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第三章 导数及其应用班级： 姓名： 第一步 本章总览 心中有数导数及其应用变化率与导数导数的计算导数在研究函数中的应用生活中的优化问题举例第二步 分块自学 提出疑点3.1 变化率与导数（一）【自学目标】通过自学本节内容，理解有关变化率的概念、导数的概念，理解其含义，并能解决简单的变化率问题。【自学内容提炼】一、基本知识：1. 通过自学“气球膨胀率”、“高台跳水”两个问题，理解平均变化率、瞬时速度的概念。O（1）函数从到的平均变化率可以用式子表示为： （2）观察右图可得平均变化率表示的几何意义是：曲线上两点的连线（割线）的_.（3）平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势（变化快慢），或者说在某个区间上曲线陡峭的程度。（4）若物体运动的位移与时间的关系是，当趋近于0时，函数在到之间的平均变化率趋近于常数，我们就把这个常数叫做时刻的瞬时速度。2. 导数的概念一般地，函数在处的瞬时变化率是 ，我们称它为函数在处的导数，记作 或 ，即 二、典型例题归纳：（通过自己看书，归纳书上的典型题型，并回答书上的几个探究问题）例1、已知函数，求它在区间上的平均变化率.例2、过曲线上两点和作曲线的割线，求出当时割线的斜率.例3、求函数在处的导数.例4、课本P75 例1三、提出疑点与解决：【达标训练】课内完成：课本P76练习、P79 A组1课外完成：P79 A组2、3、43.1 变化率与导数（二）【自学目标】通过自学本节内容，理解导数的几何意义及导函数的概念，并会计算导函数。【自学内容提炼】一、基本知识：1. 阅读P7677，了解曲线在点P处的切线的定义。2. 函数在处的导数的几何意义：当点无限趋近于点P时，无限趋近于切线PT的斜率。因此，函数在处的导数就是切线PT的斜率k，即 3. 函数的导函数的概念：当时，是一个确定的数。当x变化时，便是x的一个函数，我们称它为的导函数（简称导数）。的导函数有时也记作，即： 二、典型例题归纳：（通过自己看书，归纳书上的典型题型，并回答书上的几个探究问题）例1、已知，求曲线在处的切线斜率和切线方程例2（P77）、根据图像描述函数在某点附近的变化情况例3（P78）、对导数的计算，引出导函数的概念三、提出疑点与解决：【达标训练】课内完成：P78练习、P79练习课外完成：P80 A组5、6，B组133.2 导数的计算自学目标：能够根据导数的定义求出几种常用函数的导数，并理解它的意义；熟记基本初等函数的导数公式；会根据导数的运算法则解题本节重难点：常用导数的计算公式自学内容提炼：一知识链接：导数的定义及几何意义及物理意义分别是什么？二自主学习书上基本知识：（一）阅读书上81页至85页的内容，小组就书上的探究及思考题进行讨论，然后完成下列填空：基本初等函数的导数公式：若，则_若，则_若，则_若，则_若，则_若，则_若，则_若，则_（根据公式，多举一些例子练习一下导数的计算，熟悉公式）导数的运算法则：（二）例题讲解：书上83页及84页的例及例,请同学们自己先看，再小组内讲解三本节课小结，提出疑点与解决：【达标训练】1课内完成：书85页练习,，A组1,2,3,8.B组22课外作业：书85页A组4,5,6,73.3 .1函数的单调性与导数【自学目标】通过自学本节内容，正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；会利用导数判断函数的单调性、求单调区间。【自学内容提炼】一、导入：复习1：以前，我们用定义来判断函数的单调性.：对于任意的两个数x1，x2I，且当x1x2时，都有 ，那么函数f(x)就是区间I上的 函数. 复习2： ； ； ； ； ； ； ； ；复习3：导数的几何意义： 二、基本知识归纳：一般地，设函数在某个区间内有导数，如果在这个区间内 ，那么函数在这个区间内的增函数；如果在这个区间内 ，那么函数在这个区间内的减函数.思考：在某个区间上恒有，说明函数有什么特征？三典型例题归纳：（归纳书上的典型题型）例1. P91 例1例2.P91 例2 看书并完成书上填空例3P92例3思考：图象的陡、缓与导数有什么关系？三、提出疑点与解决：【达标训练】1. 课内完成：P93练习 1、22. 课外完成：见同步练习3.3.2函数的极值与导数【自学目标】自学本节内容，理解极大值、极小值的概念；掌握求可导函数的极值的步骤；能够求函数的极值；【自学内容提炼】一、导入：复习1：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内，那么函数y=f(x) 在这个区间内为 函数；如果在这个区间内，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的 函数.复习2：用导数求函数单调区间的步骤：求函数f(x)的导数. 令 解不等式，得x的范围就是递增区间.令 解不等式，得x的范围，就是递减区间二、基本知识：1、看书P94探究，回答下列问题：（1）函数的极值 （填是，不是）唯一的.(2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值. (3)函数的极值点一定出现在区间的 (内，外)部，区间的端点 （能，不能）成为极值点.2、点a是函数的极小值点，则函数在点a左侧、右侧满足什么条件？点a是函数的极大值点，则函数在点a左侧、右侧满足什么条件？三典型例题归纳：例1、P95 例4 求极值的基本步骤：例2、利用函数单调性，证明三、提出疑点与解决：导数值为0的点一定是极值点吗？【达标训练】1. 课内完成：P96练习 1、22. 课外完成：见同步练习3.3 .3函数的最值与导数【自学目标】自学本节内容，理解函数的最大值和最小值的概念；掌握用导数求函数最值的方法和步骤.一、引入：若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的 点，是极 值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的 点，是极 值二、基本知识：看书P96-例5前，总结函数在上最大值与最小值可能在哪些地方取得？三典型例题归纳：例1、P97例5看完后归纳求函数在闭区间上最值的一般求法。例2、设，函数在区间上的最大值为1，最小值为，求函数的解析式.【达标训练】1. 课内完成：P98练习2. 课外完成：见同步练习3.4 生活中的优化问题举例（一）【自学目标】通过自学本节内容，了解生活中常见的优化问题及其解决方法，并会利用导数解决相关的优化问题。【自学内容提炼】一、典型例题归纳：（通过自己看书，归纳书上的典型题型，并回答书上的几个探究问题）例1. 海报版面尺寸的设计（勾函数型）变式训练要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为，四周空白的宽度为，栏与栏之间的中缝空白的宽度为，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸(单位：)，能使整个矩形广告面积最小.二、提出疑点与解决：【达标训练】课外完成：P104 A组1、3、5 ， P110 A组4、103.4 生活中的优化问题举例（二）【自学目标】通过自学本节内容，了解生活中常见的优化问题及其解决方法，并会利用导数解决相关的优化问题。【自学内容提炼】一、典型例题归纳：（通过自己看书，归纳书上的典型题型，并回答书上的几个探究问题）例2. 饮料瓶大小对公司利润的影响（三次函数型）例3. 磁盘的最大存储量问题（二次函数型）二、提出疑点与解决：【达标训练】课外完成：P104 A组2、6，B组1、2 ， P111 B组1第三步 师生合作 释疑提高【课程标准】（1）导数概念及其几何意义 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。通过函数图像直观地理解导数的几何意义。（2）导数的运算 能根据导数定义，求函数y=c，y=x，y=x2，y=1/x的导数。 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。 会使用导数公式表。（3）导数在研究函数中的应用 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值。（4）生活中的优化问题举例例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。3.1 变化率与导数【疑点荟萃】【合作释疑】【巩固提升】例1. 求函数在到之间的平均变化率，并求时平均变化率的值.例2. 一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是（1）求此物体的初速度；（2）求此物体在时的瞬时速度；（3）求到时的平均速度.例3. 设函数在点处可导，则：（1） （2） （3） （4） 例4.（1）求函数在处的导数； （2）求函数的导函数.例5. 求下列曲线在点P(1,2)处的切线的斜率及切线方程：（1） （2）【提升训练】见同步练习3.2 导数的计算学习目标：通过练习，熟悉公式及运算法则本节重难点：对导数的定义的理解及法则的应用一、知识回顾： 导数的运算法则及常用函数导数的公式二例题讲解：例已知函数的图象在点处的切线方程是，求的值例求曲线在点处的切线方程例若存在过点(1,0)的直线与曲线和都相切，求例已知直线l1为曲线在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积3.3.1函数的单调性与导数【疑点荟萃】【合作释疑】【巩固提升】方法归纳：利用导数研究函数单调性的一般步骤。（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）若求单调区间（或证明单调性），只需在函数的定义域内解（或证明）不等式0或0。若已知的单调性，则转化为不等式0或0在单调区间上恒成立问题求解。典例选讲一、判断函数的单调性、求单调区间：例1、（2010山东高考文科）已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性. 二、已知函数的单调性求参数的取值范围：例2、已知函数，若函数在上是单调增函数，求a的取值范围。三、导数在证明不等式中的应用：例3、求证：时，3.3.2函数的极值与导数【疑点荟萃】【合作释疑】【巩固提升】一、已知极值求参数值例1、已知函数在点处的极小值为。（1） 求a、b的值；（2） 求极大值及单调区间。二、极值的综合应用例2. 已知函数恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是。（1） 求函数的另一个极值点；（2） 求函数的极大值M和极小值m,并求时k的取值范围。例3、设，。（1） 求f(x)的极值；（2） 是否存在实数a，使得方程恰好有两个实数根？若存在，求出a；若不存在，说明理由。3.3.3函数的最值与导数【疑点荟萃】【合作释疑】【巩固提升】一、含参数的最值问题例1、已知，函数，求在0，2上的最大值。二、恒成立问题例2、已知函数，.（1）当时，求在区间上的最大值和最小值；（2）若在区间上，函数的图象恒在直线下方，求的取值范围【提升训练】见同步练习3.4 生活中的优化问题举例【疑点荟萃】【合作释疑】【巩固提升】例1.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中3x6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。（I）求a的值（II）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。第四步 再回首 一览众山小【知识重现】1. 本章的知识网络构建2. 本章的基本题型及解题方法、规律总结【检测训练】课内完成：课本P110 复习参考题 课外完成：章末检测题（见练习）- 20 -
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