（鲁京辽）2018-2019学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.1 构成空间几何体的基本元素学案 新人教B版必修2

1.1.1构成空间几何体的基本元素学习目标1.了解空间中点、线、面、体之间的关系.2.了解轨迹和图形的关系.3.初步了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系知识点一构成几何体的基本元素思考1平面几何研究的主要对象是什么？构成平面图形的基本元素是什么？答案平面图形；点与直线思考2构成几何体的基本元素是什么？答案点、线、面梳理几何体的定义(1)定义：只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体(2)构成空间几何体的基本元素：点、线、面知识点二长方体思考长方体的基本元素有哪些？如何定义？答案6个面，12条棱，8个顶点，长方体是由六个矩形(包括它的内部)围成的梳理长方体的概念(1)基本元素：长方体有12条棱，8个顶点，6个面(2)面：围成长方体的各个矩形(3)棱：相邻两个面的公共边(4)顶点：棱和棱的公共点知识点三平面思考平的镜面是一个平面吗？答案不是，数学中的平面是个抽象的概念，它是无限延展的梳理平面的概念(1)特征：平面是处处平直的面，是无限延展的(2)画法：通常画一个平行四边形表示一个平面(3)命名：用希腊字母，来命名，还可以用表示它的平行四边形的对角顶点的字母来命名知识点四空间中直线、平面的位置关系思考空间中直线与平面、平面与平面的位置关系有哪些？答案直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行平面与平面的位置关系有平面与平面平行、平面与平面相交两种梳理特殊位置关系的几个定义比较位置关系定义图形及符号表示平行线面若直线和平面没有公共点，则说直线和平面平行AB平面面面若两个平面没有公共点，则说这两个平面平行平面平面垂直线面若一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则说直线与平面垂直l平面面面若两个平面相交，并且其中一个平面通过另一个平面的一条垂线，则说这两个平面互相垂直平面平面距离点面点到平面的垂线段的长度，称作点到平面的距离两平面夹在两平行平面间垂线段的长度称作两平面间的距离18个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚()2空间不同三点确定一个平面()3一条直线和一个点确定一个平面()类型一几何体的基本元素例1试指出下图中各几何体的基本元素解(1)中几何体有6个顶点，12条棱和8个面(2)中几何体有12个顶点，18条棱和8个面(3)中几何体有6个顶点，10条棱和6个面(4)中几何体有2条曲线，3个面(2个平面和1个曲面)反思与感悟点是最基本的元素，只有位置，没有大小；直线没有粗细，向两方无限延伸；平面没有厚度，向周围无限延展要熟记这三种基本元素的特点在现实生活中要多观察几何体，以便加深对构成空间几何体的基本元素的认识跟踪训练1如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，下列说法正确的有_(填序号)长方体的顶点一共有8个；线段AA1所在的直线是长方体的一条棱；矩形ABCD所在的平面是长方体的一个面；长方体由六个平面围成答案类型二空间中点、线、面的位置关系的判定例2如图所示，在长方体ABCDABCD中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中：(1)与直线BC平行的平面有哪几个？(2)与直线BC垂直的平面有哪几个？(3)与平面BC平行的平面有哪几个？(4)与平面BC垂直的平面有哪几个？(5)平面AC与平面AC间的距离可以用哪些线段来表示？解(1)有平面ADDA与平面ABCD.(2)有平面ABBA、平面CDDC.(3)有平面ADDA.(4)有平面ABBA、平面CDDC、平面ABCD与平面ABCD.(5)可用线段AA，BB，CC，DD来表示反思与感悟(1)解决此类问题的关键在于识图，根据图形识别直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直(2)长方体和正方体是立体几何中的重要几何体，对其认识有助于进一步认识立体几何中的点、线、面的基本关系跟踪训练2下列关于长方体ABCDA1B1C1D1中点、线、面位置关系的说法正确的是_(填序号)直线AA1与直线BB1平行；直线AA1与平面C1D1DC相交；直线AA1与平面ABCD垂直；点A1与点B1到平面ABCD的距离相等答案解析正确，由于AA1与BB1是矩形ABB1A1的一组对边，所以AA1BB1；不正确，由于直线AA1与平面C1D1DC没有交点，所以AA1平面C1D1DC；正确，由于直线AA1与平面ABCD内的两条相交直线AB，AD垂直，所以AA1平面ABCD；正确，点A1到平面ABCD的距离为AA1，点B1到平面ABCD的距离为BB1，又AA1BB1，因此距离相等类型三几何体的表面展开图例3把如图所示的几何体沿线段AA及与上、下底相关的棱剪开，然后放在平面上展开，试画出这些图形解画出的相应图形如图所示反思与感悟多面体表面展开图问题的解题策略(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型在解题过程中，给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图(2)已知展开图：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图跟踪训练3一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，ABC_.答案60解析将平面图形翻折，折成空间图形，如图由图可知ABBCAC，所以ABC为等边三角形所以ABC60.1有以下结论：平面是处处平的面；平面是无限延展的；平面的形状是平行四边形；一个平面的厚度可以是0.001 cm.其中正确的个数为()A1 B2 C3 D4考点平面的概念、面法及表示题点平面概念的应用答案B解析平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，两种说法是正确的；两种说法是错误的故选B.2下列结论正确的个数有()曲面上可以存在直线；平面上可存在曲线；曲线运动的轨迹可形成平面；直线运动的轨迹可形成曲面；曲面上不能画出直线A3 B4 C5 D2答案B解析由空间中构成几何体的基本元素可判断均正确，而曲面上可以画出直线，所以错误，故选B.3下列说法正确的是()A在空间中，一个点运动成直线B在空间中，直线平行移动形成平面C在空间中，直线绕该直线上的定点转动形成平面或锥面D在空间中，矩形上各点沿同一方向移动形成长方体答案C解析一个点运动也可以成曲线，故A错；在空间中，直线平行移动可以形成平面或曲面，故B错；在空间中，矩形上各点沿铅垂线向上(或向下)移动相同距离所形成的几何体是长方体，故D错4.在长方体ABCDA1B1C1D1中(如图所示)，和棱A1B1不相交的棱有_条答案7解析在长方体中一共有12条棱，除去与A1B1相交的与其本身，还剩7条5如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标有A，B，C，D，E，F这六个字母之一，现放置成如图三种不同的位置，则字母A，B，C对面的字母分别为_答案E，D，F解析第一个正方体已知A，C，D，第二个正方体已知B，C，E，第三个正方体已知A，B，C，且不同的面上写的字母各不相同，则可知，A对面标的是E，B对面标的是D，C对面标的是F.1点、线、面是构成几何体的基本元素2平面是无限延展的，通常画一个平行四边形表示一个平面3平面的记法(1)平面一般用希腊字母、来命名；(2)平面图形顶点法4认识空间中的点、直线和平面之间的位置关系，我们可以动手制作一些模型或画出图形，来帮助我们理解和提高空间想象能力一、选择题1下列不属于构成空间几何体的基本元素的是()A点 B线段C曲面 D多边形(不包括内部的点)答案D解析空间中的几何体是由点、线、面构成的，而线有直线和曲线之分，面有平面和曲面之分，只有多边形(不包括内部的点)不属于构成几何体的基本元素2下列说法正确的是()A水平放置的平面是大小确定的平行四边形B平面ABCD即平行四边形ABCD的四条边围起来的部分C一条直线和一个平面一定会有公共点D平面是光滑的，可向四周无限延展答案D解析平面可以用平行四边形来表示，但平行四边形只是平面的一部分，不能理解为平面，A错；平面是一个抽象的概念，是无限延展的，没有大小、厚薄之分，B错；直线和平面可以没有公共点，此时直线和平面平行，C错故选D.3下列关于长方体的叙述中不正确的是()A将一个矩形沿竖直方向平移一段距离一定能形成一个长方体B长方体中相对的面互相平行C长方体某一底面上的高就是这一面与其所对面的距离D两相对面之间的棱互相平行且等长答案A解析A选项中，若矩形斜放，则不会形成长方体，故选A.4下列四个长方体中，由图中的纸板折成的是()答案A解析根据题图中纸板的折叠情况及特殊面的阴影部分可以判断B，C，D不正确，故选A.5.某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为()答案A解析两个不能并列相邻，B、D错误；两个不能并列相邻，C错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定6两个平面可以将空间分成()A3部分 B4部分C2或4部分 D3或4部分答案D解析当两平面平行时，将空间分成3部分；当两平面相交时，将空间分成4部分，故选D.二、填空题7下列说法：任何一个几何体都必须有顶点、棱和面；一个几何体可以没有顶点；一个几何体可以没有棱；一个几何体可以没有面其中正确的是_(填序号)答案解析球只有一个曲面围成，故错，对，由于几何体是空间图形，故一定有面，错8.在如图所示的长方体ABCDABCD中，互相平行的平面共有_对，与AA垂直的平面是_答案3平面ABCD，平面ABCD解析平面ABCD与平面ABCD平行，平面ABBA与平面CDDC平行，平面ADDA与平面BCCB平行，共3对与AA垂直的是平面ABCD，平面ABCD.9线段AB的长为5 cm，在水平面上向右移动4 cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3 cm后记为CD，再将CD沿水平方向向左移动4 cm后记为AB，依次连接构成长方体ABCDABCD.(1)该长方体的高为_ cm.(2)平面ABBA与平面CDDC间的距离为_ cm.(3)点A到平面BCCB的距离为_ cm.答案(1)3(2)4(3)5解析如图，(1)该长方体的高为3 cm.(2)平面ABBA与平面CDDC间的距离为4 cm.(3)A到平面BCCB的距离为5 cm.10一个正方体去掉一个“角”后减少了一个顶点，这个几何图形是_(填序号)答案解析正方体共有8个顶点，去掉一个“角”后减少了一个顶点即有7个顶点11如图是一个正方体的表面展开图，A，B，C均为所在棱的中点，D为正方体的顶点若正方体的棱长为2，则封闭折线ABCDA的长为_答案2解析如图，ABBCCDDA2，即折线ABCDA的长为2.ABBCCDDA2.三、解答题12如图所示，指出几何体的点、线、面解其中的点有A，B，C，D，M，N.其中的线有AB，BC，CD，DA，MA，MB，MC，MD，NA，NB，NC，ND.其中的平面有平面MAD，平面MAB，平面MBC，平面MDC，平面NAB，平面NAD，平面NDC，平面NBC.13如图所示是一个正方体表面的展开图，图中四条线段AB，CD，EF和GH在原正方体中的位置关系是什么？解选择一个面为底面，将图形向上折成正方体，如图，点G与点C重合，点F与点B重合，则线段AB与EF相交，线段HG与CD相交，线段EF与CD平行四、探究与拓展14如图，模块均由4个棱长为1的小正方体构成，模块由15个棱长为1的小正方体构成现从模块中选出三个放到模块上，使得模块成为一个棱长为3的大正方体，则下列选择方案中，能够完成任务的为()A模块， B模块，C模块， D模块，答案A解析先将放入中的空缺部分，然后在上层放入，可得正方体，而可验证其余不合题意故选A.15如图是边长为1 m的正方体，有一蜘蛛潜伏在A处，B处有一小虫被蜘蛛网粘住，请制作出模型，将正方体剪开，描述蜘蛛爬行的最短路线解通过正方体的展开图(如图所示)，可以发现，AB间的最短距离为A，B两点间的线段的长，为(m)由展开图可以发现，C点为其中一条棱的中点爬行的最短路线如图(1)(6)所示12