2022高考数学一轮复习 第7章 不等式及推理与证明 专题研究2 数学归纳法练习 理

2022高考数学一轮复习 第7章 不等式及推理与证明 专题研究2 数学归纳法练习 理1在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验第一个值n0等于()A1B2C3 D0答案C解析边数最少的凸n边形是三角形2(2017山东德州一模)用数学归纳法证明12222n22n31，在验证n1时，左边的式子为()A1 B12C1222 D122223答案D解析当n1时，左边122223.故选D.3用数学归纳法证明不等式1(nN*)成立，其初始值至少应取()A7 B8C9 D10答案B解析1，整理得2n128，解得n7.初始值至少应取8.4设f(n)1(nN*)，那么f(n1)f(n)等于()A. B.C. D.答案D5用数学归纳法证明34n152n1(nN)能被8整除时，当nk1时，对于34(k1)152(k1)1可变形为()A5634k125(34k152k1)B3434k15252kC34k152k1D25(34k152k1)答案A解析因为要使用归纳假设，必须将34(k1)152(k1)1分解为归纳假设和能被8整除的两部分所以应变形为5634k125(34k152k1)6若数列an的通项公式an，记cn2(1a1)(1a2)(1an)，试通过计算c1，c2，c3的值，推测cn_答案解析c12(1a1)2(1)，c22(1a1)(1a2)2(1)(1)，c32(1a1)(1a2)(1a3)2(1)(1)(1)，故由归纳推理得cn.7设数列an的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：(Sn1)2anSn.(1)求S1，S2，S3；(2)猜想Sn的表达式并证明答案(1)S1，S2，S3 (2)Sn，证明略解析(1)由(S11)2S12，得S1；由(S21)2(S2S1)S2，得S2；由(S31)2(S3S2)S3，得S3.(2)猜想：Sn.证明：当n1时，显然成立；假设当nk(k1且kN*)时，Sk成立则当nk1时，由(Sk11)2ak1Sk1，得Sk1.从而nk1时，猜想也成立综合得结论成立8已知函数f(x)xsinx，数列an满足：0a11，an1f(an)，n1，2，3，证明：0an1an1.答案略解析先用数学归纳法证明0an1，n1，2，3，.当n1时，由已知，结论成立假设当nk时结论成立，即0ak1.因为0x0，所以f(x)在(0，1)上是增函数又f(x)在0，1上连续，从而f(0)f(ak)f(1)，即0ak11sin11.故当nk1时，结论成立由可知，0an1对一切正整数都成立又因为0an1时，an1anansinanansinan0，所以an1an.综上所述0an1an1.9(2018保定模拟)已知f(x)xx2，设0a1，an1f(an)，nN，证明：an.答案略证明(1)当n1时，0a1，不等式an成立；因a2f(a1)(a1)2，故n2时不等式也成立(2)假设nk(k2)时，不等式ak成立，因为f(x)xx2的对称轴为x，知f(x) 在(，上为增函数，所以由ak，得f(ak)f()于是有ak1.所以当nk1时，不等式也成立根据(1)、(2)可知，对任何nN，不等式an成立10已知数列an的各项都是正数，且满足：a01，an1an(4an)，(nN)证明：anan12，(nN)答案略证明方法一：用数学归纳法证明：(1)当n0时，a01，a1a0(4a0)，所以a0a12，命题正确(2)假设nk时命题成立，即ak1ak2.则当nk1时，akak1ak1(4ak1)ak(4ak)2(ak1ak)(ak1ak)(ak1ak)(ak1ak)(4ak1ak)而ak1ak0，所以akak10.又ak1ak(4ak)4(ak2)22.所以nk1时命题成立由(1)(2)可知，对一切nN时有anan12.方法二：用数学归纳法证明：(1)当n0时，a01，a1a0(4a0)，所以0a0a12.(2)假设nk时有ak1ak2成立，令f(x)x(4x)，f(x)在0，2上单调递增，所以由假设有f(ak1)f(ak)f(2)即ak1(4ak1)ak(4ak)2(42)也即当nk1时，akak12成立所以对一切nN，有akak12.11在数列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列(nN*)(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测an，bn的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：.答案(1)a26，a312，a420，b29，b316，b425，ann(n1)，bn(n1)2，证明略 (2)略解析(1)由条件得2bnanan1，an12bnbn1.由此可得a26，b29，a312，b316，a420，b425.猜测ann(n1)，bn(n1)2.用数学归纳法证明：当n1时，由上可得结论成立假设当nk时，结论成立，即akk(k1)，bk(k1)2.那么当nk1时，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)，bk1(k2)2.所以当nk1时，结论也成立由，可知ann(n1)，bn(n1)2对一切正整数都成立(2)2(n1)n.故()()().1用数学归纳法证明不等式的过程中，由nk推导nk1时，不等式的左边增加的式子是_答案解析不等式的左边增加的式子是，故填.2用数学归纳法证明：对任意的nN*，.答案略解析(1)当n1时，左边，右边，左边右边，所以等式成立(2)假设当nk(kN*且k1)时等式成立，即有，则当nk1时，所以当nk1时，等式也成立由(1)(2)可知，对一切nN*等式都成立3(2017湖北宜昌一中模拟)已知函数f(x)x3x，数列an满足条件：a11，an1f(an1)试比较与1的大小，并说明理由答案1解析f(x)x21，an1f(an1)，an1(an1)21.函数g(x)(x1)21x22x在区间1，)上单调递增，于是由a11，得a2(a11)21221，进而得a3(a21)21241231.由此猜想：an2n1.下面用数学归纳法证明这个猜想：当n1时，a12111，结论成立；假设nk(k1且kN*)时结论成立，即ak2k1，则当nk1时，由g(x)(x1)21在区间1，)上单调递增知，ak1(ak1)2122k12k11，即nk1时，结论也成立由、知，对任意nN*，都有an2n1.即1an2n，.1()n1.