2022高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第三讲 圆锥曲线的综合应用 第二课时 圆锥曲线的定点、定值、存在性问题能力训练 理

2022高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第三讲 圆锥曲线的综合应用 第二课时 圆锥曲线的定点、定值、存在性问题能力训练 理1(2018云南师大附中质检)已知椭圆C的焦点在x轴上，离心率等于，且过点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若1，2，求证：12为定值解析：(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，则a25，b21，椭圆C的标准方程为y21.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0) ，又易知F点的坐标为(2,0)显然直线l存在斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是yk(x2)，将直线l的方程代入椭圆C的方程中，消去y并整理得(15k2)x220k2x20k250，x1x2，x1x2.又1，2，将各点坐标代入得1，2，1210，即12为定值2(2018贵阳一模)过抛物线C：y24x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|8.(1)求l的方程；(2)若A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD恒过定点，并求出该点的坐标解析：(1)易知点F的坐标为(1,0)，则直线l的方程为yk(x1)，代入抛物线方程y24x得k2x2(2k24)xk20，由题意知k0，且(2k24)24k2k216(k21)0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，x1x21，由抛物线的定义知|AB|x1x228，6，k21，即k1，直线l的方程为y(x1)(2)由抛物线的对称性知，D点的坐标为(x1，y1)，直线BD的斜率kBD，直线BD的方程为yy1(xx1)，即(y2y1)yy2y1y4x4x1，y4x1，y4x2，x1x21，(y1y2)216x1x216，即y1y24(y1，y2异号)，直线BD的方程为4(x1)(y1y2)y0，恒过点(1,0)3(2018南宁模拟)已知抛物线C：y2ax(a0)上一点P(t，)到焦点F的距离为2t.(1)求抛物线C的方程；(2)抛物线C上一点A的纵坐标为1，过点Q(3，1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A不重合)，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值解析：(1)由抛物线的定义可知|PF|t2t，则a4t，由点P(t，)在抛物线上，得at，a，则a21，由a0，得a1，抛物线C的方程为y2x.(2)点A在抛物线C上，且yA1，xA1.A(1,1)，设过点Q(3，1)的直线的方程为x3m(y1)，即xmym3，代入y2x得y2mym30.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2m，y1y2m3，k1k2，k1k2为定值4(2018福州四校联考)已知椭圆C：1(ab0)的两个焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P，PF1F2内切圆的半径为，设过点F2的直线l被椭圆C截得的线段为RS，当lx轴时，|RS|3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)在x轴上是否存在一点T，使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称？若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由解析：(1)由内切圆的性质，得2cb(2a2c)，得.将xc代入1，得y，所以3.又a2b2c2，所以a2，b，故椭圆C的标准方程为1.(2)当直线l垂直于x轴时，显然x轴上任意一点T都满足TS与TR所在直线关于x轴对称当直线l不垂直于x轴时，假设存在T(t,0)满足条件，设l的方程为yk(x1)，R(x1，y1)，S(x2，y2)联立方程，得得(34k2)x28k2x4k2120，由根与系数的关系得，其中0恒成立，由TS与TR所在直线关于x轴对称，得kTSkTR0(显然TS，TR的斜率存在)，即0.因为R，S两点在直线yk(x1)上，所以y1k(x11)，y2k(x21)，代入得0，即2x1x2(t1)(x1x2)2t0，将代入得0，则t4，综上所述，存在T(4,0)，使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称