（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第十章 计数原理与古典概率 5 第5讲 古典概型教学案

第5讲古典概型1基本事件的特点(1)任何两个基本事件都是互斥的(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)2古典概型(1)特点试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性(2)概率公式P(A)教材衍化1(必修3P127例3改编)一个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张卡片，随机地抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是_解析：抽取两张卡片的基本事件有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种，和为奇数的事件有：(1，2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)，共4种所以所求概率为.答案：2(必修3P145A组T5改编)袋中装有6个白球， 5个黄球，4个红球从中任取一球，则取到白球的概率为_解析：从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P.答案：3(必修3P134A组T6改编)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为_解析：从5件产品中任取2件共有C10(种)取法，恰有一件次品的取法有CC6(种)，所以恰有一件次品的概率为0.6.答案：0.6求古典概型的概率(高频考点)求古典概型的概率问题是高考考查的热点主要命题角度有：(1)直接列举法；(2)图表、树型法；(3)逆向思维法；(4)对称性法角度一直接列举法 袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两个，求下列事件的概率(1)取出的两球都是白球；(2)取出的两球一个是白球，另一个是红球【解】设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6，从袋中的6个小球中任取两个的所有可能结果如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15个(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的方法数，即是从4个白球中任取两个的方法数，共有6个，即为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)所以取出的两个球全是白球的概率为P.(2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个为白球，其取法包括(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，共8个所以取出的两个球一个是白球，另一个是红球的概率为P.角度二图表、树型法 一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，则摸出2个黑球的概率为_【解析】如图所示，所有结果组成的集合U含有6个元素，故共有6种不同的结果U的子集A有3个元素，故摸出2个黑球有3种不同的结果因此，摸出2个黑球的概率是P.【答案】角度三逆向思维法 同时抛掷两枚骰子，则至少有一个5点或6点的概率为_【解析】至少有一个5点或6点的对立事件是：没有5点或6点因为没有5点或6点的结果共有16个，而抛掷两枚骰子的结果共有36个，所以没有5点或6点的概率为P.至少有一个5点或6点的概率为1.【答案】角度四对称性法 有A，B，C，D，E共5人站成一排，则A在B的右边(A，B可以不相邻)的概率为_【解析】由于A，B不相邻，A在B的右边和B在A的右边的总数是相等的，且A在B的右边的排法数与B在A的右边的排法数组成所有基本事件总数，所以A在B的右边的概率是.【答案】(1) (2)求较复杂事件的概率问题的方法将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求解 1从分别标有1，2，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A.B.C. D.解析：选C.所求概率为P.2(2020台州高三教学质量评估)袋子里装有编号分别为“1，2，2，3，4，5”的6个大小、质量相同的小球，某人从袋子中一次任取3个球，若每个球被取到的机会均等，则取出的3个球编号之和大于7的概率为()A. B.C. D.解析：选B.由题设取三个球的所有可能有nC20，其中编号之和小于或等于7的所有可能有(1，2，2)，(1，2，3)，(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，4)，(2，2，3)，共6种，其概率P，所以3个球编号之和大于7的概率为P1.3(2020温州八校联考)依次从标号为1，2，3，4，5的五个黑球和标号为6，7，8，9的四个白球中随机地各取一个球，用数对(x，y)表示事件“抽到两个球标号分别为x，y”(1)问共有多少个基本事件？并列举出来；(2)求所抽取的标号之和小于11但不小于9或标号之和大于12的概率解：(1)共有20个基本事件，列举如下：(1，6)，(1，7)，(1，8)，(1，9)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(2，9)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(3，9)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，共20个(2)记事件“所抽取的标号之和小于11但不小于9”为事件A，由(1)可知事件A共含有7个基本事件，列举如下：(1，8)，(1，9)，(2，7)，(2，8)，(3，6)，(3，7)，(4，6)，共7个“抽取的标号之和大于12”记作事件B，则事件B包含：(4，9)，(5，8)，(5，9)，共3个故P(A)P(B)，故抽取的标号之和小于11但不小于9或大于12的概率为.古典概型与其他知识的交汇(高频考点)近几年高考对交汇型古典概型问题有所侧重主要命题角度有：(1)与平面向量的交汇；(2)与函数(方程)的交汇；(3)与解析几何的交汇角度一与平面向量的交汇 从集合2，3，4，5中随机抽取一个数a，从集合1，3，5中随机抽取一个数b，则向量m(a，b)与向量n(1，1)垂直的概率为()A. B.C. D.【解析】由题意可知m(a，b)有：(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共12种情况因为mn，即mn0，所以a1b(1)0，即ab，满足条件的有(3，3)，(5，5)，共2个，故所求的概率为.【答案】A角度二与函数(方程)的交汇 已知|p|3，|q|3，当p，qZ，则方程x22pxq210有两个相异实数根的概率是_【解析】由方程x22pxq210有两个相异实数根，可得(2p)24(q21)0，即p2q21.当p，qZ时，设点M(p，q)，如图，直线p3，2，1，0，1，2，3和直线q3，2，1，0，1，2，3的交点，即为点M，共有49个，其中在圆上和圆内的点共有5个(图中黑点)当点M(p，q)落在圆p2q21外时，方程x22pxq210有两个相异实数根，所以方程x22pxq210有两个相异实数根的概率P.【答案】角度三与解析几何的交汇 甲、乙两颗质地均匀且形状为正方体的骰子，它的六个面上的点数依次为1，2，3，4，5，6，现将甲、乙两颗骰子先后各抛一次，a，b分别表示掷甲、乙两颗骰子所出现的向上的点数(1)若“点M(a，b)落在直线xy6上的事件”记为A，求事件A的概率；(2)若“点M(a，b)落在圆x2y225内部的事件”记为B，求事件B的概率【解】(1)先后抛掷甲、乙两颗骰子所得的点M(a，b)共有36个，其中落在直线xy6上的点有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，共5个点，所以P(A).(2)同(1)，落在圆x2y225的内部的点共有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，共13个点，所以P(B).求解古典概型与其他知识交汇问题的思路解决古典概型与其他知识交汇问题，其关键是将平面向量、直线与圆、函数的单调性及方程的根的情况转化为概率模型，再按照求古典概型的步骤求解 设a2，4，b1，3，函数f(x)ax2bx1.(1)求f(x)在区间(，1上是减函数的概率；(2)从f(x)中随机抽取两个，求它们在(1，f(1)处的切线互相平行的概率解：(1)由题意1，即ba.而(a，b)共有CC4种，满足ba的有3种，故概率为.(2)由(1)可知，函数f(x)共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法因为函数f(x)在(1，f(1)处的切线的斜率为f(1)ab，所以这两个函数中的a与b之和应该相等，而只有(2，3)，(4，1)这1组满足，故概率为.古典概型概率的应用 将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l1：axby2，l2：x2y2平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点(P1，P2)在圆(xm)2y2的内部，则实数m的取值范围是()A.B.C. D.【解析】对于a与b各有6种情形，故总数为36种两条直线l1：axby2，l2：x2y2平行的情形有a2，b4或a3，b6，故概率为P1，两条直线l1：axby2，l2：x2y2相交的情形除平行与重合(a1，b2)即可，所以P2，因为点(P1，P2)在圆(xm)2y2的内部，所以，解得m，故选D.【答案】D概率问题主要体现必然与或然思想，在生活、生产中有着广泛的应用在高考中常以生产、生活中的决策与判断、求参数的范围等问题呈现，多具有开放性特点 甲、乙两人各拿出200元，用作掷硬币游戏的奖金，两人商定：一局中掷出正面向上则甲胜，否则乙胜，谁先胜三局就得所有奖金比赛开始后，甲胜了两局，乙胜了一局，这时因为意外事件中断游戏，请问怎样分配这400元才合理？解：为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可能：(甲，甲)，(甲，乙)，(乙，甲)，(乙，乙)其中甲获胜有3种情况，而乙获胜只有1种情况，所以甲获胜的概率是，乙获胜的概率是.因此，合理的分法为甲得300元，乙得100元基础题组练1从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A.B.C. D.解析：选D.依题意，记两次取得卡片上的数字依次为a，b，则一共有25个不同的数组(a，b)，其中满足ab的数组共有10个，分别为(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，因此所求的概率为，选D.2高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为()A. B.C. D.解析：选B.五人排队，甲、乙相邻的排法有AA48(种)，若甲、丙相邻，此时甲在乙、丙中间，排法有AA12(种)，故甲、丙相邻的概率为.3袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为()A1 B.C. D.解析：选C.从袋中任取2个球共有C105种，其中恰好1个白球，1个红球共有CC50种，所以恰好1个白球，1个红球的概率为.4(2020台州高三质检)已知集合M1，2，3，4，N(a，b)|aM，bM，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与yx21有交点的概率是()A. B.C. D.解析：选C.易知过点(0，0)与yx21相切的直线为y2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使OA斜率不小于2的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，共4个，由古典概型知概率为.5(2020湖州模拟)已知函数f(x)x3ax2b2x1，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为()A. B.C. D.解析：选D.f(x)x22axb2，要使函数f(x)有两个极值点，则有(2a)24b20，即a2b2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值满足a2b2的有6个基本事件，即(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，所以所求事件的概率为.6一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当ab，bc时称为“凹数”(如213，312等)，若a，b，c1，2，3，4，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是()A. B.C. D.解析：选C.由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，共6个；同理由1，2，4组成的三位自然数共6个；由1，3，4组成的三位自然数也是6个；由2，3，4组成的三位自然数也是6个所以共有666624个当b1时，有214，213，314，412，312，413，共6个“凹数”当b2时，有324，423，共2个“凹数”所以这个三位数为“凹数”的概率P.7(2020杭州学军中学高三质检)甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为_解析：两个箱子各取一个球全是白球的概率P，所以至少有一个红球的概率为1P1.答案：8在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是_解析：记“两人都中奖”为事件A，设中一、二等奖及不中奖分别记为1，2，0，那么甲、乙抽奖结果有(1，2)，(1，0)，(2，1)，(2，0)，(0，1)，(0，2)，共6种其中甲、乙都中奖有(1，2)，(2，1)，2种，所以P(A).答案：9从20名男生、10名女生中任选3名参加体能测试，则选到的3名学生中既有男生又有女生的概率为_解析：选到的学生中有男生1名、女生2名的选法有CC 种，选到的学生中有男生2名、女生1名的选法有CC 种，则选到的3名学生中既有男生又有女生的概率为P.答案：10有100本书，既分为文科、理科2类，又分为精装、平装2种，其中文科书40本，精装书70本，理科的平装书20本，则：(1)任取1本恰是文科精装书的概率是_；(2)先任取1本恰是文科书，放回后再取1本恰是精装书的概率是_解析：(1)基本事件总数为100，其中文科书40本，理科书60本；精装书70本，理科的平装书20本，精装书40本；文科的精装书30本，文科的平装书10本则任取1本恰是文科精装书的概率为0.3.(2)基本事件总数为100100，则所求概率P0.28.答案：(1)0.3(2)0.2811某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率解：(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：A1，A2，A1，A3，A2，A3，A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，B1，B2，B1，B3，B2，B3，共15个所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：A1，A2，A1，A3，A2，A3，共3个则所求事件的概率为P.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有：A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，共9个包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：A1，B2，A1，B3，共2个，则所求事件的概率为P.12在100件产品中，有95件合格品、5件次品，从中任取2件，求：(1)2件都是合格品的概率；(2)2件都是次品的概率；(3)1件是合格品、1件是次品的概率解：从100件产品中任取2件可能出现的结果数就是从100个元素中任取2个元素的组合数C，由于任意抽取，这些结果出现的可能性相等，则C4 950为基本事件总数(1)100件产品中有95件合格品，取到2件合格品的结果数就是从95个元素中任取2个的组合数C，记“任取2件都是合格品”为事件A1，那么P(A1).(2)由于在100件产品中有5件次品，取到2件次品的结果数为C，记“任取2件都是次品”为事件A2，那么事件A2的概率P(A2).(3)记“任取2件，1件是次品，1件是合格品”为事件A3，而取到1件合格品、1件次品的结果有CC种，则事件A3的概率P(A3).综合题组练1从1到10这十个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另两个数之和的概率是()A. B.C. D.解析：选A.不妨设取出的三个数为x，y，z(xyf(2a)0的概率为()A. B.C. D.解析：选B.因为a，2，4，5，8，9，所以3a22a，又f(3a2)f(2a)0，所以函数f(x)为单调递增函数因为f(x)logax3loga2loga，所以a1，又f(2a)0，所以loga0，所以1，即a4，则f(3a2)f(2a)0的概率P.故选B.3某同学同时掷两颗骰子，得到的点数分别为a，b，则双曲线1的离心率e的概率是_解析：由e，得b2a.当a1时，b3，4，5，6四种情况；当a2时，b5，6两种情况，总共有6种情况又同时掷两颗骰子，得到的点数(a，b)共有36种结果所以所求事件的概率P.答案：4连续抛掷同一颗均匀的骰子，记第i次得到的向上一面的点数为ai，若存在正整数k，使a1a2ak6，则称k为幸运数字，则幸运数字为3的概率是_解析：连续抛掷同一颗均匀的骰子3次，所含基本事件总数n666，要使a1a2a36，则a1，a2，a3可取1，2，3或1，1，4或2，2，2三种情况，其所含的基本事件个数mAC110.故幸运数字为3的概率为P.答案：5已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A，B两组，每组4支，求：(1)A，B两组中有一组恰好有2支弱队的概率；(2)A组中至少有2支弱队的概率解：(1)法一：3支弱队在同一组中的概率为2，故有一组恰好有2支弱队的概率为1.法二：A组恰有2支弱队的概率为，B组恰好有2支弱队的概率为，所以有一组恰好有2支弱队的概率为.(2)法一：A组中至少有2支弱队的概率为.法二：A，B两组有一组中至少有2支弱队的概率为1(因为此事件为必然事件)由于对A组和B组而言，至少有2支弱队的概率是相同的，所以A组中至少有2支弱队的概率为.6在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率解：(1)记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件EA，那么P(EA)，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是.(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E，那么P(E)，所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P()1P(E).(3)有两人同时参加A岗位服务的概率P2，所以仅有一人参加A岗位服务的概率P11P2.14