(全国通用版)2019版高考数学大一轮复习 坐标系和参数方程 第2节 参数方程学案 理 新人教B版

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第2节参数方程最新考纲1.了解参数方程,了解参数的意义;2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.知 识 梳 理1.曲线的参数方程一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值,由这个方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.2.参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程,如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如xf(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系yg(t),那么就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中,必须使用x,y的取值范围保持一致.3.常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线yy0tan (xx0)(t为参数)圆x2y2r2(为参数)椭圆1(ab0)(为参数)温馨提醒直线的参数方程中,参数t的系数的平方和为1时,t才有几何意义且几何意义为:|t|是直线上任一点M(x,y)到M0(x0,y0)的距离.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)参数方程中的x,y都是参数t的函数.()(2)过M0(x0,y0),倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数).参数t的几何意义表示:直线l上以定点M0为起点,任一点M(x,y)为终点的有向线段的数量.()(3)方程(为参数)表示以点(0,1)为圆心,以2为半径的圆.()(4)已知椭圆的参数方程(t为参数),点M在椭圆上,对应参数t,点O为原点,则直线OM的斜率为.()答案(1)(2)(3)(4)2.(教材习题改编)在平面直角坐标系中,曲线C:(t为参数)的普通方程为_.解析消去t,得xy1,即xy10.答案xy103.在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为(cos sin )2,曲线C2的参数方程为(t为参数),则C1与C2交点的直角坐标为_.解析由(cos sin )2,得xy2.又(t为参数)消去t,得y28x.联立,得即交点坐标为(2,4).答案(2,4)4.直线yb(x4)与圆(为参数)相切,则切线的倾斜角为_.解析圆的普通方程为(x2)2y23,圆心A(2,0),半径r.直线yb(x4)与圆相切,则b23,b.因此tan ,切线的倾斜角为或.答案或5.(2017江苏卷)在平面坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.解由(t为参数)消去t.得l的普通方程为x2y80,因为点P在曲线C上,设点P(2s2,2s).则点P到直线l的距离d,当s时,d有最小值.考点一参数方程与普通方程的互化【例1】 已知直线l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(为参数).(1)求直线l和圆C的普通方程;(2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.解(1)直线l的普通方程为2xy2a0,圆C的普通方程为x2y216.(2)因为直线l与圆C有公共点,故圆C的圆心到直线l的距离d4,解得2a2.即实数a的取值范围是2,2.规律方法1.将参数方程化为普通方程,消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数.2.把参数方程化为普通方程时,要注意哪一个量是参数,并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响,一定要保持同解变形.【训练1】 (2016江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),椭圆C的参数方程为(为参数).设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.解椭圆C的普通方程为x21.将直线l的参数方程(t为参数)代入x21,得1,即7t216t0,解之得t10,t2.所以|AB|t1t2|.所以线段AB的长为.考点二参数方程及应用【例21】 (2017全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l的参数方程为(t为参数).(1)若a1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.解(1)a1时,直线l的普通方程为x4y30.曲线C的标准方程是y21,联立方程解得或则C与l交点坐标是(3,0)和.(2)直线l的普通方程是x4y4a0.设曲线C上点P(3cos ,sin ).则P到l距离d,其中tan .又点C到直线l距离的最大值为.|5sin()4a|的最大值为17.若a0,则54a17,a8.若a0).(1)以曲线M上的点与点O连线的斜率k为参数,写出曲线M的参数方程;(2)设曲线C与曲线M的两个交点为A,B,求直线OA与直线OB的斜率之和.解(1)由得故曲线M的参数方程为.(2)由4cos ,得24cos ,x2y24x.将代入x2y24x整理得k24k30,k1k24.故直线OA与直线OB的斜率之和为4.3.已知曲线C:1,直线l:(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.解(1)曲线C的参数方程为(为参数).直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2cos ,3sin )到l的距离为d|4cos 3sin 6|,则|PA|5sin()6|,其中为锐角,且tan .当sin()1时,|PA|取得最大值,最大值为.当sin()1时,|PA|取得最小值,最小值为.4.(2018黄山二模)已知曲线C的极坐标方程为,过点P(1,0)的直线l交曲线C于A,B两点.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求|PA|PB|的取值范围.解(1)由得2(1sin2)2.故曲线C的直角坐标方程为y21.(2)由题意知,直线l的参数方程为(t为参数).将代入y21.化简得(cos22sin2)t22tcos 10.设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1t2.则|PA|PB|t1t2|.由于1,|PA|PB|的取值范围为.5.(2016全国卷)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|,求l的斜率.解(1)由xcos ,ysin 可得圆C的极坐标方程为212cos 110.(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为(R).设A,B所对应的极径分别为1,2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得212cos 110.于是1212cos ,1211.|AB|12|.由|AB|得cos2,tan .所以l的斜率为或.能力提升题组(建议用时:30分钟)6.(2018湖南长郡中学联考)已知曲线C1: (t为参数),C2:(为参数).(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(2)若C1上的点P对应的参数为t,Q为C2上的动点,求PQ的中点M到直线C3:(t为参数)距离的最小值.解(1)由C1消去参数t,得曲线C1的普通方程为(x4)2(y3)21.同理曲线C2的普通方程为1.C1表示圆心是(4,3),半径是1的圆,C2表示中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.(2)当t时,P(4,4),又Q(8cos ,3sin ),故M,又C3的普通方程为x2y70,则M到直线C3的距离d|4cos 3sin 13|3sin 4cos 13|5(sin )13|,所以d的最小值为.7.在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2cos 6sin 0,直线l的参数方程为(t为参数).(1)求曲线C的普通方程;(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,点P的坐标为(3,3),求|PA|PB|的值.解(1)曲线C的极坐标方程为2cos 6sin 0,可得22cos 6sin 10,可得x2y22x6y10,曲线C的普通方程:x2y22x6y10.(2)由于直线l的参数方程为(t为参数).把它代入圆的方程整理得t22t50,t1t22,t1t25,则|PA|t1|,|PB|t2|,|PA|PB|t1|t2|t1t2|2.|PA|PB|的值为2.8.(2018哈尔滨模拟)已知曲线C的参数方程为(为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为sin4.(1)写出曲线C的极坐标方程和直线l的普通方程;(2)若射线与曲线C交于O,A两点,与直线l交于B点,射线与曲线C交于O,P两点,求PAB的面积.解(1)由(为参数),消去.普通方程为(x2)2y24.从而曲线C的极坐标方程为24cos 0,即4cos ,因为直线l的极坐标方程为sin4,即sin cos 4,直线l的直角坐标方程为xy80.(2)依题意,A,B两点的极坐标分别为,联立射线与曲线C的极坐标方程得P点极坐标为,|AB|2,SPAB22sin2.12
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