2022年高考数学二轮复习专题一函数与导数不等式第5讲导数与不等式的证明恒成立及能成立问题练习

2022年高考数学二轮复习专题一函数与导数不等式第5讲导数与不等式的证明恒成立及能成立问题练习一、选择题1.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)0，且f(0)0，f0，则不等式f(x)0的解集为()A.B.C.D.解析如图所示，根据图象得不等式f(x)0的解集为.答案C2.若不等式2xln xx2ax3恒成立，则实数a的取值范围为()A.(，0) B.(，4C.(0，) D.4，)解析条件可转化为a2ln xx恒成立.设f(x)2ln xx，则f(x)(x0).当x(0，1)时，f(x)0，函数f(x)单调递减；当x(1，)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，所以f(x)minf(1)4.所以a4.答案B3.若存在正数x使2x(xa)1成立，则a的取值范围是()A.(，) B.(2，)C.(0，) D.(1，)解析2x(xa)1，ax.令f(x)x，f(x)12xln 20.f(x)在(0，)上单调递增，f(x)f(0)011，a的取值范围为(1，)，故选D.答案D4.(xx全国卷)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是()A.(，1)(0，1) B.(1，0)(1，)C.(，1)(1，0) D.(0，1)(1，)解析令F(x)，因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数，由于F(x)，当x0时，xf(x)f(x)0，所以F(x)在(0，)上单调递减，根据对称性，F(x)在(，0)上单调递增，又f(1)0，f(1)0，数形结合可知，使得f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0，1).故选A.答案A5.(xx山东师范大学附中二模)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f(x)，满足f(x)f(x)，且f(x2)为偶函数，f(4)1，则不等式f(x)ex的解集为()A.(2，) B.(0，) C.(1，) D.(4，)解析由f(x2)为偶函数可知函数f(x)的图象关于x2对称，则f(4)f(0)1.令F(x)，则F(x)0.函数F(x)在R上单调递减.又f(x)ex等价于1，F(x)F(0)，x0.答案B二、填空题6.已知不等式exxax的解集为P，若0，2P，则实数a的取值范围是_.解析由题意知不等式exxax在x0，2上恒成立.当x0时，显然对任意实数a，该不等式都成立.当x(0，2时，原不等式即a1，令g(x)1，则g(x)，当0x1时，g(x)0，g(x)单调递减，当1x2时，g(x)0，g(x)单调递增，故g(x)在(0，2上的最小值为g(1)e1，故a的取值范围为(，e1).答案(，e1)7.已知函数f(x)ln xa，若f(x)x2在(1，)上恒成立，则实数a的取值范围是_.解析函数f(x)ln xa，且f(x)x2在(1，)上恒成立，aln xx2，x(1，).令h(x)ln xx2，有h(x)2x.x1，2x0，h(x)在(1，)上为减函数，当x(1，)时，h(x)h(1)1，a1.答案1，)8.已知函数f(x)x，g(x)x22ax4，若对于任意x10，1，存在x21，2，使f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是_.解析由于f(x)10，因此函数f(x)在0，1上单调递增，所以x0，1时，f(x)minf(0)1.根据题意可知存在x1，2，使得g(x)x22ax41，即x22ax50，即a能成立，令h(x)，则要使ah(x)在x1，2上能成立，只需使ah(x)min，又函数h(x)在x1，2上单调递减，所以h(x)minh(2)，故只需a.答案三、解答题9.已知aR，函数f(x)4x32axa.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：当0x1时，f(x)|2a|0.(1)解由题意得f(x)12x22a.当a0时，f(x)0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(，).当a0时，f(x)12，此时函数f(x)的单调递增区间为和，单调递减区间为.(2)证明由于0x1，故当a2时，f(x)|2a|4x32ax24x34x2.当a2时，f(x)|2a|4x32a(1x)24x34(1x)24x34x2.设g(x)2x32x1，0x1，则g(x)6x226，于是x01g(x)0g(x)1减极小值增1所以，g(x)ming10.所以当0x1时，2x32x10.故f(x)|2a|4x34x20.10.(xx湖州一模)已知函数f(x)ln xx2ax(a为常数).(1)若x1是函数f(x)的一个极值点，求a的值；(2)当0a2时，试判断f(x)的单调性；(3)若对任意的a(1，2)，x01，2，不等式f(x0)mln a恒成立，求实数m的取值范围.解f(x)2xa.(1)由已知得：f(1)0，所以12a0，所以a3.(2)当0a2时，f(x)2xa.因为0a2，所以10，而x0，即f(x)0，故f(x)在(0，)上是增函数.(3)当a(1，2)时，由(2)知，f(x)在1，2上的最小值为f(1)1a，故问题等价于：对任意的a(1，2)，不等式1amln a恒成立，即m恒成立.记g(a)(1a2)，则g(a).令M(a)aln a1a，则M(a)ln a0，所以M(a)在(1，2)上单调递减，所以M(a)M(1)0，故g(a)0，所以g(a)在a(1，2)上单调递减，所以mg(2)log2e，即实数m的取值范围为(，log2e.11.已知函数f(x)axc(a0)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为yx1.(1)用a表示出b，c；(2)若f(x)ln x在1，)上恒成立，求a的取值范围；(3)证明：1ln(n1)(n1).(1)解f(x)a，则有解得(2)解由(1)知，f(x)ax12a.令g(x)f(x)ln xax12aln x，x1，)，则g(1)0，g(x)a，()当0a时，1.若1x，则g(x)0，g(x)是减函数，所以g(x)g(1)0，即f(x)ln x.故f(x)ln x在1，)上不成立.()当a时，1.若x1，则g(x)0，g(x)是增函数，所以g(x)g(1)0，即f(x)ln x，故当x1时，f(x)ln x.综上所述，所求a的取值范围为.(3)证明法一由(2)知：当a时，有f(x)ln x(x1).令a，有f(x)ln x(x1)，且当x1时，ln x.令x，有ln ，即ln(k1)ln k，k1，2，3，n.将上述n个不等式依次相加得ln(n1)，整理得1ln(n1).法二用数学归纳法证明.当n1时，左边1，右边ln 21，不等式成立.假设nk时，不等式成立，即1ln(k1).那么1ln(k1)ln(k1).由(2)知：当a时，有f(x)ln x(x1).令a，有f(x)ln x(x1).令x，得：ln ln(k2)ln(k1).ln(k1)ln(k2).1ln(k2).这就是说，当nk1时，不等式也成立.根据和，可知不等式对任何nN*都成立.