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12.2同角三角函数的基本关系学习目标1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明知识点同角三角函数的基本关系式思考1计算下列式子的值：(1)sin230cos230；(2)sin245cos245；(3)sin290cos290.由此你能得出什么结论？尝试证明它答案3个式子的值均为1.由此可猜想：对于任意角，有sin2cos21，下面用三角函数的定义证明：设角的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则由三角函数的定义，得sin y，cos x.sin2cos2x2y2|OP|21.思考2由三角函数的定义知，tan 与sin 和cos 间具有怎样的等量关系？答案tan (x0)，tan (k，kZ)梳理(1)同角三角函数的基本关系式平方关系：sin2cos21.商数关系：tan .(2)同角三角函数基本关系式的变形sin2cos21的变形公式sin21cos2；cos21sin2.tan 的变形公式sin cos tan ；cos .1sin2cos21.()提示在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin2cos21.2sin2cos21.()提示在sin2cos21中，令可得sin2cos21.3对任意的角，都有tan 成立()提示当k，kZ时就不成立.类型一利用同角三角函数的关系式求值命题角度1已知角的某一三角函数值及所在象限，求角的其余三角函数值例1(1)若sin ，且为第四象限角，则tan 的值为()A. B C. D考点同角三角函数的基本关系式题点同角三角函数的商数关系答案D解析sin ，且为第四象限角，cos ，tan ，故选D.(2)(2017绍兴柯桥区期末)已知0，sin cos ，则tan 的值为()A B C. D.考点同角三角函数的基本关系式题点同角三角函数的商数关系答案B解析sin cos ，等号两边同时平方得12sin cos ，即sin cos ，sin ，cos 是方程x2x0的两根，又0，sin ，cos ，tan .反思与感悟(1)同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin ，cos ，tan 三个值之间，知道其中一个可以求其余两个解题时要注意角的象限，从而判断三角函数值的正负(2)已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin cos )212sin cos 的等价转化，分析解决问题的突破口跟踪训练1已知tan ，且是第三象限角，求sin ，cos 的值考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值解由tan ，得sin cos .又sin2cos21，由得cos2cos21，即cos2.又是第三象限角，cos ，sin cos .命题角度2已知角的某一三角函数值，未给出所在象限，求角的其余三角函数值例2已知cos ，求sin ，tan 的值考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值解cos 0且cos 1，是第一或第四象限角(1)当是第一象限角时，则sin ，tan .(2)当是第四象限角时，则sin ，tan .类型二齐次式求值问题例3已知tan 2，求下列代数式的值(1)；(2)sin2sin cos cos2.考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值解(1)原式.(2)原式.反思与感悟(1)关于sin ，cos 的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos 或cos2转化为关于tan 的式子后再求值(2)假如代数式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1sin2cos2代换后，再同除以cos2，构造出关于tan 的代数式跟踪训练3已知2，计算下列各式的值(1)；(2)sin22sin cos 1.考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值解由2，化简，得sin 3cos ，所以tan 3.(1)原式.(2)原式111.类型三三角函数式的化简与证明例4(1)化简：sin2tan 2sin cos .考点运用基本关系式化简和证明题点运用基本关系式化简解原式sin2cos22sin cos .(2)求证：.考点运用基本关系式化简和证明题点运用基本关系式证明证明右边左边，原等式成立反思与感悟(1)三角函数式的化简技巧化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2cos21，以降低函数次数，达到化简的目的(2)证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：证明一边等于另一边，一般是由繁到简证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)比较法：即证左边右边0或1(右边0)证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立跟踪训练4化简tan ，其中是第二象限角考点运用基本关系式化简和证明题点运用基本关系式化简解因为是第二象限角，所以sin 0，cos 0.故tan tan tan 1.1若sin ，且是第二象限角，则tan 的值为()A B. C D考点同角三角函数的基本关系式题点同角三角函数的商数关系答案A解析为第二象限角，sin ，cos ，tan .2已知sin cos ，则sin cos 等于()A. B C D.考点同角三角函数的基本关系式题点同角三角函数的平方关系答案C解析由题意得(sin cos )2，即sin2cos22sin cos ，又sin2cos21，12sin cos ，sin cos .故选C.3化简 的结果是()Acos BsinCcos Dsin考点同角三角函数的基本关系式题点同角三角函数的平方关系答案C解析，cos0，cos，即cos，故选C.4(2018牌头中学月考)已知tan 2，则等于()A B. C D.考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案B 5求证：.考点运用基本关系式化简和证明题点运用基本关系式证明证明方法一(比较法作差)0，.方法二(比较法作商)1.1利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值2利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值3在三角函数的变换求值中，已知sin cos ，sin cos ，sin cos 中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值4在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法5在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.一、选择题1(2017绍兴期末)设，若sin ，则cos 等于()A. B.C. D.考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案D解析，sin ，则cos .2等于()Asin Bcos Csin Dcos 考点同角三角函数的基本关系式题点同角三角函数的平方关系答案A解析00，sin .3已知2，则sin cos 的值是()A. B C. D考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案C解析由题意得sin cos 2(sin cos )，(sin cos )24(sin cos )2，解得sin cos .4函数y的值域是()A0,2 B2,0C2,0,2 D2,2考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案C解析y.当x为第一象限角时，y2；当x为第三象限角时，y2；当x为第二、四象限角时，y0.5(2017四川成都树德中学期中)已知是第三象限角，且sin4cos4，则sin cos 的值为()A. B C. D考点同角三角函数的基本关系式题点同角三角函数的平方关系答案A解析由sin4cos4，得(sin2cos2)22sin2cos2，sin2cos2，是第三象限角，sin 0，cos 0，sin cos .6若，则 的化简结果为()A. B C. D考点运用基本关系式化简和证明题点运用基本关系式化简答案D解析原式 ，0，则 .考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案解析由cos 0知是第三象限角，且sin ，故原式sin (1sin ).9已知R，sin 2cos ，则tan .考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案3或解析因为sin 2cos ，又sin2cos21，联立解得或故tan 或3.10在ABC中，sin A ，则角A .考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案解析由题意知cos A0，即A为锐角将sin A 两边平方得2sin2A3cos A.2cos2A3cos A20，解得cos A或cos A2(舍去)，A.11若tan 3，则sin cos ，tan2 .考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案7解析tan 3，3，即3，sin cos ，tan222tan 927.12已知sin cos ，则tan .考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值解tan .sin cos ，12sin cos ，sin cos ，8，tan 8.三、解答题13已知，求下列各式的值(1)；(2)14sin cos 2cos2.考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值解由已知，解得tan 2.(1)原式1.(2)原式sin24sin cos 3cos2.四、探究与拓展14若sin cos 1，则sinncosn(nZ)的值为 考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案1解析sin cos 1，(sin cos )21，又sin2cos21，sin cos 0，sin 0或cos 0.当sin 0时，cos 1，此时有sinncosn1；当cos 0时，sin 1，也有sinncosn1，sinncosn1.15已知关于x的方程2x2(1)x2m0的两根为sin 和cos (0，)，求：(1)m的值；(2)的值；(3)方程的两根及此时的值考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值解(1)由根与系数的关系可知，sin cos ，sin cos m.将式平方得12sin cos ，所以sin cos ，代入得m.(2)sin cos .(3)由(1)得m，所以原方程化为2x2(1)x0，解得x1，x2.所以或又因为(0，)，所以或.17
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