(江苏专版)2019版高考数学大一轮复习 第六章 数列 第38讲 数列的综合应用学案 理

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第38讲数列的综合应用考试要求研究等差、等比数列综合问题.诊 断 自 测1.(必修5P54习题6改编)已知实数a1,a2,a3,a4构成公差不为零的等差数列,且a1,a3,a4构成等比数列,则此等比数列的公比等于_.解析设公差为d,公比为q,则aa1a4,即(a12d)2a1(a13d),解得a14d,所以q.答案2.已知数列an,bn满足a11,且an,an1是函数f(x)x2bnx2n的两个零点,则b10_.解析依题意有anan12n,所以an1an22n1,两式相除得2,所以a1,a3,a5,成等比数列,a2,a4,a6,也成等比数列,而a11,a22,所以a1022432,a1112532.因为anan1bn,所以b10a10a1164.答案643.已知x0,y0,x,a1,a2,y成等差数列,x,b1,b2,y成等比数列,那么的最小值是_.解析因为a1a2xy,b1b2xy,所以2224,当且仅当xy时取“”.答案44.(必修5P55例5改编)某人为了购买商品房,从2008年起,每年1月1日到银行存入a元一年定期储蓄.若年利率为p且保持不变,并约定每年到期存款及利息均自动转为新一年定期存款,到2016年1月1日(当日不存只取)将所有的存款及利息全部取回(不计利息税),则可取人民币总数为_元.解析到2016年1月1日可取回钱总数为a(1p)8a(1p)7a(1p).答案5.(必修5P46练习1改编)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10 m.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为_m.解析设放置在第x个树坑旁边,则S20(x1)(x2)21012(20x)2020(x221x210),由对称轴方程为x10.5,知x10或11时,S最小值为2 000.答案2 0006.(必修5P48习题13改编)如图所示的三角形数阵,根据图中的规律,第n行(n2)第2个数是_.解析设第n行的第2个数为an,不难得出规律,a3a22,a4a33,anan1n1,累加得an.答案知 识 梳 理1.数列可以与函数、方程、不等式、三角函数、平面向量、解析几何等组成综合问题,灵活运用等差数列、等比数列的知识分析问题、解决问题是关键.2.解答有关数列的实际应用问题,通常可分为三步:(1)根据题意建立数列模型;(2)运用数列知识求解数列模型;(3)检验结果是否符合题意,给出问题的答案.考点一子数列问题【例1】 已知在等差数列an中,a25,前10项和S10120,若从数列an中依次取出第2项、第4项、第8项、第2n项,按原顺序组成新数列bn,求数列bn的前n项和Tn.解设an的公差为d ,则所以an3(n1)22n1,bna2n22n1.所以Tn2(21222n)nn22n2n4.考点二数列与不等式【例2】 已知数列an的前n项和Sn满足Snt(Snan1)(t为常数且t0,t1).(1)求an的通项公式;(2)设bnaSnan,若数列bn为等比数列,求t的值;(3)在满足条件(2)的情形下,设cn4an1,数列cn的前n项和为Tn,若不等式2n7对任意的nN*恒成立,求实数k的取值范围.解(1)当n1时,S1t(S1a11),得a1t.当n2时,由Snt(Snan1),即(1t)Sntant,得(1t)Sn1tan1t,得(1t)antantan1,即antan1, t(n2), an是等比数列且公比是t, antn.(2)由(1)知bn(tn)2tn,即bn,若数列bn为等比数列,则有bb1b3,而b12t2,b2t3(2t1),b3t4(2t2t1),故t3(2t1)22t2t4(2t2t1),解得t,再将t代入,得bn,由知bn为等比数列, t.(3)由t知an, cn41, Tn4n4n.由不等式2n7恒成立,得3k恒成立,设dn,由dn1dn, 当n4时,dn1dn,当n4时,dn1dn,而d4,d5, d4d5, 3k, k.规律方法数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种:一是判断数列问题中的一些不等关系;二是以数列为载体,考查不等式的恒成立问题;三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时,如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法,如比较法、综合法、分析法等.如果是解不等式问题,要使用不等式的各种不同解法,如数轴法、因式分解法等.【训练1】 (2018南京调研)已知等差数列an的前n项和为Sn,且2a5a313,S416.(1)求数列an的前n项和Sn;(2)设Tn (1)iai,若对一切正整数n,不等式Tnm2),使得S2,SmS2,SnSm成等比数列?若存在,求出所有的m,n;若不存在,请说明理由.解(1)设数列an的公差为d.因为2a5a313,S416.所以解得a11,d2,所以an2n1,Snn2.(2)当n为偶数时,设n2k,kN*,则T2k(a2a1)(a4a3)(a2ka2k1)2k,代入不等式Tnan1(1)n1an2n1得2k4k,从而0,所以f(k)是递增的,所以f(k)min2,所以2.当n为奇数时,设n2k1,kN*,则T2k1T2k(1)2ka2k2k(4k1)12k,代入不等式Tnan1(1)n1an2n1,得(12k)4k.因为kN*,所以4k的最大值为4,所以4.综上所述,的取值范围为(4,2).(3)假设存在正整数m,n(nm2),使得S2,SmS2,SnSm成等比数列,则(SmS2)2S2(SnSm),即(m24)24(n2m2),所以4n2(m22)212,即4n2(m22)212,即(2nm22)(2nm22)12.因为nm2,所以n4,m3,所以2nm2215.因为2nm22是整数,所以等式(2nm22)(2nm22)12不成立.故不存在正整数m,n(nm2),使得S2,SmS2,SnSm成等比数列.考点三新数列问题【例3】 (2017南通期末)若数列an中存在三项,按一定次序排列构成等比数列,则称an为“等比源数列”.(1) 已知数列an中,a12,an12an1. 求an的通项公式; 试判断an是否为“等比源数列”,并证明你的结论;(2) 已知数列an为等差数列,且a10,anZ(nN*).求证:an为“等比源数列”.(1)解 由an12an1,得an112(an1),且a111,所以数列an1是首项为1,公比为2的等比数列.所以an12n1.所以数列an的通项公式为an2n11. 数列an不是“等比源数列”.用反证法证明如下:假设数列an是“等比源数列”,则存在三项am,an,ak(mnk)按一定次序排列构成等比数列.因为an2n11,所以amanak.所以aamak,得(2n11)2(2m11)(2k11),即22nm12nm12k12km1.又mnk,m,n,kN*,所以2nm11,nm11,k11,km1.所以22nm12nm12k12km为偶数,与22nm12nm12k12km1矛盾.所以数列an中不存在任何三项,按一定次序排列构成等比数列.综上,可得数列an不是“等比源数列”.(2)证明不妨设等差数列an的公差d0.当d0时,等差数列an为非零常数数列,数列an为“等比源数列”.当d0时,因为anZ,则d1,且dZ,所以数列an中必有一项am0.为了使得an为“等比源数列”,只需要an中存在第n项,第k项(mnk),使得aamak成立,即am(nm)d2amam(km)d,即(nm)2am(nm)dam(km)成立.当namm,k2amamdm时,上式成立.所以an中存在am,an,ak成等比数列.所以数列an为“等比源数列”.【训练2】 (2018南京、盐城质检)已知数列an,bn满足a13,anbn2,bn1an,nN*.(1)求证:数列是等差数列,并求数列bn的通项公式;(2)设数列cn满足cn2an5,对于给定的正整数p,是否存在正整数q,r(pqr),使得,成等差数列?若存在,试用p表示q,r;若不存在,请说明理由.(1)证明因为anbn2,所以an,则bn1anbn22,所以,又a13,所以b1,故是首项为,公差为的等差数列,即(n1),所以bn.(2)解由(1)知ann2,所以cn2an52n1.当p1时,cpc11,cq2q1,cr2r1,若,成等差数列,则1,(*)因为pqr,所以q2,r3,1,11,所以(*)式不成立.当p2时,若,成等差数列,则,所以,即2r1,所以r,欲满足题设条件,只需q2p1,此时r4p25p2,因为p2,所以q2p1p,rq4p27p34(p1)2p10,即rq.综上所述,当p1时,不存在q,r满足题设条件;当p2时,存在q2p1,r4p25p2,满足题设条件.一、必做题1.(2017全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯_.解析设顶层灯数为a1,q2,S7381,解得a13.答案32.在等比数列an中,各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则_.解析 a1,a3,2a2成等差数列, 2a3a12a2,即a3a12a2,设等比数列an的公比为q且q0,则a3a1q2,a2a1q, a1q2a12a1q, q212q,解得q1或1(舍),q2(1)232.答案323.设Sn是等比数列an的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,且a2a52am,则m_.解析当公比q1时,29a13a16a1,则a10,舍去;当公比q1时,2, 2q61q3,则2a2q6a2a2q3,即2a8a2a5,从而m8.答案84.某银行在某段时间内规定存款按单利计算,且整存整取的年利率如下:存期1年2年3年5年年利率(%)2.252.42.732.88某人在该段时间存入10 000元,存期两年,利息税为所得利息的5%.则到期的本利和为_元.解析10 000(122.4%)10 00022.4%5%10 456.答案10 4565.已知等比数列an的首项为2,公比为3,前n项和为Sn.若log39,则的最小值是_.解析由题设an23n1,S4m1134m, an(S4m1)34mn1.又log39, an(S4m1)39,即4mn19, 4mn10.又(4mn),当且仅当,即mn2时“”成立.答案6.在等差数列an中,已知首项a10,公差d0.若a1a260,a2a3100,则5a1a5的最大值为_.解析由a1a260,a2a3100得2a1d60,2a13d100,a10,d0.由线性规划的知识得5a1a56a14d,过点(20,20)时取最大值为200.答案2007.设正项数列an的前n项和是Sn,若an和都是等差数列,则的最小值是_.解析由题设知Snnn2,又为等差数列,从而a1,从而ana1(n1)dd,Snn2,.令2n1t(t1),原式21,从而当t21时,即n11时,原式取到最小值21.答案218.已知数列an满足a1,2an1(nN*),则 _.解析条件化为,即3,所以3n1,故 .答案9.(2018济南模拟)已知数列an是公差不为零的等差数列,其前n项和为Sn,满足S52a225,且a1,a4,a13恰为等比数列bn的前三项.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设Tn是数列的前n项和,是否存在kN*,使得等式12Tk成立?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.解(1)设等差数列an的公差为d(d0),解得a13,d2,an2n1.b1a13,b2a49,等比数列bn的公比q3,bn3n.(2)不存在.理由如下:,Tn,12Tk(kN*),易知数列为单调递减数列,12Tk,又,不存在kN*,使得等式12Tk成立.10.(2018泰州模拟)已知数列an,bn满足2Sn(an2)bn,其中Sn是数列an的前n项和.(1)若数列an是首项为,公比为的等比数列,求数列bn的通项公式;(2)若bnn,a23,求数列an的通项公式;(3)在(2)的条件下,设cn,求证:数列cn中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积.(1)解因为an2,所以Sn,所以bn.(2)解若bnn,则2Snnan2n,所以2Sn1(n1)an12(n1),由得2an1(n1)an1nan2,即nan(n1)an12,当n2时,(n1)an1(n2)an2,由得(n1)an1(n1)an12(n1)an,即an1an12an,又由2S1a12得a12,所以数列an是首项为2,公差为321的等差数列,故数列an的通项公式是ann1.(3)证明由(2)得cn,对于给定的nN*,若存在kn,tn,kt,k,tN*,使得cnckct,只需,即1,即,则t,取kn1,则tn(n2),所以对数列cn中的任意一项cn,都存在cn1和cn22n使得cncn1cn22n.二、选做题11.(2018常州一模)已知数列an满足a110,an10an1an10(nN*).(1)若an是等差数列,Sna1a2an,且Sn10Sn1Sn10(nN*),求公差d的取值集合;(2)若a1,a2,ak成等比数列,公比q是大于1的整数,且a1a2ak2017,求正整数k的最小值;(3)若a1,a2,ak成等差数列,且a1a2ak100,求正整数k的最小值及k取最小值时公差d的值.解(1)由Sn10Sn1Sn10,得10an110,1010nd10,d0对任意的nN*恒成立,d0,公差d的取值集合为0.(2)an1an10,a210q20,q2,又公比q是大于1的整数,q2,a1a2ak10(2k1)2 017,2k202.7,k8,即正整数k的最小值为8.(3)a1a2ak10kd100,d.由题意|d|an1an|10,10,k2k202kk2k,k4,kmin4,此时d10.11
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