2022年高考数学大一轮复习 第八章 第48课 基本不等式及其应用（二）要点导学

2022年高考数学大一轮复习 第八章 第48课 基本不等式及其应用（二）要点导学基本不等式在方程与函数中的应用(xx成都模拟)已知二次函数f(x)=ax2-4x+c(xR)的值域为0,+),那么+的最小值为.答案3解析由题意得a0,且=16-4ac=0ac=4,所以+2=3.(xx湖北模拟)已知不等式xyax2+2y2对于任意的x1,2,y2,3恒成立,那么实数a的取值范围是.答案-1,+)解析由题意知a=-2,对x1,2,y2,3恒成立,令t=,则at-2t2,易知t1,3,所以t-2t2-15,-1,故a-1.基本不等式在数列、三角函数等问题中的应用已知正项等比数列an满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an,使得=4a1,则+的最小值为.思维引导首先根据条件找出m,n的关系式,再利用基本不等式求出+的最小值.答案解析设正项等比数列an的公比为q,由a7=a6+2a5,得q2-q-2=0,解得q=2.由=4a1,得2m+n-2=24,即m+n=6.故+=(m+n)=+（+）+=,当且仅当n=2m时等号成立.精要点评将m+n=6表示为(m+n)=1,利用“1”的变换是解决问题的关键.(xx江苏卷)若ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC,则cosC的最小值是.答案解析由已知sinA+sinB=2sinC及正弦定理可得a+b=2c,cosC=,当且仅当3a2=2b2即=时等号成立.基本不等式在解析几何中的应用(xx扬州中学模拟)如图,已知椭圆C:+y2=1的上、下顶点分别为A,B,点P在椭圆上,且异于点A,B,直线AP,BP与直线l:y=-2分别交于点M,N.(例3)(1) 设直线AP,BP的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值;(2) 求线段MN的长的最小值.解答(1) 因为A(0,1),B(0,-1),令P(x0,y0),则由题设可知x00,所以直线AP的斜率k1=,PB的斜率k2=.又点P在椭圆上,所以+=1(x00),从而有k1k2=-,为定值.(2) 由题设可以得到直线AP的方程为y-1=k1(x-0),直线BP的方程为y-(-1)=k2(x-0),由由所以直线AP与直线l的交点N,直线BP与直线l的交点M.又k1k2=-,所以MN=+4|k1|2=4,当且仅当=4|k1|,即k1=时取等号,故线段MN长的最小值是4.基本不等式在实际问题中的应用(xx湖北卷)某项研究表明,在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:m)的值有关,其公式为 F=.(1) 如果不限定车型,l=6.05,那么最大车流量为辆/小时;(2) 如果限定车型,l=5,那么最大车流量比(1)中的最大车流量增加辆/小时.答案(1) 1900(2) 100解析(1) 当l=6.05时,则F=1 900,当且仅当v=,即v=11(米/秒)时取等号.(2) 当l=5时,则F=2 000,当且仅当v=,即v=10(米/秒)时取等号,此时最大车流量比(1)中的最大车流量增加100辆/小时.精要点评准确构建数学模型是解题的关键.本题根据所得函数的特征要结合基本不等式解决.(xx如皋中学模拟)扬州某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边成角为60(如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为9 m2,且高度不低于m.记防洪堤横断面的腰长为x(m),外周长(梯形的上底BC与两腰长的和)为y(m).(变式)(1) 求y关于x的函数关系式,并指出其定义域;(2) 要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5m,则其腰长x应在什么范围内?(3) 当防洪堤的腰长x为多少米时,堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最小)?求此时外周长的值.解答(1) 由题意得9=(AD+BC)h,其中AD=BC+2=BC+x,h=x,所以9=(2BC+x)x,得BC=-.由得2x0). (7分)(2) 由均值不等式得y=x+1.52+1.5=21.5(万元). (11分)当且仅当x=,即x=10时取等号. (13分)答:该企业10年后需要重新更换新设备.(14分)1. 函数y=x+的值域是.答案(-,-4 4 ,+)解析当x0时,x+4 (当且仅当x=2 时取等号);当x0,而(-x)+-4 (当且仅当x=-2 时取等号),所以x+-4 .则函数y的值域为y|y-4 或y4 .2. 若x(0,),则y=sin x+的最小值是.答案5解析注意利用基本不等式解决问题时取“=”的条件.函数y在x=时取到最小值.3. (xx邛崃月考)若a0,b0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值为.答案9解析f(x)=12x2-2ax-2b,因为函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,所以f(1)=0,即12-2a-2b=0,a+b=6,所以ab=9,当且仅当a=b时取等号.4. 在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是.(第4题)答案10,30解析如图所示,ADEABC,设矩形的另一边长为y,则=,所以y=40-x.又xy300,所以x(40-x)300,即x2-40x+3000,解得10x30.(第4题)温馨提醒趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习(第95-96页).