2022高考数学二轮复习 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第五讲 导数的应用（一）教案 理

2022高考数学二轮复习 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第五讲 导数的应用（一）教案 理年份卷别考查角度及命题位置命题分析及学科素养2018卷函数的奇偶性应用及切线方程求法T5命题分析(1)高考对导数的几何意义的考查，多在选择、填空题中出现，难度较小，有时出现在解答题第一问(2)高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选择、填空的后几题中出现，难度中等有时出现在解答题第一问学科素养导数的应用主要是通过利用导数研究单调性解决最值、不等式、函数零点等问题，着重考查逻辑推理与数学运算这两大核心素养与分析问题解决问题的能力.卷切线方程求法T13卷切线方程求法T142017卷利用导数求三棱锥的体积T16卷函数图象的极小值求法T112016卷利用导数研究函数的图象和性质T7利用导数研究函数零点、不等式证明T21卷曲线的切线方程T16利用导数判断函数的单调性、证明不等式、求函数的最值问题T21卷导数的几何意义、切线方程T15导数与函数、不等式的综合应用T21悟通方法结论1导数的几何意义函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率kf(x0)，相应的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)2四个易误导数公式(1)(sin x)cos x；(2)(cos x)sin x；(3)(ax)axln a(a0)；(4)(logax)(a0，且a1)全练快速解答1若直线yax是曲线y2ln x1的一条切线，则实数a的值为()A BCD解析：依题意，设直线yax与曲线y2ln x1的切点的横坐标为x0，则有y|xx0，于是有解得答案：B2(2018高考全国卷)设函数(x)x3(a1)x2ax，若(x)为奇函数，则曲线y(x)在点(0,0)处的切线方程为()Ay2xByxCy2xDyx解析：法一：(x)x3(a1)x2ax，(x)3x22(a1)xa.又(x)为奇函数，(x)(x)恒成立，即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax恒成立，a1，(x)3x21，(0)1，曲线y(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.故选D.法二：(x)x3(a1)x2ax为奇函数，(x)3x22(a1)xa为偶函数，a1，即(x)3x21，(0)1，曲线y(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.故选D.答案：D3(2018山东四市联考)已知函数f(x)x2ax1的部分图象如图所示，则函数g(x)aln x在点(b，g(b)处的切线的斜率的最小值是_解析：由题意，f(x)x2bxa，根据f(x)的图象的极大值点、极小值点均大于零，可得b0，a0，又g(x)，则g(b)2，当且仅当ab时取等号，所以切线斜率的最小值为2.答案：2求曲线yf(x)的切线方程的3种类型及方法(1)已知切点P(x0，y0)，求切线方程求出切线的斜率f(x0)，由点斜式写出方程；(2)已知切线的斜率k，求切线方程设切点P(x0，y0)，通过方程kf(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；(3)已知切线上一点(非切点)，求切线方程设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程利用导数研究函数的单调性授课提示：对应学生用书第12页悟通方法结论导数与函数单调性的关系(1)f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0.(2)f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f(x)0时，则f(x)为常数，函数不具有单调性(2017高考全国卷)(12分)已知函数.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若，求a的取值范围学审题条件信息想到方法注意什么信息：已知f(x)的解析式可求导函数f(x)(1)要讨论函数的单调性，必须先求出函数定义域(2)对于含参数的问题，要根据不同情况对参数进行分类讨论信息：f(x)0函数的最小值f(x)min0规范解答(1)函数f(x)的定义域为(，)， (1分)f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa)若a0，则f(x)e2x在(，)上单调递增若a0，则由f(x)0，得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0.故f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增 (3分)若a0，则由f(x)0，得xln.当x时，f(x)0；故f(x)在上单调递减，在上单调递增 (6分)(2)若a0，则f(x)e2x，所以f(x)0. (7分)若a0，则由(1)得，当xln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)a2ln a.从而当且仅当a2ln a0，即0a1时，f(x)0. (9分)若a0，则由(1)得，当xln时，f(x)取得最小值，最小值为fa2.从而当且仅当a20，即2ea0)上的单调性；(3)证明：当a1时，对任意的x0，都有f(x)成立解析：(1)由f(x)x(ln xa)(x1)，得f(x)ln xa1， 因为对任意实数b，直线yxb与函数f(x)的图象都不相切，所以f(x)ln xa11，即aln x2.而函数yln x2在1，)上单调递增，所以ln x2ln 122，故a2.(2)当a1时，f(x)x(ln x1)，f(x)ln x2，由f(x)0得x.当0t时，在t，)上，f(x)0，因此f(x)在t，)上单调递减，在(，te上单调递增当t时，在t，te上，f(x)0恒成立，所以f(x)在t，te上单调递增综上所述，当0t对任意的x0恒成立由(2)知当a1时，f(x)xln xx在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增，所以f(x)minf().设g(x)(x0)，则g(x)，所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，g(x)maxg(1).从而当a1时，对任意的x0，都有f(x)g(x)(等号不同时取到)，所以f(x)成立，即对任意的x0，都有f(x)成立利用导数研究函数的极值、最值授课提示：对应学生用书第12页悟通方法结论1若在x0附近左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值2设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得(2018高考全国卷)(12分)已知函数f(x)(1) ；(2) ，证明： 学审题条件信息想到方法注意什么信息：已知f(x)的解析式先求定义域，再求导函数，变形(1)易忽视定义域求法及参数对单调性的影响(2)与极值点有关的双变量不等式证明，要明确消元、构造法信息：讨论单调性参数分类标准的确立及用导数判断单调性方法信息：两极值点x1、x2极值点的定义及应用信息：双变量不等式的证明双变量不等式证明，利用极值点消元、构造规范解答(1)(x)的定义域为(0，)，(x)1. (2分)若a2，则(x)0，当且仅当a2，x1时，(x)0，所以(x)在(0，)上单调递减 (4分)若a2，令(x)0，得x或x.当x时，(x)0；当x时，(x)0.所以(x)在，上单调递减，在上单调递增 (6分)(2)证明：由(1)知，(x)存在两个极值点当且仅当a2.由于(x)的两个极值点x1，x2满足x2ax10，所以x1x21，不妨设x1x2，则x21. (8分)由于1a2a2a，所以a2等价于x22ln x20. (10分)设函数g(x)x2ln x，由(1)知，g(x)在(0，)上单调递减又g(1)0，从而当x(1，)时，g(x)0.所以x22ln x20，即a2. (12分)利用导数研究函数极值、最值的方法(1)若求极值，则先求方程f(x)0的根，再检查f(x)在方程根的左右函数值的符号(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况来求解(3)求函数f(x)在闭区间a，b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值练通即学即用1(2017高考全国卷)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为()A1B2e3C5e3D1解析：因为f(x)(x2ax1)ex1，所以f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1x2(a2)xa1ex1.因为x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，所以2是x2(a2)xa10的根，所以a1，f(x)(x2x2)ex1(x2)(x1)ex1.令f(x)0，解得x1，令f(x)0，解得2x0)，故f(x)在(0，)上有两个不同的零点，令f(x)0，则2a，设g(x)，则g(x)，g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，又当x0时，g(x)，当x时，g(x)0，而g(x)maxg(1)1，只需02a1，即0a0，f(x)在(0，)上单调递增；当m0时，令f(x)0得0x，令f(x)，f(x)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减(2)由(1)知，当m0时，f(x)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减f(x)maxf()ln 2mnln 2ln mnln 2，nln m，mnmln m，令h(x)xln x(x0)，则h(x)1，h(x)在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增，h(x)minh()ln 2，mn的最小值为ln 2.授课提示：对应学生用书第119页一、选择题1曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.e2B2e2Ce2D.解析：由题意可得yex，则所求切线的斜率ke2，则所求切线方程为ye2e2(x2)即ye2xe2，S1e2.答案：D2(2018西宁一检)设曲线y在点(3,2)处的切线与直线axy10垂直，则a()A2B2CD.解析：由y得曲线在点(3,2)处的切线斜率为，又切线与直线axy10垂直，则a2.答案：A3(2018北京模拟)曲线f(x)xln x在点(1，f(1)处的切线的倾斜角为()A.B.C.D.解析：因为f(x)xln x，所以f(x)ln xxln x1，所以f(1)1，所以曲线f(x)xln x在点(1，f(1)处的切线的倾斜角为.答案：B4已知函数f(x)x25x2ln x，则函数f(x)的单调递增区间是()A.和(1，)B(0,1)和(2，)C.和(2，)D(1,2)解析：函数f(x)x25x2ln x的定义域是(0，)，令f(x)2x50，解得0x2，故函数f(x)的单调递增区间是和(2，)答案：C5函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)f(2x)，且当x(，1)时，(x1)f(x)0，设af(0)，bf，cf(3)，则a，b，c的大小关系为()AabcBcbaCcabDbca解析：因为当x(，1)时，(x1)f(x)0，所以函数f(x)在(，1)上是单调递增函数，所以af(0)fb，又f(x)f(2x)，所以cf(3)f(1)，所以cf(1)f(0)a，所以ca0)设g(x)，则g(x)，则g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增g(x)在(0，)上有最小值，为g(1)e，结合g(x)与yk的图象可知，要满足题意，只需ke.答案：A8已知函数f(x)ln xnx(n0)的最大值为g(n)，则使g(n)n20成立的n的取值范围为()A(0,1)B(0，)C.D.解析：易知f(x)的定义域为(0，)，f(x)n(x0，n0)，当x时，f(x)0；当x时，f(x)0，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)的最大值g(n)fln n1.设h(n)g(n)n2ln nn1.因为h(n)10，所以h(n)在(0，)上单调递减又h(1)0，所以当0nh(1)0，故使g(n)n20成立的n的取值范围为(0,1)，故选A.答案：A二、填空题9(2018高考全国卷)曲线y2ln(x1)在点(0,0)处的切线方程为_解析：y2ln(x1)，y.令x0，得y2，由切线的几何意义得切线斜率为2，又切线过点(0,0)，切线方程为y2x.答案：y2x10(2016高考全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ex1x，则曲线yf(x)在点(1,2)处的切线方程是_解析：设x0，则x0时，f(x)ex11，f(1)e111112.曲线yf(x)在点(1,2)处的切线方程为y22(x1)，即2xy0.答案：2xy011(2018太原二模)若函数f(x)sin xax为R上的减函数，则实数a的取值范围是_解析：f(x)cos xa，由题意可知，f(x)0对任意的xR都成立，a1，故实数a的取值范围是(，1答案：(，112(2018新乡一模)设x1，x2是函数f(x)x32ax2a2x的两个极值点，若x12x2，则实数a的取值范围是_解析：由题意得f(x)3x24axa2的两个零点x1，x2满足x12x2，所以f(2)128aa20，解得2a0，f(x)为(，)上的增函数，所以函数f(x)无极值当a0时，令f(x)0，得exa，即xln ax(，ln a)时，f(x)0，所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故f(x)在xln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)ln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，f(x)在xln a处取得极小值ln a，无极大值14(2018福州质检)已知函数f(x)aln xx2ax(aR)(1)若x3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；(2)求g(x)f(x)2x在区间1，e上的最小值h(a)解析：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2xa，因为x3是f(x)的极值点，所以f(3)0，解得a9，所以f(x)，所以当0x3时，f(x)0；当x3时，f(x)0.所以f(x)的单调递增区间为，(3，)，单调递减区间为.(2)g(x)aln xx2ax2x，则g(x)2.令g(x)0，得x或x1.当1，即a2时，g(x)在1，e上为增函数，h(a)ming(1)a1；当1e，即2a2e时，g(x)在上为减函数，在上为增函数，h(a)mingaln a2a；当e，即a2e时，g(x)在1，e上为减函数，h(a)ming(e)(1e)ae22e.综上，h(a)min