（江苏专版）2019版高考数学大一轮复习 第六章 数列 第32讲 数列的概念学案 理

第32讲数列的概念考试要求1.数列的概念及数列与函数的关系(A级要求)；2.数列的几种简单表示方法(列表、图象、通项公式)(A级要求).诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)所有数列的第n项都能使用公式表达.()(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.()(3)1，1，1，1，不能构成一个数列.()(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.()(5)如果数列an的前n项和为Sn，则对nN*，都有an1Sn1Sn.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(教材改编)数列1，2，中的第26项为_.解析a11，a22，a3，a4，a5，an，a262.答案23.(必修5P34习题7改编)下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为_.解析由图可知前4个图中着色三角形的个数分别为1，3，32，33，猜想第n个图的着色三角形的个数为3n1，所以这个数列的通项公式为an3n1.答案an3n14.(教材改编)已知数列an中，a1，an11(n2)，则a16_.解析由题意知a211，a312，a41，此数列是以3为周期的周期数列，a16a351a1.答案5.已知数列an的前n项和Snn21，则an_.解析当n1时，a1S12，当n2时，anSnSn1n21(n1)212n1，故an答案知 识 梳 理1.数列的定义按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.2.数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an1an其中nN*递减数列an1an常数列an1an摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.4.数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.5.若数列an的前n项和为Sn，通项公式为an，则an6.在数列an中，若an最大，则若an最小，则这是求数列an中最大(小)项的一种重要方法.7.数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列.考点一数列的通项【例1】 (1)(2018南京模拟)数列1，3，6，10，的通项公式是_.(2)数列an的前4项是，1，则这个数列的通项公式是an_.(3)根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.1，7，13，19，；1，0，0，0，；0.9，0.99，0.999，0.999 9，.解析(1)观察数列1，3，6，10，可以发现11，312，6123，101234，第n项为1234n.an.(2)数列an的前4项可变形为，故an.答案(1)an(2)(3)解数列中各项的符号可通过(1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为an(1)n(6n5).分母依次为1，2，3，4，5，6，7，分子依次为1，0，1，0，1，0，1，把数列改写成，因此数列的一个通项公式为an.数列可改写成1，1，1，1，可得该数列的一个通项公式为an1.规律方法由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；对于符号交替出现的情况，可用(1)k或(1)k1，kN*处理.【训练1】 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式. (1)0.8，0.88，0.888，；(2)，.(3)，解(1)数列变为，故an.(2)各项的分母分别为21，22，23，24，易看出第2，3，4项的绝对值的分子分别比分母小3.因此把第1项变为，原数列化为，故an(1)n.(3)首先考查数列各项的绝对值，分子依次是12，22，32，42，而分母中后一个因数比前一个因数大2，而前一个因数依次为2，5，8，11，构成一个等差数列，其第n项为3n1，故可得通项公式为an(1)n.考点二由an与Sn的关系求通项公式【例2】 已知下列数列an的前n项和Sn，求an的通项公式.(1)a11，Snan；(2)Sn3nb；(3)Snan.解(1)由题设知a11.当n2时，有anSnSn1anan1，整理得anan1.于是a11，a2a1，a3a2，an1an2，anan1.将以上n个等式两端分别相乘，整理得an.显然，当n1时也满足上式.综上可知，an的通项公式an.(2)a1S13b，当n2时，anSnSn1(3nb)(3n1b)23n1.当b1时，a1适合此等式；当b1时，a1不适合此等式.当b1时，an23n1；当b1时，an(3)由Snan，得当n2时，Sn1an1，两式相减，得ananan1，当n2时，an2an1，即2.又n1时，S1a1a1，a11，an(2)n1.规律方法已知Sn，求an的步骤(1)当n1时，a1S1；(2)当n2时，anSnSn1；(3)对n1时的情况进行检验，若适合n2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式.这种转化是遇到这种题型的基本思路，要重点掌握.【训练2】 (1)已知数列an的前n项和Sn2n3，则数列an的通项公式为_.(2)已知数列an满足a12a2nan4(nN*).求a3的值；求数列an前n项和Tn.(1)解析当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn12n1，an答案an(2)解由题意得3a3(a12a23a3)(a12a2)4，所以a3.由题设得当n2时，nan(a12a2nan)a12a2(n1)an14，所以an，又a141也适合此式，所以an.所以数列an是首项为1、公比为的等比数列，故Tn2.考点三由数列的递推关系求通项公式【例3】 在数列an中，(1)若a12，an1ann1，则通项公式an_.(2)(一题多解)在数列an中，若a11，anan1(n2)，则通项公式an_.(3)an12an3，a11，则通项公式an_.解析(1)由题意得，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)2(23n)21.又a121，符合上式，因此an1.(2)法一因为anan1(n2)，所以an1an2，a2a1，以上(n1)个式子的等号两端分别相乘得ana1.法二因为ana11.(3)设递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant)，即an12ant，解得t3.故an132(an3).令bnan3，则b1a134，且2.所以bn是以4为首项，2为公比的等比数列.bn42n12n1，an2n13.答案(1)1(2)(3)2n13规律方法(1)形如an1anf(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.(2)形如an1anf(n)的递推关系式可化为f(n)的形式，可用累乘法，也可用ana1代入求出通项.(3)形如an1panq的递推关系式可以化为(an1x)p(anx)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.【训练3】 (1)已知数列an满足a11，a24，an22an3an1(nN*)，则数列an的通项公式an_.(2)在数列an中，a13，an1an，则通项公式an_.解析(1)由an22an3an10，得an2an12(an1an)，数列an1an是以a2a13为首项，2为公比的等比数列，an1an32n1，n2时，anan132n2，a3a232，a2a13，将以上各式累加得ana132n23233(2n11)，an32n12(当n1时，也满足).(2)原递推公式可化为an1an，则a2a1，a3a2，a4a3，an1an2，anan1，逐项相加得，ana11，故an4.答案(1)32n12(2)4考点四数列的性质【例4】 (1)数列an满足an1，a82，则a1_.(2)已知an，那么数列an是_数列(填“递减”“递增”或“常”).(3)在数列an中，a11，anan1(nN*).求证：数列a2n与a2n1(nN*)都是等比数列；若数列an的前2n项和为T2n，令bn(3T2n)n(n1)，求数列bn的最大项.解析(1)an1，an1111(1an2)an2，n3，周期T(n1)(n2)3.a8a322a22.而a2，a1.(2)an1，将an看作关于n的函数，nN*，易知an是递增数列.答案(1)(2)递增(3)证明因为anan1，an1an2，所以.又a11，a2，所以数列a1，a3，a2n1，是以1为首项，为公比的等比数列；数列a2，a4，a2n，是以为首项，为公比的等比数列.解由(1)可得T2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)33，所以bn3n(n1)，bn13(n1)(n2)，所以bn1bn3(n1)3(n1)(2n)，所以b1b2b3b4bn，所以(bn)maxb2b3.规律方法(1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法用作差比较法，根据an1an的符号判断数列an是递增数列、递减数列还是常数列.用作商比较法，根据(an0或an0)与1的大小关系进行判断.结合相应函数的图象直观判断.(2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.(3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.【训练4】 (1)(2018哈尔滨模拟)若数列an满足an1a1，则数列的第2 015项为_.(2)设an3n215n18，则数列an中的最大项的值是_.解析(1)由已知可得a221，a32，a42，a521，an为周期数列且T4，a2 015a50343a3.(2)an3，由二次函数性质，得当n2或3时，an最大，最大值为0.答案(1)(2)0一、必做题1.数列，的第10项是_.解析所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子.很容易归纳出数列an的通项公式an(1)n1，故a10.答案2.(一题多解)若ann2n3(其中为实常数)，nN*，且数列an为单调递增数列，则实数的取值范围是_.解析法一(函数观点)因为an为单调递增数列，所以an1an，即(n1)2(n1)3n2n3，化简为2n1对一切nN*都成立，所以3.故实数的取值范围是(3，).法二(数形结合法)因为an为单调递增数列，所以a1a2，要保证a1a2成立，二次函数f(x)x2x3的对称轴x应位于1和2中点的左侧，即，亦即3，故实数的取值范围为(3，).答案(3，)3.已知a11，ann(an1an)(nN*)，则数列an的通项公式是_.解析ann(an1an)，ana11n.答案ann4.若数列an满足a12，a23，an(n3且nN*)，则a2 018_.解析由已知a3，a4，a5，a6，a72，a83，数列an具有周期性，T6，a2 018a33662a23.答案35.数列an满足anan1(nN*)，a22，Sn是数列an的前n项和，则S21_.解析anan1，a22，anS2111102.答案6.数列an中，已知a11，a22，an1anan2(nN*)，则a7_.解析由已知an1anan2，a11，a22，能够计算出a31，a41，a52，a61，a71.答案17.已知数列an的前n项和为Sn，Sn2ann，则an_.解析当n1时，S1a12a11，得a11，当n2时，anSnSn12ann2an1(n1)，即an2an11，an12(an11)，数列an1是首项为a112，公比为2的等比数列，an122n12n，an2n1.答案2n18.(2017无锡期末)对于数列an，定义数列bn满足bnan1an(nN*)，且bn1bn1 (nN*)，a31，a41，则a1_.解析因为b3a4a3112，所以b2a3a2b313，所以b1a2a1b214，三式相加可得a4a19，所以a1a498.答案89.已知Sn为正项数列an的前n项和，且满足Snaan(nN*).(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求数列an的通项公式.解(1)由Snaan (nN*)可得a1aa1，解得a11，S2a1a2aa2，解得a22，同理，a33，a44.(2)Sna，当n2时，Sn1a，得(anan11)(anan1)0.由于anan10，所以anan11，又由(1)知a11，故数列an为首项为1，公差为1的等差数列，故ann.10.已知数列an的前n项和Snn21，数列bn满足bn，且前n项和为Tn，设cnT2n1Tn.(1)求数列bn的通项公式；(2)判断数列cn的增减性.解(1)a12，anSnSn12n1(n2).bn(2)cnbn1bn2b2n1，cn1cna1.综上，所求的a的取值范围是9，3)(3，).14