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突破点12圆锥曲线的定义、方程、几何性质 (对应学生用书第44页)核心知识提炼提炼1圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)(2)双曲线：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)(3)抛物线：|PF|PM|，点F不在直线l上，PMl于M(l为抛物线的准线).提炼2 圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系在椭圆中：a2b2c2；离心率为e；在双曲线中：c2a2b2；离心率为e.(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx；焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)；双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，焦点坐标F1(0，c)，F2(0，c)(3)抛物线的焦点坐标与准线方程抛物线y22px(p0)的焦点坐标为，准线方程为x；抛物线x22py(p0)的焦点坐标为，准线方程为y.提炼3弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交时的弦长斜率为k的直线与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|x1x2|或|AB|y1y2|.(2)抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2；弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角)；以弦AB为直径的圆与准线相切高考真题回访回访1椭圆及其性质1(2017浙江高考)椭圆1的离心率是()A.B.C.D.B椭圆方程为1，a3，c.e.故选B.2(2016浙江高考)已知椭圆C1：y21(m1)与双曲线C2：y21(n0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则()Amn且e1e21Bmn且e1e21Cm1Dmn且e1e2n2.m1，n0，mn.C1的离心率e1，C2的离心率e2，e1e21.3(2015浙江高考)椭圆1(ab0)的右焦点F(c,0)关于直线yx的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是_设椭圆的另一个焦点为F1(c,0)，如图，连接QF1，QF，设QF与直线yx交于点M.由题意知M为线段QF的中点，且OMFQ.又O为线段F1F的中点，F1QOM，F1QQF，|F1Q|2|OM|.在RtMOF中，tanMOF，|OF|c，可解得|OM|，|MF|，故|QF|2|MF|，|QF1|2|OM|.由椭圆的定义得|QF|QF1|2a，整理得bc，ac，故e.4(2014浙江高考)如图121，设椭圆C：1(ab0)，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限图121(1)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；(2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为ab.解(1)设直线l的方程为ykxm(k0，可化为(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|16.由|PF1|PF2|2，得(|PF1|PF2|)24|PF1|PF2|4.故2|PF1|PF2|，代入不等式可得(|PF1|PF2|)228，解得|PF1|PF2|2.不妨设P在左支上，|PF1|216|PF2|20，即(|PF1|PF2|)(|PF1|PF2|)16，又|PF1|PF2|2，|PF1|PF2|8.故2|PF1|PF2|0，b0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足|PA|PB|，则该双曲线的离心率是_双曲线1的渐近线方程为yx.由得A，由得B，所以AB的中点C坐标为.设直线l：x3ym0(m0)，因为|PA|PB|，所以PCl，所以kPC3，化简得a24b2.在双曲线中，c2a2b25b2，所以e.回访3抛物线及其性质8(2015浙江高考)如图122，设抛物线y24x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是()图122A.B.C.D.A由图形可知，BCF与ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知BCF与ACF的面积之比就等于.由抛物线方程知焦点F(1,0)，作准线l，则l的方程为x1.点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M.由抛物线定义，得|BM|BF|1，|AN|AF|1.在CAN中，BMAN，.9(2016浙江高考)若抛物线y24x上的点M到焦点的距离为10，则M点到y轴的距离是_9设点M的横坐标为x，则点M到准线x1的距离为x1，由抛物线的定义知x110，x9，点M到y轴的距离为9.10(2016浙江高考)如图123，设抛物线y22px(p0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|1.(1)求p的值；(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围解(1)由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x1的距离，2分由抛物线的定义得1，即p2.4分(2)由(1)得，抛物线方程为y24x，F(1,0)，可设A(t2,2t)，t0，t1.因为AF不垂直于y轴，可设直线AF：xsy1(s0)，由消去x得y24sy40，6分故y1y24，所以B.7分又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为，从而得直线FN：y(x1)，直线BN：y，所以N.8分设M(m,0)，由A，M，N三点共线得，于是m2，11分所以m2.经检验，m2满足题意综上，点M的横坐标的取值范围是(，0)(2，).15分 (对应学生用书第46页)热点题型1圆锥曲线的定义、标准方程题型分析：圆锥曲线的定义、标准方程是高考常考内容，主要以选择、填空的形式考查，解题时分两步走：第一步，依定义定“型”，第二步，待定系数法求“值”.【例1】(1)已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是() 【导学号：68334125】A(1,3)B(1，)C(0,3)D(0，)(2)已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4，则|QF|()A.B3 C.D2(1)A(2)B(1)若双曲线的焦点在x轴上，则又(m2n)(3m2n)4，m21，1n3m2且n0)，O为坐标原点，F为其焦点，准线与x轴交点为E，P为抛物线上任意一点，则()图124A有最小值B有最小值1C无最小值D最小值与p有关(1)A(2)A(1)设双曲线的渐近线方程为ykx，即kxy0，由题意知1，解得k，则双曲线的焦点在x轴上，设双曲线方程为1，则有解得故选A.(2)过点P作PF垂直于准线交准线于F.设P，故|PF|，|EF|y，因为1，此时有最小值，故选A.热点题型2圆锥曲线的几何性质题型分析：圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点和热点，其中求圆锥曲线的离心率是最热门的考点之一，建立关于a，c的方程或不等式是求解的关键.【例2】(1)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A.B. C.D.(2)(2017杭州第二次质检)设抛物线y22px(p0)的焦点为F，点A，B在抛物线上，且AFB120，弦AB的中点M在准线l上的射影为M1，则的最大值为_(1)A(2)(1)如图所示，由题意得A(a,0)，B(a,0)，F(c,0)由PFx轴得P.设E(0，m)，又PFOE，得，则|MF|.又由OEMF，得，则|MF|.由得ac(ac)，即a3c，所以e.故选A.(2)如图所示，由抛物线的定义以及梯形的中位线定理得|MM1|，在ABF中，由余弦定理得|AB|2|AF|2|BF|22|AF|BF|cos |AF|2|BF|2|AF|BF|(|AF|BF|)2|AF|BF|(|AF|BF|)223|MM1|2，当且仅当|AF|BF|时，等号成立，故取得最大值.方法指津1求椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的方法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值2双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得(2)用法：可得或的值利用渐近线方程设所求双曲线的方程变式训练2(1)已知F1，F2是双曲线E：1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为()A.B. C.D2(2)(名师押题)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与椭圆交于A，B两点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为() 【导学号：68334126】A.B2C.2D.(1)A(2)D(1)法一：如图，因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|.又sinMF2F1，所以，即|MF2|3|MF1|.由双曲线的定义得2a|MF2|MF1|2|MF1|，所以b2a2，所以c2b2a22a2，所以离心率e.法二：如图，因为MF1x轴，所以|MF1|.在RtMF1F2中，由sinMF2F1得tanMF2F1.所以，即，即，整理得c2aca20，两边同除以a2得e2e10.解得e(负值舍去)(2)设|F1F2|2c，|AF1|m，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，|AB|AF1|m，|BF1|m.由椭圆的定义可知F1AB的周长为4a，4a2mm，m2(2)a.|AF2|2am(22)a.|AF1|2|AF2|2|F1F2|2，4(2)2a24(1)2a24c2，e296，e.11
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