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2022年高考数学大一轮复习 第7章 第7节 立体几何中的向量方法课时作业 理一、选择题1平面的一个法向量为n(1,2,0),平面的一个法向量为m(2,1,0),则平面和平面的位置关系是()A平行B相交但不垂直C垂直D重合答案:C解析:n(1,2,0),m(2,1,0),mn2200,即mn,.2设平面的法向量为(1,2,2),平面的法向量为(2,4,k),若,则k等于()A2B4C4D2答案:C解析:,k4.3(xx济南模拟)已知平面内有一个点A(2,1,2),的一个法向量为n(3,1,2),则下列点P中,在平面内的是()A(1,1,1)BC.D答案:B解析:对于选项A,(1,0,1),则n(1,0,1)(3,1,2)50,故排除A;对于选项B,则n(3,1,2)0,B正确;对于选项C,n(3,1,2)60,C不正确;对于选项D,n(3,1,2)120,D不正确故应选B.4如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB2,AA1,AD2,P为C1D1的中点,M为BC的中点,则AM与PM的位置关系为( )A平行B异面C垂直D以上都不对答案:C解析:以点D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,依题意,可得D(0,0,0),P(0,1,),C(0,2,0),A(2,0,0),M(,2,0)(,1,),(,2,0),(,1,)(,2,0)0,即,AMPM.5在正四面体PABC中,PA,PB,PC两两垂直,设PAPBPCa,则点P到平面ABC的距离为()A.BaCDa答案:B解析:根据题意,可建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz,则P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a)过点P作PH平面ABC,交平面ABC于点H,则PH的长即为点P到平面ABC的距离PAPBPC,H为ABC的外心又ABC为正三角形,H为ABC的重心,可得H点的坐标为.PHa.点P到平面ABC的距离为a.6(xx昆明模拟)如图,在四棱锥PABCD中,四边形ABCD为平行四边形,且BC平面PAB,PAAB,M为PB的中点,PAAD2.若AB1,则二面角BACM的余弦值为()A.BC.D答案:A解析:BC平面PAB,ADBC,AD平面PAB,PAAD,又PAAB,且ADABA,PA平面ABCD.以点A为坐标原点,分别以AD,AB,AP所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),B(0,1,0),M,(2,1,0),易求得平面AMC的一个法向量为n(1,2,1),又平面ABC的一个法向量(0,0,2),cosn,.二面角BACM的余弦值为.二、填空题7如图所示,在三棱锥ABCA1B1C1中,AA1底面ABC,ABBCAA1,ABC90,点E,F分别为棱AB,BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角是_答案:60解析:以BC为x轴,BA为y轴,BB1为z轴,建立空间直角坐标系设ABBCAA12,则C1(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1),则(0,1,1),(2,0,2),2,cos,EF和BC1所成的角为60.8如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1MAN,则MN与平面BB1C1C的位置关系是_答案:平行解析:正方体棱长为a,A1MAN,()().又是平面B1BCC1的法向量,0,.又MN平面B1BCC1,MN平面B1BCC1.9设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,则点D1到平面A1BD的距离是_答案:解析:如图,建立空间直角坐标系,则D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),(2,0,0),(2,0,2),(2,2,0),设平面A1BD的一个法向量为n(x,y,z),则令x1,则n(1,1,1),点D1到平面A1BD的距离d.三、解答题10(xx济南一模)如图,四棱锥PABCD中,PD底面ABCD,ABDC,ADDC,ABAD1,DC2,PD,M为棱PB的中点(1)证明:DM平面PBC;(2)求二面角ADMC的余弦值解:(1)证明:连接BD,取DC的中点G,连接BG,由此知DGGCBG1,即DBC为直角三角形,故BCBD.又PD平面ABCD,故BCPD,所以BC平面BDP,BCDM.又PDBD,PDBD,M为PB的中点,DMPB.PBBCB,DM平面PBC.(2)以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,),从而M,设n1(x,y,z)是平面ADM的法向量,则即所以可取n1(0,1)同理,设n2(x0,y0,z0)是平面DMC的法向量,则即所以可取n2(,0,1),所以cosn1,n2.显然二面角ADMC的大小为钝角,所以二面角ADMC的余弦值为.11(xx德州模拟)在直角梯形ABCD中,ADC90,CDAB,AB4,ADCD2,M为线段AB的中点,将ADC沿AC折起,使平面ADC平面ABC,得几何体DABC.(1)求证:BC平面ACD;(2)求二面角ACDM的余弦值解:(1)证明:由条件,知AC2,CAB45,AB4,由余弦定理,得CB28,CB2,AC2BC2AB2,ACBC.又平面ADC平面ABC,平面ADC平面ABCAC,BC平面ACD.(2)取AC的中点O,连接DO,MO,DOAC,DO平面ABC,OMBC,ACBC,OMAC.建立如图所示的空间直角坐标系,M(0,0),C(,0,0),D(0,0,)(,0),(,0,)设n1(x,y,z)为平面CDM的法向量,则即令x1,得n1(1,1,1)由题意,得n2(0,1,0)为平面ACD的一个法向量,cosn1,n2.二面角ACDM为锐角,二面角ACDM的余弦值为.12(xx衡水二模)如图,在四棱锥PABCD中,侧面PAD底面ABCD,侧棱PAPD,PAPD,底面ABCD为直角梯形,其中BCAD,ABAD,ABBC1,O为AD中点(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值;(2)求点B到平面PCD的距离;(3)线段PD上是否存在一点Q,使得二面角QACD的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由解:(1)在PAD中,PAPD,O为AD中点,所以POAD,又侧面PAD底面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,PO平面PAD,则PO平面ABCD.又在直角梯形ABCD中,连接OC,易得OCAD,所以以O为坐标原点,直线OC为x轴,直线OD为y轴,直线OP为z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),A(0,1,0),B(1,1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),(1,1,1),易证OA平面POC,(0,1,0)是平面POC的法向量,cos,.直线PB与平面POC所成角的余弦值为.(2)(0,1,1),(1,0,1),设平面PDC的一个法向量为(x,y,z),则取z1,得(1,1,1)B点到平面PCD的距离d.(3)存在设(01),(0,1,1),(0,),(0,1),Q(0,1)设平面CAQ的一个法向量为m(x,y,z),则取z1,得m(1,1,1),又平面CAD的一个法向量为n(0,0,1),二面角QACD的余弦值为,|cosm,n|,得321030,解得或3(舍)所以存在点Q,使得二面角QACD的余弦值为,此时.
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