2022高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.5 抛物线及其性质练习 文

2022高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.5 抛物线及其性质练习 文考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.抛物线的定义及其标准方程1.了解抛物线的定义,并会用定义进行解题2.掌握求抛物线标准方程的基本步骤(定型、定位、定量)和基本方法(定义法和待定系数法)2017课标全国,12;2017山东,15;2016四川,3;2014课标,10;2013江西,9选择题、填空题、解答题2.抛物线的几何性质1.知道抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)2.能用其性质解决有关的抛物线问题,了解抛物线的一些实际应用2017天津,12;2016课标全国,5;2015四川,10选择题、填空题、解答题3.直线与抛物线的位置关系1.会用代数法和数形结合法判断直线与抛物线的位置关系2.根据所学知识熟练解决直线与抛物线位置关系的综合问题2017课标全国,20;2016课标全国,20;2016课标全国,20选择题、填空题、解答题分析解读从近几年的高考试题来看,抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系等一直是高考命题的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题;客观题突出“小而巧”的特点,主要考查抛物线的定义、标准方程,主观题考查得较为全面,除考查定义、性质之外,还考查直线与抛物线的位置关系,考查基本运算能力、逻辑思维能力和综合分析问题的能力,着力于数学思想方法及数学语言的考查.五年高考考点一抛物线的定义及其标准方程1.(2016四川,3,5分)抛物线y2=4x的焦点坐标是()A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)答案D2.(2014课标,10,5分)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0=()A.1B.2C.4D.8答案A3.(2013江西,9,5分)已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|MN|=()A.2B.12C.1D.13答案C4.(2017山东,15,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a0,b0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.答案y=x5.(2014福建,21,12分)已知曲线上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=-3的距离小2.(1)求曲线的方程;(2)曲线在点P处的切线l与x轴交于点A,直线y=3分别与直线l及y轴交于点M,N.以MN为直径作圆C,过点A作圆C的切线,切点为B.试探究:当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度是否发生变化?证明你的结论.解析(1)解法一:设S(x,y)为曲线上任意一点,依题意,得点S到F(0,1)的距离与它到直线y=-1的距离相等,所以曲线是以点F(0,1)为焦点、直线y=-1为准线的抛物线,所以曲线的方程为x2=4y.解法二:设S(x,y)为曲线上任意一点,则|y-(-3)|-=2,依题意,知点S(x,y)只能在直线y=-3的上方,所以y-3,所以=y+1,化简得,曲线的方程为x2=4y.(2)当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度不变.证明如下:由(1)知抛物线的方程为y=x2,设P(x0,y0)(x00),则y0=,由y=x,得切线l的斜率k=y=x0,所以切线l的方程为y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-.由得A.由得M.又N(0,3),所以圆心C,半径r=|MN|=,|AB|=.所以点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度不变.教师用书专用(67)6.(2013四川,5,5分)抛物线y2=8x的焦点到直线x-y=0的距离是()A.2B.2C.D.1答案D7.(2013课标全国,8,5分)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则POF的面积为()A.2B.2C.2D.4答案C考点二抛物线的几何性质1.(2016课标全国,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k0)与C交于点P,PFx轴,则k=()A.B.1C.D.2答案D2.(2015陕西,3,5分)已知抛物线y2=2px(p0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为()A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)答案B3.(2014安徽,3,5分)抛物线y=x2的准线方程是()A.y=-1B.y=-2C.x=-1D.x=-2答案A4.(2014辽宁,8,5分)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为()A.-B.-1C.-D.-答案C5.(2017天津,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若FAC=120,则圆的方程为.答案(x+1)2+(y-)2=16.(2013福建,20,12分)如图,抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,|CO|为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.(1)若点C的纵坐标为2,求|MN|;(2)若|AF|2=|AM|AN|,求圆C的半径.解析(1)抛物线y2=4x的准线l的方程为x=-1.由点C的纵坐标为2,得点C的坐标为(1,2),所以点C到准线l的距离d=2,又|CO|=,所以|MN|=2=2=2.(2)设C,则圆C的方程为+(y-y0)2=+,即x2-x+y2-2y0y=0.由x=-1,得y2-2y0y+1+=0,设M(-1,y1),N(-1,y2),则由|AF|2=|AM|AN|,得|y1y2|=4,所以+1=4,解得y0=,此时0.所以圆心C的坐标为或,从而|CO|2=,|CO|=,即圆C的半径为.教师用书专用(79)7.(2013课标全国,10,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()A.y=x-1或y=-x+1B.y=(x-1)或y=-(x-1)C.y=(x-1)或y=-(x-1)D.y=(x-1)或y=-(x-1)答案C8.(2014上海,4,4分)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为.答案x=-29.(2013北京,9,5分)若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0),则p=;准线方程为.答案2;x=-1考点三直线与抛物线的位置关系1.(2014课标,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,则|AB|=()A.B.6C.12D.7答案C2.(2014湖南,14,5分)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是.答案(-,-1)(1,+)3.(2016课标全国,20,12分)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.(1)求;(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.解析(1)由已知得M(0,t),P.(1分)又N为M关于点P的对称点,故N,ON的方程为y=x,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=.因此H.(4分)所以N为OH的中点,即=2.(6分)(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.(7分)理由如下:直线MH的方程为y-t=x,即x=(y-t).(9分)代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.(12分)4.(2016课标全国,20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明ARFQ;(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.解析由题设知F.设l1:y=a,l2:y=b,易知ab0,且A,B,P,Q,R.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分)(1)由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=-b=k2.所以ARFQ.(5分)(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则SABF=|b-a|FD|=|b-a|,SPQF=.由题设可得2|b-a|=,所以x1=0(舍去)或x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得=(x1).而=y,所以y2=x-1(x1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.(12分)5.(2015浙江,19,15分)如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.解析(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t),由消去y,整理得x2-4kx+4kt=0,由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称,故解得因此,点B的坐标为.(2)由(1)知|AP|=t,和直线PA的方程tx-y-t2=0.点B到直线PA的距离是d=,设PAB的面积为S(t),所以S(t)=|AP|d=.教师用书专用(69)6.(2015四川,10,5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)答案D7.(2014湖北,22,14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.解析(1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即=|x|+1,化简整理得y2=2(|x|+x).故点M的轨迹C的方程为y2=(2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x0),依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).由方程组可得ky2-4y+4(2k+1)=0.(i)当k=0时,y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=.故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点.(ii)当k0时,方程的判别式为=-16(2k2+k-1).设直线l与x轴的交点为(x0,0),则由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-.若由解得k,即当k(-,-1)时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.若或由解得k或-k0,即当k时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点.当k时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点.故当k时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.若由解得-1k-或0k0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,所以AB中点M的坐标为(2k,2k2+m).由=3,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1),所以由=4y0得k2=-m+.由0,k20,得-f,所以当m=时, f(m)取到最大值,此时k=.所以ABP面积的最大值为.9.(2013辽宁,20,12分)如图,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p0).点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O).当x0=1-时,切线MA的斜率为-.(1)求p的值;(2)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).解析(1)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y=,且切线MA的斜率为-,所以A点坐标为,故切线MA的方程为y=-(x+1)+.因为点M(1-,y0)在切线MA及抛物线C2上,所以y0=-(2-)+=-,y0=-=-,由得p=2.(6分)(2)设N(x,y),A,B,x1x2,由N为线段AB中点知x=,y=.切线MA的方程为y=(x-x1)+,切线MB的方程为y=(x-x2)+.由得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为x0=,y0=.因为点M(x0,y0)在C2上,即=-4y0,所以x1x2=-.由得x2=y,x0.当x1=x2时,A,B重合于原点O,AB中点N为O,坐标满足x2=y.因此AB中点N的轨迹方程为x2=y.(12分)三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点一抛物线的定义及其标准方程1.(2018河南顶级名校12月联考,7)已知直线l过抛物线y2=-2px(p0)的焦点,且与抛物线交于A、B两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y轴的距离是2,则此抛物线的方程是()A.y2=-12xB.y2=-8xC.y2=-6xD.y2=-4x答案B2.(2018湖北荆州中学11月月考,9)已知抛物线y2=2px(p0),点C(-4,0),过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线,与抛物线交于A,B两点,若CAB的面积为24,则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是()A.y2=4xB.y2=-4xC.y2=8xD.y2=-8x答案D3.(2016广东惠州第一次调研,11)过抛物线y2=4x的焦点F作直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|AB|=()A.6B.8C.9D.10答案B4.(2018四川成都七中12月模拟,13)抛物线y2=ax(a0)上的点P到焦点F的距离为2,则a=.答案25.(2017四川巴蜀联考,14)若抛物线y2=2px(p0)上的点A(x0,)到其焦点的距离是点A到y轴距离的3倍,则p=.答案2考点二抛物线的几何性质6.(2017广东中山一调,5)已知抛物线x2=2py(p0)的准线与椭圆+=1相切,则p的值为()A.4B.3C.2D.1答案A7.(2018河北唐山五校联考,15)过抛物线y2=2px(p0)的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若|AF|=2|BF|=6,则p=.答案48.(2017山西五校联考,13)抛物线x2=-10y的焦点在直线2mx+my+1=0上,则m=.答案9.(2016江西九校联考,15)抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,其准线与双曲线y2-x2=1相交于A,B两点,若ABF为等边三角形,则p=.答案2考点三直线与抛物线的位置关系10.(2018山西长治二中等五校12月联考,15)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,过点F且倾斜角为60的直线交C于A,B两点,AMl,BNl,M,N为垂足,点Q为MN的中点,|QF|=2,则p=.答案11.(2017河南安阳调研考试,14)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过F作一条直线交抛物线于A,B两点,若|AF|=3,则|BF|=.答案12.(2017安徽黄山二模,14)已知抛物线C:y2=8x,焦点为F,点P(0,4),点A在抛物线上,当点A到抛物线准线l的距离与点A到点P的距离之和最小时,延长AF交抛物线于点B,则AOB的面积为.答案413.(2016河北武邑中学3月模拟,14)已知直线l:y=kx+t与圆:x2+(y+1)2=1相切,且与抛物线C:x2=4y交于不同的两点M,N,则实数t的取值范围是.答案t0或t0,b0)的离心率为3,若抛物线C2:x2=2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为()A.x2=yB.x2=4y C.x2=12yD.x2=24y答案D4.(2017广东汕头一模,8)过抛物线C:x2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点,若抛物线C在点B处的切线斜率为1,则|AF|=()A.1B.2C.3D.4答案A5.(2017河南百校联盟联考,8)已知抛物线C:y2=4x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为54,且|AF|2,则A点到原点的距离为()A.3B.4C.4D.4答案B6.(2017江西新余、宜春联考,11)抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,且满足AFB=,设线段AB的中点M在l上的投影为N,则的最大值是()A.B.C.D.答案C7.(2016安徽六校第一次联考,11)过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线l与抛物线交于B、C两点,l与抛物线的准线交于点A,且|AF|=6,=2,则|BC|=()A.8B.C.6D.答案D二、解答题(共15分)8.(2018广东惠州调研,20)已知圆x2+y2=12与抛物线x2=2py(p0)相交于A,B两点,点B的横坐标为2,F为抛物线的焦点.(1)求抛物线的方程;(2)若过点F且斜率为1的直线l与抛物线和圆交于四个不同的点,从左至右依次为P1,P2,P3,P4,求|P1P2|-|P3P4|的值.解析(1)设B(2,y0),由题意得解之得所以抛物线的方程为x2=4y.(2)设点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),P4(x4,y4),由题意知P1,P3在圆上,P2,P4在抛物线上.因为直线l过点F且斜率为1,所以直线l的方程为y=x+1.联立得2x2+2x-11=0,所以x1+x3=-1,x1x3=-,所以|P1P3|=.由得x2-4x-4=0,所以x2+x4=4,x2x4=-4.所以|P2P4|=8.由题意易知|P1P2|=|P1P3|-|P2P3|,|P3P4|=|P2P4|-|P2P3|,-得|P1P2|-|P3P4|=|P1P3|-|P2P4|,|P1P2|-|P3P4|=-8.C组20162018年模拟方法题组方法1求抛物线标准方程的方法1.(2018湖南益阳、湘潭9月联考,16)已知圆C1:x2+(y-2)2=4,抛物线C2:y2=2px(p0),C1与C2相交于A,B两点,且|AB|=,则抛物线C2的方程为.答案y2=x方法2利用抛物线的定义解决有关问题的方法2.(2018江西南昌七校联考,10)已知抛物线x2=2y的焦点为F,其上有两点A(x1,y1),B(x2,y2)满足|AF|-|BF|=2,则y1+-y2-=()A.4B.6C.8D.10答案B3.(2016广东汕头金山中学期末,11)已知P是抛物线y2=4x上的一个动点,Q是圆(x-3)2+(y-1)2=1上的一个动点,N(1,0)是一个定点,则|PQ|+|PN|的最小值为()A.3B.4C.5D.+1答案A4.(2017河南天一大联考(三),14)已知抛物线C:y2=2px(p0)上在第四象限内的点M(2,y0)到焦点F的距离为|y0|,则点M到直线x-y-1=0的距离为.答案方法3与直线和抛物线位置关系有关问题的求解方法5.(2017湖南岳阳二模,7)若直线y=2x+与抛物线x2=2py(p0)相交于A,B两点,则|AB|等于()A.5pB.10pC.11pD.12p答案B6.(2016福建厦门双十、南安一中、厦门海沧实验中学联考,16)设抛物线y2=4x的焦点为F,A,B两点在抛物线上,且A,B,F三点共线,过AB的中点M作y轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P,若|PF|=,则M点的横坐标为.答案2