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DSE 金牌数学专题系列 经典专题系列反比例函数中的面积问题一、 导入：飞翔的蜘蛛信念是一种无坚不催的力量，当你坚信自己能成功时，你必能成功。 一天，我发现，一只黑蜘蛛在后院的两檐之间结了一很大的网。难道蜘蛛会飞？要不，从这个檐头到那个檐头，中间有一丈余宽，第一根线是怎么拉过去的？后来，我发现蜘蛛走了许多弯路-从一个檐头起，打结，顺墙而下，一步一步向前爬，小心翼翼，翘起尾部，不让丝沾到地面的沙石或别的物体上，走过空地，再爬上对面的檐头，高度差不多了，再把丝收紧，以后也是如此。 温馨提示：蜘蛛不会飞翔，但它能够把网凌结在半空中。它是勤奋、敏感、沉默而坚韧的昆虫，它的网制得精巧而规矩，八卦形地开，仿佛得到神助。这样的成绩，使人不由想起那些沉默寡言的人和一些深藏不露的智者。于是，我记住了蜘蛛不会飞翔，但它照样把网结在空中。奇迹是执着者造成的。二、 知识点回忆由于反比例函数解析式与图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进展考察。这种考察方式既能考察函数、反比例函数本身的根底知识容，又能充分表达数形结合的思想方法，考察的题型广泛，考察方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下：利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，那么两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|PN|=|y|x|=|xy| xy=k 故S=|k| 从而得结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k| 对于以下三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以与上述结论，可得出对应的面积的结论为： 结论2：在直角三角形ABO中，面积S= 结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k| 结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k| 三、 专题讲解考点一 面积，求反比例函数的解析式或比例系数k【例1】 如图，直线OA与反比例函数的图象在第一象限交于A点，ABx轴于点B，OAB的面积为2，那么k分析：由图象知,k0,由结论与条件得 k=42如图，双曲线经过矩形的边的中点，且四边形的面积为2，那么 分析：连结OB，E、F分别为AB、BC的中点 而 由四边形OEBF的面积为2得 解得 k=2评注：第小题中由图形所在象限可确定k0，应用结论可直接求k值。第小题首先应用三角形面积的计算方法分析得出四个三角形面积相等，列出含k的方程求k值。 如图，矩形ABOD的顶点A是函数与函数在第二象限的交点，轴于B，轴于D，且矩形ABOD的面积为31求两函数的解析式2求两函数的交点A、C的坐标3假设点P是y轴上一动点，且，求点P的坐标解：1由图象知k0图象上五个整数点横、纵坐标均为整数，分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形阴影局部，那么这五个橄榄形的面积总和是 用含的代数式表示分析：x,y为正整数，x=1,2,4,8,16即A、B、C、D、E五个点的坐标为(1,16),(2,8),(4,4),(8,2),(16,1)，因五个橄榄形关于y=x对称，故有S=13-26如图，A和B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数的图象上，那么图中阴影局部的面积等于 . 分析：因为圆心A中的非阴影局部与圆B中的阴影局部为对称图形，圆A中的阴影局部与圆B中的非阴影局部也关于原点对称，故两阴影局部面积的和等于圆的面积。设圆A的圆心A的坐标为(x,y)，由图可知，x=y A点在反比例函数图象上，解得x=1从而所求面积为评注：对于较复杂的图形面积计算问题，先应观察图形的特征，假设具有对称特征，那么应用对称关系可以简化解题过程。四、 巩固练习：（1） 选择题1、反比例函数的图象如下图，点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果SMON2，那么k的值为D (A)2 (B)-2 (C)4 (D)-42、假设Aa1，b1，Ba2，b2是反比例函数图象上的两个点，且a1a2，那么b1与b2的大小关系是DAb1b2Bb1=b2Cb1b2D大小不确定3、函数与在同一坐标系的图象可以是 BxyOAxyOBxyOCxyODCBBAAA(第7题图)O（2） 填空题4、潜江如图，反比例函数的图象与直线相交于B两点，AC轴，BC轴，那么ABC的面积等于个面积单位.103解答题5、如图 所示，反比例函数的图象经过点，过点A作AB垂直x轴于点B，AOB的面积为。1求k和b的值；2假设一次函数的图象经过点A，并且与x轴相交于点M，求AB：OM的值。分析：以面积为突破口，可求出A点纵坐标b和系数k，结合A点的双重特性A点既在直线上，又在反比例函数图象上求解相应问题。解：1ABBO，A点坐标为2点A在直线上当y=0时，所以M点的坐标为点评：纵观近年来的中考试题，关于反比例函数的综合题大多是与一次函数相结合，做题时常利用交点的双重特性来构造方程组解决问题。6.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A-2，1，B1，n两点1求反比例函数和一次函数的解析式；2根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值围7：如图，函数y=-x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，一直线L经过点C1，0将AOB的面积分成相等的两局部1求直线L的函数解析式；2假设直线L将AOB的面积分成1：3两局部，求直线L的函数解析式五、 拓展训练：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点1试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；2根据图象答复，在第一象限，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？3是反比例函数图象上的一动点，其中过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点当四边形的面积为6时，请判断线段与的大小关系，并说明理由分析：1由点A3，2在两函数图象上，可求得k=6,a=，正比例函数为,反比例函数为(2)0x3(3)设D点坐标为3，t，那么M点坐标为由四边形OADM的面积为6得 3+6+3=3t 解得t=4故点M为 D点为3，4从而M点为BD中点，BM=DM评注：第小问考察求正比例和反比例函数解析式的根本方法，第小问考察分析图形的能力，第小问考察反比例函数中的面积的计算问题。三个小问题层次清楚，有梯度，是一道较好的中考题目六、反思总结当堂过手训练 快练5分钟，稳准建奇功1、正比例函数与反比例函数的图象都过，求此正比例函数的解析式与另一个交点的坐标。分析：由A点坐标满足可求得m值，再将A点坐标代入可求得正比例函数解析式，联立方程组可求得另一交点坐标。解：因图象过，即，故，即A3，1将A3，1代入，得所以正比例函数解析式为联立方程组得另一交点坐标为点评：解此类题时，一般是先构造方程或方程组再来解决问题。2、如下图，反比例函数与一次函数的图象交于A、B两点。1求A、B两点的坐标；2求AOB的面积。3、2008省1探究新知：如图1，ABC与ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由2结论应用： 如图2，点M，N在反比例函数k0的图象上，过点M作MEy轴，过点N作NFx轴，垂足分别为E，F试证明：MNEF 假设中的其他条件不变，只改变点M，N 的位置如图3所示，请判断 MN与EF是否平行。7 / 7
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