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第一章 三角函数章末复习学习目标1.理解任意角的三角函数的概念.2.掌握同角三角函数基本关系及诱导公式.3.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象.4.理解三角函数ysin x，ycos x，ytan x的性质.5.了解函数yAsin(x)的实际意义，掌握函数yAsin(x)图象的变换1任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：(1)y叫做的正弦，记作sin ，即sin y；(2)x叫做的余弦，记作cos ，即cos x；(3)叫做的正切，记作tan ，即tan (x0)2同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan .3诱导公式六组诱导公式可以统一概括为“k(kZ)”的诱导公式当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把视为锐角时原函数值的符号记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”4正弦函数、余弦函数和正切函数的性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RRx|xR且xk，kZ值域1,11,1R对称性对称轴：xk(kZ)；对称中心：(k，0)(kZ)对称轴：xk(kZ)；对称中心：(kZ)对称中心：(kZ)，无对称轴奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性最小正周期：2最小正周期：2最小正周期：单调性在(kZ) 上单调递增；在(kZ)上单调递减在2k，2k(kZ)上单调递增；在2k，2k(kZ)上单调递减在开区间(kZ) 上递增最值在x2k(kZ)时，ymax1；在x2k(kZ)时，ymin1在x2k(kZ)时，ymax1；在x2k(kZ)时，ymin1无最值类型一三角函数的化简与求值例1(2018牌头中学月考)已知f().(1)化简f()；(2)若是第三象限角，且cos，求f()的值；(3)若，求f()的值考点诱导公式的综合应用题点综合运用诱导公式求值解(1)f()cos .(2)cossin ，sin .又是第三象限角，cos .f().(3)62，fcoscoscoscos.反思与感悟解决三角函数的化简与求值问题一般先化简再求值在应用中，要注意掌握解题的技巧比如：已知sin cos 的值，可求cos sin ，注意应用(cos sin )212sin cos .跟踪训练1已知是三角形的内角，且sin cos .(1)求tan 的值；(2)把用tan 表示出来，并求其值考点诱导公式的综合应用题点综合运用诱导公式求值解(1)由sin cos ，得12sin cos ，所以sin cos ，因为是三角形的内角，所以sin 0，cos 0，所以sin cos ，故得sin ，cos ，所以tan .(2)，又tan ，所以.类型二三角函数的图象与性质例2(2017金华十校期末)函数f(x)Asin(x)的图象如图所示(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数y|f(x)|在上的最大值和最小值考点三角函数图象的综合应用题点三角函数图象的综合应用解(1)由图象可知A1，T，2.f(x)sin(2x)又点在函数的图象上，22k，kZ，2k，kZ，又|0，0，xR)在区间上的图象为了得到这个函数的图象，只要将ysin x(xR)的图象上所有的点()A向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变考点三角函数图象的综合应用题点三角函数图象的综合应用答案A解析由题图知，A1，T，所以2，所以f(x)sin(2x)，又图象过点，由五点法知，所以，所以ysin.故将函数ysin x的图象先向左平移个单位长度后，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，可得函数ysin的图象类型三三角函数的最值或值域命题角度1可化为yAsin(x)k型例3求函数y2sin3，x0，的最大值和最小值考点正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点正弦函数的最大值与最小值解x0，x，sin1.当sin1，即x时，y取得最小值1.当sin，即x时，y取得最大值4.函数y2sin3，x0，的最大值为4，最小值为1.反思与感悟利用yAsin(x)k求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响跟踪训练3函数f(x)3sin，x的值域为()A. B.C. D.考点正弦函数、余弦函数的定义域、值域题点正弦函数、余弦函数的值域答案B解析当x时，2x，sin，故3sin，即此时函数f(x)的值域是.命题角度2可化为sin x或cos x的二次函数型例4已知|x|，求函数f(x)cos2xsin x的最小值考点正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点正弦函数、余弦函数最值的综合问题解yf(x)cos2xsin xsin2xsin x1.令tsin x，|x|，sin x.则yt2t12，当t，即x时，f(x)有最小值，且最小值为2.反思与感悟在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错跟踪训练4(2017全国)函数f(x)sin2xcos x的最大值是 考点正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点正弦函数、余弦函数最值的综合问题答案1解析f(x)1cos2xcos x21.x，cos x0,1，当cos x时，f(x)取得最大值，最大值为1.类型四数形结合思想在三角函数中的应用例5如果关于x的方程sin2x(2a)sin x2a0在x上有两个实数根，求实数a的取值范围考点正弦函数与余弦函数图象的综合应用题点正弦函数与余弦函数图象的综合应用解sin2x(2a)sin x2a0，即(sin x2)(sin xa)0.sin x20，sin xa，因此此题转化为求在x上，sin xa有两个实数根时a的取值范围由ysin x，x与ya的图象(图略)知a1.故实数a的取值范围是.反思与感悟数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究yAsin(x)(A0，0)的性质和由性质研究图象时，常利用数形结合思想跟踪训练5设函数f(x)Asin(x)(A，是常数，A0，0)若f(x)在区间上具有单调性，且fff，则f(x)的最小正周期为 考点正弦函数与余弦函数图象的综合应用题点正弦函数与余弦函数图象的综合应用答案解析记f(x)的最小正周期为T.由题意知，即T.又fff，且，可作出示意图如图所示(一种情况)，x1，x2，x2x1，T.1已知sin，则cos等于()A. B C. D考点诱导公式的综合应用题点综合运用诱导公式求值答案D解析cossinsinsin.2已知f()，则f的值为()A. B C D.考点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用题点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用答案C解析f()cos ，fcoscos coscos.3函数ysin(2x)图象的一条对称轴在区间内，则满足此条件的一个值为()A. B. C. D.考点正弦函数、余弦函数性质的综合应用题点正弦函数性质的综合应用答案A解析令2xk(kZ)，解得x(kZ)，因为函数ysin(2x)图象的一条对称轴在区间内，所以令(kZ)，解得kk(kZ)，四个选项中只有A符合，故选A.4(2017宁波期末)已知函数f(x)2sin(x)一部分图象如图所示，则_，函数f(x)的图象可以由g(x)2sin x的图象向左平移至少_个单位长度得到考点求三角函数的解析式题点根据三角函数的图象求解析式答案2解析由函数图象可得，函数的最小正周期为T2，结合最小正周期公式有2.令x有x22k，kZ，2k(kZ)，又因为00，2，y1sin(2x)，当x时，01sin，22k(kZ)，2k2k(kZ)y1sin1sin1sin，故选D.6(2018金华东阳中学检测)已知，则等于()Asin cos Bcos sin C(sin cos ) Dsin cos 考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案A7(2017宁波期末)下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线x对称的是()Aysin BysinCycos Dycos考点求三角函数的解析式题点根据三角函数的图象求解析式答案B解析函数的最小正周期为，则，2，据此可得选项AC错误；考查选项BD：当x时，sinsin1，满足题意；当x时，coscos0，不满足题意，故选B.二、填空题8函数y2sin的最小正周期在内，则正整数m的值是 考点正弦函数、余弦函数性质的综合应用题点正弦函数、余弦函数性质的综合应用答案26,27,28解析T，又，8m9，且mZ，m26,27,28.9函数yf(x)Asin(x)的部分图象如图所示，则f(1)f(2)f(3)f(2 018)的值等于 考点三角函数图象的综合应用题点三角函数图象的综合应用答案2解析由图知A2，0，f(x)2sinx，f(1)f(2)f(8)0.又f(x)的周期为8，f(1)f(2)f(2 018)f(1)f(2)2sin 2sin 2.10已知sin 是方程2x2x10的根，是第三象限角，则tan2() .考点诱导公式的综合应用题点综合运用诱导公式化简答案解析方程2x2x10的根为或1，又是第三象限角，sin ，cos ，tan ，原式tan2tan2.11给出下列命题：函数ycos是奇函数；若，是第一象限角且，则tan tan ；y2sin x在区间上的最小值是2，最大值是；x是函数ysin的一条对称轴其中正确命题的序号是 考点正弦函数、余弦函数性质的综合应用题点正弦函数、余弦函数性质的综合应用答案解析函数ycossin x是奇函数，正确；若，是第一象限角且，取30，390，则tan tan ，不正确；y2sin x在区间上的最小值是2，最大值是2，不正确；sinsin 1，正确三、解答题12已知函数g(x)Acos(x)B的部分图象如图所示，将函数g(x)的图象保持纵坐标不变，横坐标向右平移个单位长度后得到函数f(x)的图象求：(1)函数f(x)在上的值域；(2)使f(x)2成立的x的取值范围考点三角函数图象的综合应用题点三角函数图象的综合应用解(1)由图知B1，A2，T2，所以2，所以g(x)2cos(2x)1.把代入，得2cos11，即2k(kZ)，所以2k(kZ)因为|0)的图象向左平移个单位长度得到函数yg(x)的图象若yg(x)在上为增函数，则的最大值为 考点三角函数图象的综合应用题点三角函数图象的综合应用答案215已知函数yasinb在x上的值域为5,1，求a，b的值考点正弦函数、余弦函数的定义域、值域题点正弦函数、余弦函数的值域解x，2x，sin.当a0时，解得当a0时，解得a，b的取值分别是4，3或4，1.18
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