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第二讲 证明不等式的基本方法第一步 本章总览 心中有数证明不等式的基本方法第二步 分块自学 提出疑点1 比较法【自学目标】理解作差比较法和作商比较法，掌握利用比较法证明不等式的一般步骤。【自学内容提炼】一、基础知识梳理比较法的种类证明依据基本步骤适用类型二、典型例题归纳例1. 自学P21例1，小组讨论本题的证明方法，并归纳作差比较法的基本步骤方法。例2. 自学P22例3，并归纳作商比较法的基本步骤方法。例3. 自学P21例2，从实际问题抽象出数学问题。三、提出疑点与解决【达标训练】课本P23习题2.1思考题：已知a,b,c,d都是正数，且，求证：2.1 综合法【自学目标】理解综合法的概念、综合法证明不等式的原理和思维特点，掌握综合法证明不等式的方法和步骤。【自学内容提炼】一、基础知识梳理1. 综合法：一般地，从 出发，利用 、 、 、 等，经过一系列的 、 而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫做 或 .2. 自己写出几个综合法证明不等式所依赖的已知不等式：二、典型例题归纳例1. 自学P23例1，小组内讲解。例2. 自学P23例2，小组讨论。例3. 已知正数a,b,c，且，求证：三、提出疑点与解决【达标训练】课本P2526习题2.2 / 1、2、82.2 分析法（两课时）【自学目标】理解分析法的概念、分析法证明不等式的原理和思维特点，掌握分析法证明不等式的方法和步骤。【自学内容提炼】一、基础知识梳理1. 分析法：证明命题时，从 出发，逐步寻求使它成立的 ，直至所需条件为 或 （ 、 或 、 等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法。这是一种 的思考和证明方法.2. 分析法证明的关键是每一步都必须可逆.3. 自己总结分析法证明的一般格式二、典型例题归纳例1. 自学P24例3，归纳分析法的格式例2. 自学P25例4，小组内讨论。小结：综合法与分析法的异同方法证明的起始步骤求证过程求证目标证题方向综合法基本不等式或已经证明过的不等式实施一系列的推导或等价变换要求证的结论由因导果分析法要求证的不等式寻求结论成立的充分条件，并证明这个充分条件成立所需条件全都成立执果索因例3*. 已知，求证：例4. 已知a,b,c为正数，且，则使成立的最大正数n= 三、提出疑点与解决【达标训练】课本P26 / 3、4、6、7、9及以下补充题：补充题：1. 已知，求证： 2. 求证：若a,b为正数，则3.1 反证法【自学目标】理解反证法证明的依据，掌握反证法证明不等式的方法。【自学内容提炼】一、基础知识梳理1. 反证法：先 ，以此为出发点，结合已知条件，应用 等，进行正确的推理，得到和 （或 等）矛盾的结论，以说明 ，从而证明 ，我们把它称为反证法。2. 常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设：常见词语至少有一个至多有一个唯一一个不是不可能全都是否定假设二、典型例题归纳例1. 自学P26例1，归纳反证法证明问题的一般步骤例2. 自学P27例2，小组讨论讲解。三、提出疑点与解决【达标训练】课本P29 / 1、43.2 放缩法（两课时）【自学目标】理解放缩法证明的原理，并会用放缩法证明不等式。【自学内容提炼】一、基础知识梳理放缩法：证明不等式时，通过 ，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法称为放缩法。二、典型例题归纳例1. 自学P28例3，归纳放缩法的基本原理。例2. 自学P28例4，小组讨论讲解。例3. 求证：三、提出疑点与解决【达标训练】课本P2930 / 2、3、5、6第三步 师生合作 释疑提高1 比较法【考题链接】1. 若，则下面四个式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则p,q的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定3. 若，则与2之间的大小关系为 4. 已知a,b都是正数，则P,Q的大小关系是 5.（11福建）设不等式的解集为M () 求集合M； () 若，M，试比较与的大小【经典题型】例1. 已知，求证：例2. 已知数列的首项，前n项和为，且.（1）证明数列是等比数列；（2）令，求函数在点处的导数，并比较与的大小.【小结提升】2 综合法与分析法【考题链接】1. 若实数m,n,x,y满足，其中a,b为常数，那么的最大值为（ ） A. B. C. D. 2. 设a,b,c不全为0，且，则（ ） A. B. C. 均为负数 D. 3. 若，则下列两式的大小关系为.4. 已知等比数列的各项均为正数，且公比，若，则P与Q的大小关系为 .【经典题型】例1. 设x是正数，求证：例2. 已知，求证：例3. 已知，求证：例4. 已知，求证：【小结提升】3 反证法与放缩法【考题链接】1. 设a,b是两个实数，给出下列条件：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是（ ） A.（2）（3） B.（1）（2） C.（3） D.（4）（5）2. 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 与1的大小关系是 4. 设，若，则A,B的大小关系是 【经典题型】例1. 设二次函数，求证：中至少有一个不小于.例2. 若，求证：.例3. 已知实数x,y,z不全为零，求证：.例4. 设，求证：.【小结提升】专题：含参数的不等式一、含参数的不等式解法例1. 解关于x的不等式：（其中）例2. 解关于x的不等式：二、不等式恒成立问题常见转化方式：例3. 不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围。例4. 已知不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。例5. 当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围。例6. 设不等式对满足的一切m的值都成立，求x的取值范围。- 15 -
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