（江苏专版）2019版高考数学大一轮复习 第七章 不等式 第44讲 不等式的综合应用学案 理

第44讲不等式的综合应用考试要求掌握解决不等式综合问题的方法(C级要求).诊 断 自 测1.(必修5P102习题7改编)函数yx(x0)的值域是_.解析当x0时，yx24；当x0，y0且满足1，则xy的最小值是_ .解析 xy(xy)1(xy)28，x0，y0，0，0，xy10218，当且仅当时等号成立，又1，当x6，y12时，xy有最小值18.答案183.(必修5P98练习2(2)改编)若正数a，b满足abab3，则ab的取值范围是_.解析由a，bR*，得ab2，则abab323，即ab230(3)(1)03， ab9.答案9，)4.设xR，f(x)，若不等式f(x)f(2x)k对于任意的xR恒成立，则实数k的取值范围是_.解析不等式化为k，因为(0，1，所以k2.答案k25.(必修5P102习题9改编)某种产品按下列三种方案两次提价.方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；方案丙：第一次提价%，第二次提价%.其中pq0，上述三种方案中提价最多的是_.解析设原来价格为A，方案甲：经两次提价后价格为AA；方案乙：经两次提价后价格为A；方案丙：经两次提价后价格为AA.因为，所以方案丙提价最多.答案方案丙考点一含参数的不等式问题【例1】 若不等式组的解集中所含整数解只有2，求k的取值范围.解由x2x20有x1或x2，由2x2(52k)x5k0有(2x5)(xk)0，因为2是原不等式组的解，所以k2.由(2x5)(xk)0有xk.因为原不等式组的整数解只有2，所以2k3，即3k2，故k的取值范围是3，2).【训练1】 已知函数f(x)lg(m23m2)x2(m1)x1的定义域为R，求实数m的取值范围.解函数f(x)的定义域为R，对于任意xR，恒有(m23m2)x2(m1)x10.若m23m20，则m2或1.当m1时，不等式即为10，符合题意；当m2时，不等式即为x10，对任意xR不恒成立， m2不合题意，舍去.若m23m20，由题意得解得即m.综上可得，m的取值范围是(，1.考点二基本不等式的灵活运用【例2】 设x，y均为正实数，且1，则xy的最小值为_.解析由1，得xy8xy. x，y均为正实数，xy8xy82(当且仅当xy时等号成立)，即xy280，解得4，即xy16.故xy的最小值为16.答案16【训练2】 设实数n6，若不等式2xm(2x)n80对任意x4，2都成立，则的最小值为_.解析设f(x)2xm(2x)n8(2mn)x(2n8)为关于x的一次函数.由题设得即作出不等式组所表示的可行域如图所示，设t，则t表示可行域内的点与坐标原点所连线段的斜率，可得t3.g(t)t3在t3上为减函数，所以g(t).故的最小值为.答案考点三多元最值问题【例3】 (1)已知ABC的三边长分别为a，b，c，且满足bc3a，则的取值范围为_.(2)设a，b，c均为正数，满足a2b3c0，则的最小值是_.解析(1)由已知及三角形三边关系得两式相加得020，函数f(x)x(x1)的最小值为3，则a的值为_.解析f(x)x11213，则a1.答案12.若实数x，y满足xy0，且log2xlog2y1，则的最小值为_.解析由log2xlog2y1，得xy2，xy4，则的最小值为4.当且仅当x1，y1时取等号.答案43.(2017镇江期末)函数yasin(ax)(a0，0)图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为_.解析函数的周期T为，则，最高点和其相邻最低点的距离为22.答案24.设正项等差数列an的前2 011项和等于2 011，则的最小值为_.解析由题意得S2 0112 011，a1a2 0112.又a2a2 010a1a2 0112，(a2a2 010)12.答案25.(2017苏北四市三模)若对于任意x0，a恒成立，则实数a的取值范围是_.解析，因为x0，所以x2(当且仅当x1时取等号)，则，即的最大值为，故a.答案6.(一题多解)设P(x，y)为函数yx21(x)图象上一动点，记m，则当m取最小值时，点 P的坐标为_.解析法一m6，因为x，所以x230，x10，所以m628.当且仅当，即x2时，m取得最小值，此时点P的坐标为(2，3).法二m6，因为x，所以y2，所以y20，x10，所以m8.当且仅当时，m取得最小值，下同法一.答案(2，3)7.函数f(x)ax22(a3)xa2中，a为负整数，则使函数至少有一个整数零点的所有a值的和为_.解析由ax22(a3)xa20得a(x1)226x，显然x1不成立，所以x1，所以a.因为a为负整数，所以x且(x1)26x2，解得425，且ax25850(x2600)x，等价于ax(x25).由于x210，当且仅当，即x30时等号成立，所以a10.2.当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.12.(2017大同期末)已知关于x的不等式ax2(a2)x20，aR.(1)若不等式的解集为(，12，)，求实数a的值；(2)若不等式ax2(a2)x22x23对任意xR恒成立，求实数a的取值范围；(3)解关于x的不等式ax2(a2)x20.解(1)因为ax2(a2)x20的解集为(，12，)，所以方程ax2(a2)x20的两根为x1或x2，所以12，解得a1.(2)若不等式ax2(a2)x22x23对任意xR恒成立，即(a2)x2(a2)x10对任意xR恒成立.因此，当a2时，不等式变为10，显然成立；当a2时，解得20时，1，所以(x1)(ax2)0x1或x；当a2时，1，所以(x1)(ax2)01x；当a2时，1，所以(x1)(ax2)0(x1)20x1；当2a，所以(x1)(ax2)0x1.综上可得，当a0时，原不等式的解集为x|x1；当a0时，原不等式的解集为；当2a0时，原不等式的解集为；当a2时，原不等式的解集为；当a2时，原不等式的解集为.10