（江苏专版）2019版高考数学大一轮复习 第七章 不等式 第39讲 不等关系与不等式学案 理

第39讲不等关系与不等式考试要求不等关系的概念(A级要求).诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)两个实数a，b之间，有且只有ab，ab，a1，则ab.()(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变.()(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小.()(5)ab0，cd0.()(6)若ab0，则ab0”是“a2b20”的_条件.解析0aba2b2，但由a2b20 0.答案充分不必要3.(2018南京模拟)若a，bR，且a|b|0；a3b30；a2b20；ab0.解析由a|b|0知a|b|，当b0时，ab0成立，当b0时，ab0成立，ab0.答案4.如果aR，且a2a0，则a，a2，a，a2的大小关系是_.解析由a2a0得aa2，a1，aa2a2a.答案aa2a2a5.若0ab，且ab1，则将a，b，2ab，a2b2从小到大排列为_.解析0ab且ab1，0ab1且2a1，a2ba2a(1a)2a22a2.即a2ab1，即a2b2，a2b2b(1b)2b2b(2b1)(b1)，又2b10，b10，a2b2b0，a2b2b，综上，a2aba2b2b.答案a2aba2b20)，2.不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性abbb，bcac可加性abacbc可乘性acbcacbd同向同正可乘性acbd可乘方性ab0anbn(nN，n1)a，b同为正数可开方性ab0(nN，n2)3.不等式的一些常用性质(1)倒数的性质ab，ab0.a0bb0，0c.0axb或axb0b0，m0，则(bm0).；0).考点一比较两个数(式)的大小【例1】 (1)(一题多解)若a，b，c，则a，b，c的大小关系为_.(2)(2018无锡期中)若0，给出下列四个不等式：ab|b|；a2中，其中正确的不等式是_(填序号).解析(1)法一易知a，b，c都是正数，log8164b；log6251 0241，所以bc.即cbe时，函数f(x)单调递减.因为e34f(4)f(5)，即cba.(2)因为0，即0，且a0，b0，所以ba0.经逐一分析，得正确.答案(1)cba(2)规律方法比较大小的常用方法(1)作差法：一般步骤：作差；变形；定号；结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.(2)作商法：一般步骤：作商；变形；判断商与1的大小；结论.(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.注意：在综合题中遇到比较大小时要采用此法.【训练1】 (1)设a，b0，)，A，B，则A，B的大小关系是_.(2)若a1816，b1618，则a与b的大小关系为_.解析(1)A0，B0，A2B2a2b(ab)20，AB.(2)，(0，1)，0，16180，18161618，即ab.答案(1)AB(2)ab考点二不等式的性质【例2】 (1)已知a，b，c满足cba，且acac; c(ba)0；cb20.(2)设a，b为正实数.现有下列命题：若a2b21，则ab1；若1，则ab1；若|1，则|ab|1；若|a3b3|1，则|ab|1.其中的真命题有_(写出所有真命题的编号).解析(1)由cba且ac0知c0.由bc得abac一定成立.(2)中，a2b2(ab)(ab)1，a，b为正实数，若ab1，则必有ab1，又ab，不合题意，故正确.中，1，只需abab即可.如取a2，b满足上式，但ab1，故错.中，a，b为正实数，所以|1，且|ab|()()|1，故错.中，|a3b3|(ab)(a2abb2)|ab|(a2abb2)1.若|ab|1，不妨设ab1，则必有a2abb21，不合题意，故正确.答案(1)(2)规律方法解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.【训练2】 (一题多解)若a0ba，cdbc；bd；a(dc)b(dc)中成立的个数是_.解析法一a0b，cd0，ad0，ad0ba，ab0，cdd0，a(c)(b)(d)，acbd0，0，故正确.cd，ab，a(c)b(d)，acbd，故正确.ab，dc0，a(dc)b(dc)，故正确.法二取特殊值.答案3考点三不等式性质的应用【例31】 (一题多解)已知ab0，给出下列四个不等式：a2b2；2a2b1；a3b32a2b.其中一定成立的不等式为_(填序号).解析法一由ab0可得a2b2，成立；由ab0可得ab1，而函数f(x)2x在R上是增函数，f(a)f(b1)，即2a2b1，成立；ab0，()2()222b2()0，成立；若a3，b2，则a3b335，2a2b36，a3b3b2，2a2b1，均成立，而a3b32a2b不成立.答案【例32】 已知1x4，2y3，则xy的取值范围是_，3x2y的取值范围是_.解析1x4，2y3，3y2，4xy2.由1x4，2y3，得33x12，42y6，13x2y18.答案(4，2)(1，18)规律方法(1)判断不等式是否成立的方法判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质.在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等.(2)求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围.解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径.【训练3】 (1)若ab；a2ab；bn.(2)设ab1，c； acloga(bc).其中所有正确结论的序号是_.解析(1)(特值法)取a2，b1，逐个检验，可知，均不正确；中，|b|(|a|1)|a|(|b|1)|a|b|b|a|b|a|b|a|，ab0，|b|b1知，又c，正确；构造函数yxc，cb1，acb1，cbc1，logb(ac)loga(ac)loga(bc)，正确.答案(1)(2)一、必做题1.当x1时，x3与x2x1的大小关系为_.解析x3(x2x1)x3x2x1x2(x1)(x1)(x1)(x21).又x1，故(x1)(x21)0，x3(x2x1)0，即x3x2x1.答案x3x2x12.(2018镇江模拟)若6a10，b2a，cab，那么c的取值范围是_.解析cab3a且cab，9ab3ayz，xyz0，则下列不等式成立的是_(填序号).xyyz; xzyz；xyxz; x|y|z|y|.解析xyz且xyz0，x0，zz，xyxz.答案4.设a，bR，则“(ab)a20”是“ab”的_条件.解析由(ab)a20a0且ab，充分性成立；由abab0，当0ab时/ (ab)a20，必要性不成立.答案充分不必要5.设，那么2的取值范围是_.解析由题设得02，0，0，2b，则ac2bc2；若，则ab；若a3b3且ab；若a2b2且ab0，则.解析当c0时，可知不正确；当cb3且ab0且b成立，正确；当a0且bb0，则下列不等式中一定成立的是_(填序号).ab；ab；.解析取a2，b1，排除与；另外，函数f(x)x是(0，)上的增函数，但函数g(x)x在(0，1上递减，在1，)上递增，所以，当ab0时，f(a)f(b)必定成立，即abab，但g(a)g(b)未必成立.答案8.若ab0，则下列不等式一定不成立的是_(填序号).log2b；a2b22a2b2；b0(由ab0，a，b不能同时为1)，a2b22a2b20，a2b22a2b2，一定不成立.答案9.若不等式(2)na3n1(2)n0对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_.解析当n为奇数时，2n(1a)3n1，1a恒成立，只需1a.当n为偶数时，2n(a1)3n1，a1恒成立，只需a1，a.综上，a.答案二、选做题10.已知12x11，则1的取值范围是_.解析12x110x1211.答案(1，)11.已知1xy4，且2xy3，则z2x3y的取值范围是_(用区间表示).解析z(xy)(xy)，3(xy)(xy)8，z的取值范围是3，8.答案3，812.已知mR，ab1，f(x)，试比较f(a)与f(b)的大小.解f(x)m，f(a)m，f(b)m.由ab1，知a1b10.，10时，m(1)m(1)，f(a)f(b).当m0时，f(a)f(b)0.当mm(1)，f(a)f(b).综上所述，当m0时，f(a)f(b)；当m0时，f(a)f(b)；当mf(b).11