2022届九年级数学下册 小专题（八）圆中常见辅助线的作法练习 （新版）湘教版

2022届九年级数学下册 小专题（八）圆中常见辅助线的作法练习 （新版）湘教版圆中常见辅助线的添加口诀及技巧半径与弦长计算，弦心距来中间站圆上若有一切线，切点圆心半径连要想证明是切线，半径垂线仔细辨是直径，成半圆，想成直角径连弦弧有中点圆心连，垂径定理要记全圆周角边两条弦，直径和弦端点连还要作个内切圆，内角平分线梦圆三角形与扇形联姻，巧妙阴影部分算一、连半径构造等腰三角形1如图，在O中，AB为O的弦，C，D是直线AB上的两点，且ACBD.求证：OCD是等腰三角形证明：连接OA，OB.OA，OB是O的半径，OAOB.OABOBA.OACOBD.在AOC和BOD中，AOCBOD(SAS)OCOD，即OCD是等腰三角形二、半径与弦长计算，弦心距来中间站 在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段，再连接半径构成直角三角形，利用勾股定理进行计算在弦长、弦心距、半径三个量中，已知任意两个可求另一个2如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m，其中水面的宽AB为0.8 m，求排水管内水的深度解：过点O作OCAB，垂足为C，交O于点D，E，连接OA.OA0.5 m，AB0.8 m.OCAB，ACBC0.4 m.在RtAOC中，OA2AC2OC2，OC0.3 m，则CE0.30.50.8(m)答：排水管内水的深度为0.8m.三、见到直径构造直径所对的圆周角 构造直径所对的圆周角，这是圆中常用的辅助线作法，可充分利用“半圆(或直径)所对的圆周角是直角”这一性质3如图，AB为O的直径，弦CD与AB相交于点E.ACD60，ADC50，求CEB的度数解：连接BD.AB为O的直径，ADB90.又ADC50，CDBADBADC40.CDBCAB40.CEBCABACD4060100.四、有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径 已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题4如图，AB是O的直径，弦CDAB于点H，过CD延长线上一点E作O的切线交AB的延长线于点F，切点为G，连接AG交CD于点K.求证：KEGE.证明：连接OG.FE切O于点G，OGE90.OGAAGE90.CDAB，OAKAKH90.又AKHGKE，OAKGKE90.OGOA，OGAOAG.KGEGKE.KEGE.五、“连半径证垂直”与“作垂直证半径”判定直线与圆相切 证明一条直线是圆的切线，当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“dr”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径5如图，点A，B，C分别是O上的点，B60，AC3，CD是O的直径，P是CD延长线上的一点，且APAC.求证：AP是O的切线证明：连接OA. B60，AOC2B120.又OAOC，ACPCAO30.AOP60.又ACAP，PACP30.OAP90.OAAP.又OA为O的半径，AP是O的切线6如图，ABC为等腰三角形，ABAC，O是底边BC的中点，O与腰AB相切于点D，求证：AC与O相切证明：连接OD，过点O作OEAC于点E，则OEC90.AB切O于点D，ODAB.ODB90.ODBOEC.又O是BC的中点，OBOC.ABAC，BC.OBDOCE(AAS)OEOD，即OE是O的半径AC与O相切六、内切圆，连接内角平分线把梦圆 利用内心与顶点的连线平分这个内角以及三角形的外角，同弧所对的圆周角相等进行角的转换7如图，在ABC中，E是内心，AE的延长线交ABC的外接圆于点D.求证：DEDB.证明：连接BE.E为ABC的内心，ABECBE，BADDAC.DEBABEBAD，DBECBEDBC，而DBCDACBAD，DEBDBE.DEDB.七、构造扇形与三角形，化不规则图形的面积为规则图形的面积 通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中，(1)可以根据平移、旋转或轴对称等图形变换；(2)可根据同底(等底)同高(等高)的三角形面积相等进行转化8如图，A是半径为2的O外一点，OA4，AB是O的切线，B为切点，弦BCOA，连接AC，求阴影部分的面积解：连接OB，OC.BCOA，OBC和ABC同底等高SABCSOBC.S阴影S扇形OBC.AB是O的切线，OBAB.OA4，OB2，AOB60.BCOA，AOBOBC60.OBOC，OBC为等边三角形COB60.S阴影S扇形OBC.