（江苏专版）2019版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 专题探究课二学案 理

第五章 平面向量 专题探究课二高考导航从近几年的高考试题看，试卷交替考查三角函数、解三角形、向量与三角综合以及三角应用题.该部分解答题是高考得分的基本组成部分，不能掉以轻心.该部分的解答题考查的热点题型有：一考查三角函数的恒等变形以及单调性、最值等；二考查解三角形问题；三是考查三角函数、解三角形与平面向量的交汇性问题；四是考查三角应用题.在解题过程中抓住平面向量作为解决问题的工具，要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性，注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化.热点一三角函数的恒等变形和性质注意对基本三角函数ysin x，ycos x的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数恒等变形转化为yAsin(x)的形式，然后利用整体代换的方法求解.【1】 (2018苏、锡、常、镇、宿迁五市调研)已知函数f(x)sinsin.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当x时，试求函数f(x)的最值，并写出取得最值时自变量x的值.解(1)由题意知f(x)sincos2sin，所以f(x)的最小正周期为T.当2k2x2k(kZ)时，f(x)单调递增，解得x(kZ)，所以f(x)的单调递增区间为(kZ).(2)因为x，所以2x，当2x，即x时，f(x)取得最大值2；当2x，即x时，f(x)取得最小值.探究提高此类题目的答题模板为：第一步：三角函数式的恒等变形，一般化成yAsin(x)h或yAcos(x)h的形式；第二步：由T求最小正周期；第三步：确定f(x)的单调性；第四步：确定各单调区间端点处的函数值；第五步：明确规范地表达结论.【训练1】 (2018江苏大联考)已知函数f(x)sin 2x2cos2x.(1)，求f()的取值范围；(2)若tan 2，求f()的值.解(1)f(x)sin 2x2cos2xsin 2xcos 2x12sin1，所以f()2sin1.因为，所以2，所以sin，故f()的取值范围是2，1.(2)由题可得f()sin 22cos2，因为tan 2，所以f().热点二解三角形与三角函数结合高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主.其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理在知识的交汇处命题.【例2】 (2018苏州测试)已知函数f(x)cos2xsin xcos x(0)的周期为.(1)当x时，求函数f(x)的值域；(2)已知ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若f，且a4，bc5，求ABC的面积.解(1)f(x)(1cos 2x)sin 2xsin.因为f(x)的周期为，且0，所以，解得1.所以f(x)sin.又0x，得2x，sin1，0sin1，即函数yf(x)在x上的值域为.(2)因为f，所以sin.由A(0，)，知Ab，ac(，2.即ac的取值范围是(，2.热点四三角函数应用题三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题.【例4】 如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，且60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动角到OB，设B点与地面间的距离为h.(1)求h与间关系的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过t s后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？解(1)以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.则以Ox为始边，OB为终边的角，故点B的坐标为，h5.64.8sin(0，).(2)点A在圆上转动的角速度是 rad/s，故t s转过的弧度数为t，h5.64.8sin，t0，).到达最高点时，h10.4 m.由sin1，得t，t30 s，答：缆车到达最高点时，用的最少时间为30 s.探究提高三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决.步骤可记为：审读题意建立三角函数式根据题意求出某点的三角函数值解决实际问题.这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式.【训练4】 一半径为4 m的水轮(如图)，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时.(1)将点P距离水面的高度h(m)表示为时间t(s)的函数；(2)在水轮转动的一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过4 m.解(1)建立如图所示的平面直角坐标系.依题意，如图|，易知OP在t s内所转过的角为 tt，故角t是以Ox为始边，OP与终边的角，故P点的纵坐标为4sin，故所求函数关系式为h4sin2(t0)；(2)令4sin24，即sin，2kt2k，kZ.2.515kt7.515k，kZ，时间为(7.515k)(2.515k)5.答：在水轮转动的一圈内，有5 s的时间点P距水面的高度超过4 m.一、必做题1.(2018苏北四市模拟)已知向量a(cos ，sin )，向量b(，1)，则|2ab|的最大值与最小值的和为_.解析由题意可得abcos sin 2cos，则|2ab|0，4，所以|2ab|的最大值与最小值的和为4.答案42.(2018苏州调研)已知m(cos ，sin )，n(2，1)，若mn1，则sin_.解析因为mn2cos sin 1，所以sin 12cos ，代入sin2cos21中，整理得5cos24cos 0，解得cos 或cos 0(舍去)，故sincos 212cos2.答案3.(2018南京、盐城模拟)设a(cos ，sin )，b(cos ，sin )是平面上两个向量，若ab，且tan ，则tan _.解析由abcos cos sin sin cos()，且00)在区间(1，0)上有且仅有一条平行于y轴的对称轴，则的最大值是_.解析令xk(kZ)，则得x(kZ)，当k1时，得y轴左侧第1条对称轴为；当k2时，得y轴左侧第2条对称轴为，因此10且1，解得b，求tan的值.(1)证明因为acos Abcos B，所以sin Acos Asin BcosB，所以mn.(2)解因为mn，所以cos Acos Bsin Asin B0，即cos(AB)0，因为ab，所以AB，又A，B(0，)，所以AB(0，)，则AB，所以tan tan1.二、选做题11.(2015江苏卷)设向量ak(k0，1，2，12)，则 (akak1)的值为_.解析akak1coscos cos cos cos sin cos cos sin cos2 cos sin sinsin sin cos .因为sin ，cos 的周期皆为6，一个周期的和皆为零，因此 (akak1)129.答案912.如图，某大风车的半径为2 m，每12 s旋转一周，它的最低点O离地面0.5 m.风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m).(1)求函数hf(t)的关系式；(2)画出函数hf(t)(0t12)的大致图象.解(1)如图，以O为原点，过点O的圆的切线为x轴，建立直角坐标系.设点A的坐标为(x，y)，则hy0.5.设OO1A，则cos ，y2cos 2.又t，即t，所以y2cost2，hf(t)2cost2.5(t0).(2)函数h2cost2.5(0t12)的大致图象如下.14