2022高考数学一轮复习 不等式选讲 第2课时 不等式的证明与柯西不等式练习 理

2022高考数学一轮复习 不等式选讲 第2课时 不等式的证明与柯西不等式练习 理1设a，b，c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是()A(a3)22a26a11Ba2aC|ab|2D.答案C解析(a3)2(2a26a11)a22b时，恒成立，当ab时，不恒成立；由不等式0，y0，aR，bR.求证：()2.答案略证明因为x0，y0，所以xy0.所以要证()2，即证(axby)2(xy)(a2xb2y)，即证xy(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20显然成立故()2.7(2014江苏)已知x0，y0，证明：(1xy2)(1x2y)9xy.答案略证明因为x0，y0，所以1xy230，1x2y30.故(1xy2)(1x2y)339xy.8(2018福建质量检查)若a，b，cR，且满足abc2.(1)求abc的最大值；(2)证明：.答案(1)(2)略解析(1)因为a，b，cR，所以2abc3，故abc.当且仅当abc时等号成立所以abc的最大值为.(2)证明：因为a，b，cR，且abc2，所以根据柯西不等式，可得(abc)()()2()2()2()2()2()2()2.所以.9(2016课标全国，理)已知函数f(x)|x|x|，M为不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|.答案(1)x|1x1(2)略解析(1)f(x)当x时，由f(x)2得2x1；当x时，f(x)2；当x时，由f(x)2得2x2，解得x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1(2)由(1)知，当a，bM时，1a1，1b1，从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0.因此|ab|0，b0，且ab.证明：(1)ab2；(2)a2a2与b2b0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2.(2)假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a0得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾故a2a2与b2b2不可能同时成立11(2018广州综合测试)已知函数f(x)|xa1|x2a|.(1)若f(1)3，求实数a的取值范围；(2)若a1，xR，求证：f(x)2.答案(1)(，)(2)见解析解析(1)因为f(1)3，所以|a|12a|3.当a0时，得a(12a)，所以a0；当0a时，得a(12a)2，所以0a；当a时，得a(12a)3，解得a，所以a0，n0，且mn1，求证：2.答案(1)1，3(2)略解析(1)方法一：依题意，f(x)f(x)min2.不等式f(x)a22a1恒成立，a22a30，解得1a3，实数a的取值范围是1，3方法二：f(x)|2x1|2x1|(2x1)(2x1)|2，f(x)min2.不等式f(x)a22a1恒成立，a22a30，解得1a3，实数a的取值范围是1，3(2)由(1)知f(x)2，22.()22(mn)224(2m1)(2n1)8，当且仅当mn时等号成立2，2.1(2017武汉4月调研)(1)求不等式|x5|2x3|1的解集；(2)若正实数a，b满足ab，求证：1.答案(1)x|7x(2)略解析(1)当x时，x52x31，解得x7，7x；当x5时，x52x31，解得x，x；当x5时，x5(2x3)1，解得x9，舍去综上，7x.故原不等式的解集为x|7x(2)要证1，只需证ab21，即证2，即证.而ab2，成立，原不等式成立2已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为1，1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求证：a2b3c9.答案(1)1(2)略解析(1)因为f(x2)m|x|，f(x2)0等价于|x|m，由|x|m有解，得m0，且其解集为x|mxm又f(x2)0的解集为1，1，故m1.(2)证明：由(1)知1，又a，b，cR，由柯西不等式，得a2b3c(a2b3c)()()29.