面A1B1E，A1B1平面A1B1E，所以BE平面A1B1E.因为A1E平面A1B1E，所以A1EBE.同理A1EDE.又因为BEDEE，BE 平面BDE，DE 平面BDE，所以A1E平面BDE.3. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，点E，F分别是AB，PC的中点，PAAD.求证：（1） CDPD；（2） EF平面PCD.证明：（1） PA底面ABCD， CDPA.又矩形ABCD中，CDAD，且ADPAA，AD，PA平面PAD， CD平面PAD， CDPD.（2） 如图，取PD的中点G，连结AG，FG. 点G，F分别是PD，PC的中点， GF綊CD， GF綊AE， 四边形AEFG是平行四边形， AGEF. PAAD，G是PD的中点， AGPD， EFPD. CD平面PAD，AG平面PAD， CDAG， EFCD. PDCDD，PD，CD平面PCD， EF平面PCD.4. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1.设AB1的中点为D，B1CBC1E. 求证：（1） DE平面AA1C1C；（2） BC1AB1.证明：（1） 由题意知，点E为B1C的中点，又点D为AB1的中点，因此DEAC.因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C.（2） 因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因为AC平面ABC，所以ACCC1.因为ACBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1C，所以AC平面BCC1B1.因为BC1平面BCC1B1，所以BC1AC.因为BCCC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1B1C.因为AC，B1C平面B1AC，ACB1CC，所以BC1平面B1AC.因为AB1平面B1AC，所以BC1AB1.5. 如图，在四边形ABEF中，AFBF，点O为AB的中点，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直.（1） 求证：AF平面CBF；（2） 设FC的中点为M，求证：OM平面DAF.证明：（1） 因为平面ABCD平面ABEF，在矩形ABCD中，CBAB，平面ABCD平面ABEFAB，所以CB平面ABEF.又AF平面ABEF，则AFCB.又AFBF，且BFBCB，BF，BC平面CBF，所以AF平面CBF.（2） 设DF的中点为N，如图，连结AN，NM，则MN綊CD.又AO綊CD，则MN綊AO，所以四边形MNAO为平行四边形，所以OMAN.又AN平面DAF，OM平面DAF，所以OM平面DAF.【示例】（本题模拟高考评分标准，满分14分）如图，四棱锥PABCD的底面为平行四边形，PD平面ABCD，点M为PC的中点.（1） 求证：AP平面MBD；（2） 若ADPB，求证：BD平面PAD.学生错解：证明：（1） 如图，连结AC交BD于点O，连结OM.则点O为AC的中点.又点M为PC的中点，所以OMPA.因为OM平面MBD，AP平面MBD，所以AP平面MBD.（2） 因为PD平面ABCD，AD平面ABCD，所以PDAD.因为ADPB，所以AD平面PBD.因为BD平面PBD，所以ADBD.因为PD平面ABCD，BD平面ABCD，所以PDBD.因为BDAD，所以BD平面PAD.错因分析：本题（2）中利用直线与平面垂直的判定定理时，条件交待不全，导致失分.审题引导： 使用有关定理，必须写全条件，并且不能出现多余条件，严格按照定理描述进行表达.规范解答： 证明：（1） 如图，连结AC交BD于点O，连结OM.因为底面ABCD是平行四边形，所以点O为AC的中点.（2分）又点M为PC的中点，所以OMPA.（4分）因为OM平面MBD，AP平面MBD，所以AP平面MBD.（6分）（2） 因为PD平面ABCD，AD平面ABCD，所以PDAD.（8分）因为ADPB，PDPBP，PD平面PBD，PB平面PBD，所以AD平面PBD.（10分）因为BD平面PBD，所以ADBD.（12分）因为PD平面ABCD，BD平面ABCD，所以PDBD.因为BDAD，ADPDD，AD平面PAD，PD平面PAD，所以BD平面PAD.（14分）1. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点.若B1MN是直角，则C1MN.答案：90解析： 在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1C1平面ABB1A1， B1C1MN. MNB1M，B1MB1C1B1，B1M平面C1B1M，B1C1平面C1B1M， MN平面C1B1M， MNC1M， C1MN90.2. 如图，在四棱锥EABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BEBC，AEBE， M为CE上一点，且BM平面ACE.（1） 求证：AEBC；（2） 如果点N为线段AB的中点，求证：MN平面ADE.证明：（1） 因为BM平面ACE，AE平面ACE，所以BMAE. 因为AEBE，BEBMB，BE，BM平面EBC，所以AE平面EBC. 因为BC平面EBC，所以AEBC. （2） 取DE中点H，连结MH，AH.因为BM平面ACE，EC平面ACE，所以BMEC.因为BEBC，所以点M为CE的中点.所以MH为EDC的中位线.所以MH綊DC.因为四边形ABCD为平行四边形，所以DC綊AB，故MH綊AB.因为点N为AB中点，所以MH綊AN.所以四边形ANMH为平行四边形，所以MNAH. 因为MN平面ADE，AH平面ADE，所以MN平面ADE. 3. 如图，已知矩形ABCD，过A点作SA平面ABCD，再过A点作AESB交SB于点E，过E点作EFSC交SC于点F.（1） 求证：AFSC；（2） 若平面AEF交SD于点G，求证：AGSD.证明：（