2022年高三上学期第一次月考数学试卷（理科） 含解析(IV)

2022年高三上学期第一次月考数学试卷（理科） 含解析(IV)一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上1已知集合A=x|x=2n，nN*，B=x|x=2n，nN*，则下列不正确的是（）AABBAB=ACB（zA）=DAB=B2函数的最大值和最小值分别是（）A，B，2C2，D2，23函数f（x）=lnx+ax存在与直线2xy=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A（，2B（，2）C0，+）D（2，+）4要得到函数y=3cosx的图象，只需将函数y=3sin（2x）的图象上所有点的（）A横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象再向左平移个单位长度B横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象再向右平移个单位长度C横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象再向左平移个单位长度D横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象再向右平移个单位长度5在ABC中，如果边a，b，c满足a（b+c），则A（）A一定是锐角B一定是钝角C一定是直角D以上都有可能6设0x，则“xsin2x1”是“xsinx1”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7设方程3x=|lg（x）|的两个根为x1，x2，则（）Ax1x20Bx1x2=0Cx1x21D0x1x218若函数f（x）=3xx3在区间（a212，a）上有最小值，则实数a的取值范围是（）AB（1，4）C（1，2D（1，2）二填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上9 =10已知，则=11在三角形ABC中，已知A=60，b=1，其面积为，则=12若函数，则f2，若AB，则实数a的取值范围是三解答题：本大题共6小题，共80分，将解题过程及答案填写在答题纸上15设函数，（）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；（）当时，f（x）的最小值为0，求实数m的值16某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响求移栽的4株大树中：（1）两种大树各成活1株的概率；（2）成活的株数的分布列与期望17如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1的长为3，底面ABCD是边长为2的正方形，E是棱BC的中点（）求证：BD1平面C1DE；（）求二面角C1DEC的正切值；（）在侧棱BB1上是否存在点P，使得CP平面C1DE？证明你的结论18已知函数f（x）=x2+axlnx，aR（）若a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若函数f（x）在1，2上是减函数，求实数a的取值范围；（）令g（x）=f（x）x2，是否存在实数a，当x（0，e（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由19已知曲线C的方程为y2=4x（x0），曲线E是以F1（1，0）、F2（1，0）为焦点的椭圆，点P为曲线C与曲线E在第一象限的交点，且（1）求曲线E的标准方程；（2）直线l与椭圆E相交于A，B两点，若AB的中点M在曲线C上，求直线l的斜率k的取值范围20函数（1）若f（x）在x=2处取得极值，求p的值；（2）若f（x）在其定义域内为单调函数求p的取值范围；（3）若在1，e上至少存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，求p的取值范围参考答案与试题解析一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上1已知集合A=x|x=2n，nN*，B=x|x=2n，nN*，则下列不正确的是（）AABBAB=ACB（zA）=DAB=B【考点】交集及其运算【分析】由已知得AB，AB=A，AB=B，B（zA）=6，10，12，14，【解答】解：集合A=x|x=2n，nN*=2，4，8，16，2n，B=x|x=2n，nN*=2，4，6，8，2n，AB，AB=A，AB=B，B（zA）=6，10，12，14，故A，B，D均正确，C错误故选：C2函数的最大值和最小值分别是（）A，B，2C2，D2，2【考点】三角函数的最值【分析】由题意可得y=（cosx1）2+2，且cosx1，再利用二次函数的性质求得y的最大值和最小值【解答】解：函数=1cos2x+2cosx=（cosx1）2+2，cosx1，故当cosx=1时，即x=时，函数y取得最小值为4+2=2，当cosx=时，即x=时，函数y取得最大值为+2=，故选：B3函数f（x）=lnx+ax存在与直线2xy=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A（，2B（，2）C0，+）D（2，+）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】问题等价于f（x）=2在（0，+）上有解，分离出参数a，转化为求函数值域问题即可【解答】解：函数f（x）=lnx+ax存在与直线2xy=0平行的切线，即f（x）=2在（0，+）上有解，而f（x）=+a，即+a=2在（0，+）上有解，a=2，因为x0，所以22，所以a的取值范围是（，2）故选B4要得到函数y=3cosx的图象，只需将函数y=3sin（2x）的图象上所有点的（）A横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象再向左平移个单位长度B横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象再向右平移个单位长度C横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象再向左平移个单位长度D横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象再向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用诱导公式将y=3cosx转化为：y=3sin（+x），再利用函数y=Asin（x+）的图象的伸缩变换与平移变换即可得到答案【解答】解：y=3cosx=3sin（+x），令y=f（x）=3sin（+x），要得到y=f（x）=3sin（+x）的图象，需将函数y=3sin（2x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到g（x）=3sin（x）；g（x+）=3sin（x+）=3sin（+x）=f（x），即：将g（x）=3sin（x）的图象再向左平移个单位长度，可得到y=f（x）=3sin（+x）的图象故选C5在ABC中，如果边a，b，c满足a（b+c），则A（）A一定是锐角B一定是钝角C一定是直角D以上都有可能【考点】余弦定理【分析】已知不等式两边平方，利用余弦定理表示出cosA，变形后利用基本不等式求出cosA的范围，利用余弦函数性质求出A的范围，即可做出判断【解答】解：已知不等式两边平方得：a2，利用余弦定理得：cosA=，A为三角形的内角，0A60，即A一定是锐角故选A6设0x，则“xsin2x1”是“xsinx1”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】不等关系与不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断；正弦函数的单调性【分析】由x的范围得到sinx的范围，则由xsinx1能得到xsin2x1，反之不成立答案可求【解答】解：0x，0sinx1，故xsin2xxsinx，若“xsinx1”，则“xsin2x1”若“xsin2x1”，则xsinx，1此时xsinx1可能不成立例如x，sinx1，xsinx1由此可知，“xsin2x1”是“xsinx1”的必要而不充分条故选B7设方程3x=|lg（x）|的两个根为x1，x2，则（）Ax1x20Bx1x2=0Cx1x21D0x1x21【考点】函数的零点【分析】分别作出函数y=3x和y=|lg（x）|的图象，由图象先确定两个根的取值范围，然后根据指数函数和对数函数的性质进行判断【解答】解：分别作出函数y=3x和y=|lg（x）|的图象如图：由图象可知程3x=|lg（x）|的两个根为x1，x2，不妨设x1x2，则两根满足2x11，1x20，3x1=|lg（x1）|=lg（x1），3x2=|lg（x2）|=lg（x2），且3x13x2，得3x13x2=lg（x1）+lg（x2）=lg（x1x2）3x13x2，lg（x1x2）=3x13x20，即0x1x21 故选：D8若函数f（x）=3xx3在区间（a212，a）上有最小值，则实数a的取值范围是（）AB（1，4）C（1，2D（1，2）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】求函数f（x）=3xx3导数，研究其最小值取到位置，由于函数在区间（a212，a）上有最小值，故最小值点的横坐标是集合（a212，a）的元素，由此可以得到关于参数a的等式，解之求得实数a的取值范围【解答】解：由题 f（x）=33x2，令f（x）0解得1x1；令f（x）0解得x1或x1由此得函数在（，1）上是减函数，在（1，1）上是增函数，在（1，+）上是减函数故函数在x=1处取到极小值2，判断知此极小值必是区间（a212，a）上的最小值a2121a，解得1a又当x=2时，f（2）=2，故有a2综上知a（1，2故选C二填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上9 =【考点】定积分的简单应用【分析】求出被积函数2x的原函数，将积分的上限、下限代入求值即可【解答】解： =（ x2+x1）|13=32+31（ 12+11）=，故答案为10已知，则=3【考点】指数式与对数式的互化【分析】先求出a=，由此能求出的值【解答】解：，=，a=，=3故答案为：311在三角形ABC中，已知A=60，b=1，其面积为，则=【考点】正弦定理【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将sinA，b，以及已知面积相等求出c的值，利用余弦定理求出a的值，利用正弦定理求出所求式子的值即可【解答】解：ABC中，A=60，b=1，其面积为，bcsinA=，即c=，解得：c=4，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA=1+164=13，即a=，则由正弦定理=得： =故答案为：12若函数，则f=f（x2）+1，即此时函数的周期是2，则f+1=f（0）+1007=f（2）+1008=12+1008=1007，故答案为：100713当y=2sin6x+cos6x取得最小值时，cos2x=32【考点】三角函数的最值【分析】先根据同角的三角函数的关系得到y=sin6x+13sin2x+3sin4x，再设sin2x=t，则t0，1，构造函数f（t）=t3+3t23t+1，t0，1，利用导数和最值的关系求出sin2x=1，再根据二倍角公式即可求出答案【解答】解：y=2sin6x+cos6x=2sin6x+（cos2x）3=2sin6x+（1sin2x）3=2sin6x+13sin2x+3sin4xsin6x=sin6x+13sin2x+3sin4x，设sin2x=t，则t0，1，则f（t）=t3+3t23t+1，t0，1，f（t）=3t2+6t3，令f（t）=3t2+6t3=0，解得t=1，当f（t）0时，即t（1，1，函数f（t）单调递增，当f（t）0时，即t0，1，函数f（t）单调递减，当t=1时，函数f（t）有最小值，sin2x=1时，函数y=2sin6x+cos6x取得最小值，cos2x=12sin2x=12（1）=32，故答案为：14已知集合A=x|x2ax+30，B=x|1log2（x+1）2，若AB，则实数a的取值范围是【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】先化简集合B，再利用AB，可得A=或，即可求出实数a的取值范围【解答】解：集合B=x|1log2（x+1）2=x|log22log2（x+1）log24=x|2x+14=x|1x3，AB，A=或，2a2或2a4，实数a的取值范围是故答案为三解答题：本大题共6小题，共80分，将解题过程及答案填写在答题纸上15设函数，（）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；（）当时，f（x）的最小值为0，求实数m的值【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值【分析】（）利用两角和的余弦公式、正弦公式化简解析式，由三角函数的周期公式求出f（x）的最小正周期，由正弦函数的增区间求出f（x）的增区间；（）由x的范围求出2x+的范围，由正弦函数的图象、性质和条件列出方程，求出m的值【解答】解：（）=，由得，则f（x）的单调增区间为，kZ，且f（x）的最小正周期为T=；（），则，f（x）的最小值为0，解得16某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响求移栽的4株大树中：（1）两种大树各成活1株的概率；（2）成活的株数的分布列与期望【考点】离散型随机变量及其分布列；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率【分析】（1）甲两株中活一株符合独立重复试验，概率为，同理可算乙两株中活一株的概率，两值相乘即可（2）的所有可能值为0，1，2，3，4，分别求其概率，列出分布列，再求期望即可【解答】解：设Ak表示甲种大树成活k株，k=0，1，2Bl表示乙种大树成活1株，1=0，1，2则Ak，Bl独立由独立重复试验中事件发生的概率公式有P（Ak）=C2k（）k（）2k，P（Bl）=C21（）l（）2l据此算得P（A0）=，P（A1）=，P（A2）=P（B0）=，P（B1）=，P（B2）=（1）所求概率为P（A1B1）=P（A1）P（B1）=（2）解法一：的所有可能值为0，1，2，3，4，且P（=0）=P（A0B0）=P（A0）P（B0）=，P（=1）=P（A0B1）+P（A1B0）=+=，P（=2）=P（A0B2）+P（A1B1）+P（A2B0）=+=，P（=3）=P（A1B2）+P（A2B1）=+=P（=4）=P（A2B2）=综上知有分布列01234P从而，的期望为E=0+1+2+3+4=（株）解法二：分布列的求法同上，令1，2分别表示甲乙两种树成活的株数，则1：B（2，），2：B（2，）故有E1=2=，E2=2=1从而知E=E1+E2=17如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1的长为3，底面ABCD是边长为2的正方形，E是棱BC的中点（）求证：BD1平面C1DE；（）求二面角C1DEC的正切值；（）在侧棱BB1上是否存在点P，使得CP平面C1DE？证明你的结论【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【分析】以点D为原点，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz，求出相关点的坐标（）求出平面C1DE的一个法向量，通过数量积为0，推出BD1平面C1DE；（）求出平面ABCD的一个法向量，利用向量的数量积求解夹角的余弦函数值，然后求解二面角C1DEC的正切值（）假设侧棱BB1上是否存在点P，使得CP平面C1DE，设P（2，2，t），利用与共线，列出不等式组，求解即可【解答】解：以点D为原点，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz，则B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，3），D1（1，2，0），DCAD是棱ABC的中点，E（1，2，0），（）设平面C1DE的一个法向量为，则，又DE平面C1DE，BD1平面C1DE；（）平面ABCD的一个法向量为，二面角C1DEC的正切值为；（）假设侧棱BB1上是否存在点P，使得CP平面C1DE，设P（2，2，t），则，且与共线，存在实数使得，即这样的不存在，在侧棱BB1上不存在点P，使得CP平面C1DE18已知函数f（x）=x2+axlnx，aR（）若a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若函数f（x）在1，2上是减函数，求实数a的取值范围；（）令g（x）=f（x）x2，是否存在实数a，当x（0，e（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（I）欲求在点（1，f（1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决（II）先对函数f（x）进行求导，根据函数f（x）在1，2上是减函数可得到其导函数在1，2上小于等于0应该恒成立，再结合二次函数的性质可求得a的范围（III）先假设存在，然后对函数g（x）进行求导，再对a的值分情况讨论函数g（x）在（0，e上的单调性和最小值取得，可知当a=e2能够保证当x（0，e时g（x）有最小值3【解答】解：（I）a=0时，曲线y=f（x）=x2lnx，f（x）=2x，g（1）=1，又f（1）=1曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程xy=0（II）在1，2上恒成立，令h（x）=2x2+ax1，有得，得 （II）假设存在实数a，使g（x）=axlnx（x（0，e）有最小值3， =当a0时，g（x）在（0，e上单调递减，g（x）min=g（e）=ae1=3，（舍去），当时，g（x）在上单调递减，在上单调递增，a=e2，满足条件当时，g（x）在（0，e上单调递减，g（x）min=g（e）=ae1=3，（舍去），综上，存在实数a=e2，使得当x（0，e时g（x）有最小值319已知曲线C的方程为y2=4x（x0），曲线E是以F1（1，0）、F2（1，0）为焦点的椭圆，点P为曲线C与曲线E在第一象限的交点，且（1）求曲线E的标准方程；（2）直线l与椭圆E相交于A，B两点，若AB的中点M在曲线C上，求直线l的斜率k的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【分析】（1）依题意，c=1，利用抛物线的定义可得，由此能求出曲线E的标准方程（2）设直线l与椭圆E交点A（x1，y1），B（x2，y2），A，B的中点F2的坐标为（x0，y0），设直线方程为y=kx+m（k0，m0）与联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m212=0，由0，得4k2m2+30，由韦达定理得AB的中点（，），代入曲线C的方程为y2=4x（x0），得9m=16k（3+4k2），由此能求出直线l的斜率k的取值范围【解答】解：（1）依题意，c=1，利用抛物线的定义得，P点的坐标为，又由椭圆定义得b2=a2c2=3，所以曲线E的标准方程为（2）设直线l与椭圆E交点A（x1，y1），B（x2，y2），A，B的中点M的坐标为（x0，y0），设直线方程为y=kx+m（k0，m0）与联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m212=0，由0，得4k2m2+30，由韦达定理得x1+x2=，x0=，将中点（，）代入曲线C的方程为y2=4x（x0），整理，得9m=16k（3+4k2），将代入得162k2（3+4k2）81令x（1，eb）t=4k2（t0），则64t2+192t810，20函数（1）若f（x）在x=2处取得极值，求p的值；（2）若f（x）在其定义域内为单调函数求p的取值范围；（3）若在1，e上至少存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，求p的取值范围【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性【分析】（I）求导函数，利用f（x）在x=2处取得极值，可得f（2）=0，从而可求p的值；（II）若f（x）在其定义域内为单调函数，则f（x）0或f（x）0恒成立，若f（x）0恒成立，则在（0，+）上恒成立，即；若f（x）0恒成立，则在（0，+）上恒成立，即，由此可求p的取值范围；（III）先确定g（x）的值域为2，2e再分类讨论，确定f（x）的值域，利用在1，e上至少存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，构建不等式，即可求p的取值范围【解答】解：（I）f（x）=f（x）在x=2处取得极值，f（2）=0，p=；（II）若f（x）在其定义域内为单调函数，则f（x）0或f（x）0恒成立若f（x）0恒成立，则在（0，+）上恒成立，即若f（x）0恒成立，则在（0，+）上恒成立，即令=x=1时，h（x）max=1；x0或x+时，h（x）min0p0或p1；（III）g（x）在1，e上单调递减，g（x）的值域为2，2e若p1，由（II）知，f（x）在1，e上单调递增，f（x）的值域为0，在1，e上至少存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，p；若p0，由（II）知，f（x）在1，e上单调递减，f（x）的值域为，0f（x）max=02=g（x）min，此时不满足题意若0p1，则，函数在1，e上单调递增ee2=g（x）min，此时不满足题意综上，pxx11月7日