2022高考数学一轮复习 第9章 解析几何 第10课时 抛物线（二）练习 理

2022高考数学一轮复习 第9章 解析几何 第10课时 抛物线（二）练习 理1(2018广东中山第一次统测)过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点如果x1x26，那么|AB|()A6B8C9 D10答案B解析|AB|AF|BF|x1x2p8.故选B.2若抛物线y4x2上一点到直线y4x5的距离最短，则该点的坐标是()A(，1) B(0，0)C(1，2) D(1，4)答案A解析设与直线y4x5平行的直线为y4xm，由平面几何的性质可知，抛物线y4x2上到直线y4x5的距离最短的点即为直线y4xm与抛物线相切的点而对y4x2求导得y8x，又直线y4xm的斜率为4，所以8x4，得x，此时y4()21，即切点为(，1)，故选A.3(2017北京东城期末)过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，如果|BF|3，|BF|AF|，BFO，那么|AF|的值为()A1 B.C3 D6答案A解析由已知直线的斜率为k，则方程为y(x)，联立方程得3x25px0，即(2x3p)(6xp)0.因为|BF|AF|，所以xBp，xA，依题意xB2p3，所以p，则|AF|xAp1.故选A.4(2018广东汕头第三次质检)已知抛物线C：y24x的焦点为F，与直线y2x4交于A，B两点，则cosAFB()A. B.C D答案D解析抛物线C：y24x的焦点为F，点F的坐标为(1，0)又直线y2x4与C交于A，B两点，A，B两点坐标分别为(1，2)，(4，4)，则(0，2)，(3，4)，cosAFB.故选D.5(2018河南四校联考)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A. B.C. D1答案C解析由题意可得F(，0)设P(，y0)，当y00时，kOM0时，kOM0.要求kOM的最大值，y00.()(，)，kOM，当且仅当y022p2，即y0p时取得等号故选C.6(2018广西玉林期末)从抛物线y24x的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA，PB，A，B为切点若直线AB的倾斜角为，则P点的纵坐标为()A. B.C. D2答案B解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(1，y)，则kAB.直线AB的倾斜角为，y1y2.切线PA的方程为yy1(xx1)，切线PB的方程为yy2(xx2)，即切线PA的方程为yxy1，切线PB的方程为yxy2.y1，y2是方程t22yt4x0两个根，y1y22y.y.故选B.7(2018石家庄市高三检测)已知圆C1：x2(y2)24，抛物线C2：y22px(p0)，C1与C2相交于A，B两点，且|AB|，则抛物线C2的方程为()Ay2x By2xCy2x Dy2x答案C解析由题意，知直线AB必过原点，则设AB的方程为ykx(k0)，圆心C1(0，2)到直线AB的距离d，解得k2.由可取A(0，0)，B(，)，把(，)代入抛物线方程，得()22p，解得p，所以抛物线C2的方程为y2x，故选C.8直线l与抛物线C：y22x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率k1，k2满足k1k2，则直线l过定点()A(3，0) B(0，3)C(3，0) D(0，3)答案A解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为k1k2，所以.又y122x1，y222x2，所以y1y26.将直线l：xmyb代入抛物线C：y22x得y22my2b0，所以y1y22b6，所以b3，即直线l：xmy3，所以直线l过定点(3，0)9.(2017湖南益阳模拟)如图所示，已知直线l：yk(x1)(k0)与抛物线C：y24x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线C准线上的射影分别是M，N，若|AM|2|BN|，则k的值是()A. B.C. D2答案C解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组消去x，得ky24y4k0.因为直线与抛物线相交，所以有424k4k16(1k2)0.(*)y1，y2是方程的两个根，所以有又因为|AM|2|BN|，所以y12y2.解由组成的方程组，得k.把k代入(*)式检验，不等式成立所以k，故选C.10(2017威海一模)过抛物线C：y22px(p0)上一定点P(x0，y0)(y00)作两条斜率均存在的直线，分别交抛物线C于A(x1，y1)，B(x2，y2)，若直线PA，PB关于直线xx0对称，则log2|y1y2|log2y0的值为()A1 B1C D无法确定答案A解析设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.由y122px1，y022px0相减得(y1y0)(y1y0)2p(x1x0)，故kPA(x1x0)同理可得kPB(x2x0)若直线PA，PB关于直线xx0对称，则PA，PB的倾斜角互补故kPAkPB，即.所以y1y22y0，故2，故log2|y1y2|log2y01.故选A.11(2018东城区期末)已知抛物线C1：yx2(p0)的焦点与双曲线C2：y21的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p()A. B.C. D.答案D解析由题可知，抛物线开口向上且焦点坐标为(0，)，双曲线焦点坐标为(2，0)，所以两个焦点连线的直线方程为y(x2)设M(x0，y0)，则有yx0x0p.因为y0x02，所以y0.又M点在抛物线的切线上，即有(p2)p，故选D.12(2017浙江杭州七校模拟质量检测)抛物线y24x的焦点为F，过点(0，3)的直线与抛物线交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点D，若|AF|BF|6，则点D的坐标为_答案(4，0)解析设直线AB的方程为ykx3，代入抛物线y24x，整理得k2x2(6k4)x90.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，由|AF|BF|6，得(x1)(x2)x1x2p26，解得k2，k(舍去)，所以线段AB的中点为(2，1)，线段AB的垂直平分线方程为y1(x2)，令y0，得x4.故点D的坐标为(4，0)13(2018郑州质检)设抛物线y216x的焦点为F，经过点P(1，0)的直线l与抛物线交于A，B两点，且2，则|AF|2|BF|_答案15解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)P(1，0)，(1x2，y2)，(x11，y1)2，2(1x2，y2)(x11，y1)，x12x23，2y2y1.将A(x1，y1)，B(x2，y2)代入抛物线方程y216x，得y1216x1，y2216x2.又2y2y1，4x2x1.又x12x23，解得x2，x12.|AF|2|BF|x142(x24)242(4)15.14等腰直角三角形AOB内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，AOB的面积是16，抛物线的焦点为F.若M是抛物线上的动点，则的最大值为_答案解析设等腰直角三角形OAB的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y122px1，y222px2.由|OA|OB|，得x12y12x22y22，x12x222px12px20，即(x1x2)(x1x22p)0.x10，x20，2p0，x1x2，即点A，B关于x轴对称设直线OA的方程为yx，与抛物线方程联立，解得或|AB|4p，SOAB2p4p4p2.AOB的面积为16，p2.焦点F(1，0)设M(m，n)，则n24m，m0，设点M到准线x1的距离等于d，则.令m1t，t1，则mt1，(当且仅当t3时，等号成立)的最大值为.15(2018河北唐山一中期末)已知抛物线C：x22py(p0)，圆O：x2y21.(1)若抛物线C的焦点F在圆上，且A为C和圆O的一个交点，求|AF|；(2)若直线l与抛物线C和圆O分别相交于点M，N，求|MN|的最小值及相应p的值答案(1)1(2)2解析(1)由题意得F(0，1)，C：x24y.解方程组得yA2，|AF|1.(2)设M(x0，y0)，则切线l：y(xx0)y0，整理得x0xpypy00.由|ON|1得|py0|，p且y0210.|MN|2|OM|21x02y0212py0y021y0214(y021)8，当且仅当y0时等号成立|MN|的最小值为2，此时p.16.(2018江西九江一模)已知抛物线E：y22px(p0)的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l被E截得的线段长为8.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点C是抛物线上的动点，以C为圆心的圆过点F，且圆C与直线x相交于A，B两点，求|FA|FB|的取值范围答案(1)y24x(2)|FA|FB|3，)解析(1)由题意，直线l的方程为yx.联立消去y整理得x23px0.设直线l与抛物线E的交点的横坐标分别为x1，x2，则x1x23p，故直线l被抛物线E截得的线段长为x1x2p4p8，得p2，抛物线E的方程为y24x.(2)由(1)知，F(1，0)，设C(x0，y0)，则圆C的方程是(xx0)2(yy0)2(x01)2y02.令x，得y22y0y3x00.又y024x0，4y0212x03y0230恒成立设A(，y3)，B(，y4)，则y3y42y0，y3y43x0.|FA|FB|3|x01|.x00，|FA|FB|3，)1(2018南昌一模)已知抛物线y28x的焦点为F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上的两个动点，若x1x24|AB|，则AFB的最大值为()A. B.C. D.答案D解析因为x1x24|AB|，|AF|BF|x1x24，所以|AF|BF|AB|.在AFB中，由余弦定理得cosAFB11.又|AF|BF|AB|2，当且仅当|AF|BF|时等号成立，所以|AF|BF|AB|2，所以cosAFB1，所以AFB，即AFB的最大值为.2(2017辽宁五校期末联考)已知AB是抛物线y22x的一条焦点弦，|AB|4，则AB中点C的横坐标是()A2 B.C. D.答案C解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AB|4，x1x24，x1x23.C点横坐标为，故选C.3(2017东北三校)已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2x1x3，则有()A|FP1|FP2|FP3|B|FP1|2|FP2|2|FP3|2C2|FP2|FP1|FP3|D|FP2|2|FP1|FP3|答案C解析抛物线的准线方程为x，由定义得|FP1|x1，|FP2|x2，|FP3|x3，则|FP1|FP3|x1x3x1x3p，2|FP2|2x2p，由2x2x1x3，得2|FP2|FP1|FP3|，故选C.4(2017豫晋冀三省一调)设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上一点，若直线PF的倾斜角为120，则|PF|等于()A2 B.C3 D.答案B解析设P(x，y)，PAl，A为垂足，取l与x轴的交点为B.在RtABF中，AFB30，BF4，则|AB|y|，即有8x，可得x，|PF|2.5已知抛物线y24x，过点P(4，0)的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y12y22的最小值是_答案32解析设直线方程为xky4，与抛物线联立得y24ky160，y1y24k，y1y216.y12y22(y1y2)22y1y216k232.故最小值为32.6已知过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|2，则|BF|_答案2解析抛物线y24x的焦点F(1，0)，p2.由，即，|BF|2.8.如图所示，斜率为1的直线过抛物线y22px(p0)的焦点F，与抛物线交于A，B两点，M为抛物线弧AB上的动点(1)若|AB|8，求抛物线的方程；(2)求SABM的最大值答案(1)y24x(2)p2解析(1)由条件知lAB：yx，与y22px联立，消去y，得x23pxp20，则x1x23p.由抛物线定义得|AB|x1x2p4p.又因为|AB|8，即p2，则抛物线的方程为y24x.(2)方法一：由(1)知|AB|4p，且lAB：yx，设M(，y0)，则M到AB的距离为d.因为点M在直线AB的上方，所以y00，则d.当y0p时，dmaxp.故SABM的最大值为4ppp2.方法二：由(1)知|AB|4p，且lAB：yx，设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为yxm，代入抛物线方程，得x22(mp)xm20.由4(mp)24m20，得m.与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为yx，两直线间的距离为dp，故SABM的最大值为4ppp2.