2022高中数学 第1章 导数及其应用 1.3.2 利用导数研究函数的极值学案 新人教B版选修2-2

2022高中数学 第1章 导数及其应用 1.3.2 利用导数研究函数的极值学案 新人教B版选修2-21理解函数极值、极值点的有关概念，掌握利用导数求函数极值的方法2注意结合函数的图象理解用导数求函数极值(最值)的方法，逐步养成用数形结合的思想方法去分析问题和解决问题的思维习惯1函数的极值与最值(1)已知函数yf(x)，设x0是定义域内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有_f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作y极大f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个_如果在x0附近都有_，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个_(2)极大值与极小值统称为_，极大值点与极小值点统称为_(3)函数f(x)的最大(小)值是函数在指定区间上的最大(小)的值(1)极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小(2)函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值如图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)f(x1)(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能是区间的端点【做一做11】下列说法中正确的是()A若f(x)f(x0)，则f(x0)为f(x)的极小值B若f(x)f(x0)，则f(x0)为f(x)的极大值C若f(x0)为f(x)的极大值，则f(x)f(x0)D以上都不对【做一做12】若函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值，则()A极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值B极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值C极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值D极大值必大于极小值2求函数yf(x)极值的步骤第1步：求_；第2步：求方程_的所有实数根；第3步：考察在每个根x0附近，从左到右，导函数f(x)的符号如何变化如果f(x)的符号由正变负，则f(x0)是_；如果由负变正，则f(x0)是_如果在f(x)0的根xx0的左、右侧，f(x)的符号不变，则f(x0)不是极值可导函数的极值点必须是导数为零的点，但导数为零的点不一定是极值点，如f(x)x3在x0处导数f(0)0，但x0不是它的极值点，即可导函数在点x0处的导数f(x0)0是该函数在x0处取得极值的必要不充分条件【做一做21】函数yx2x1的极小值是()A1 B C D不存在【做一做22】若函数y2x33x2a的极大值是6，则a_.3求函数yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤第1步：求f(x)在开区间(a，b)内所有使f(x)0的点第2步：计算函数f(x)在区间(a，b)内使f(x)0的所有点和端点的_，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值利用导数法求最值，实质是比较某些特殊点的函数值来得到最值因此，我们可以在导数法求最值的基础上进行变通，令f(x)0得到方程的根x1，x2，直接求得函数值f(x1)，f(x2)，然后再与端点的函数值比较就可以了，省略了判断极值的过程当然导数法与函数的单调性结合，也可以求最值【做一做3】函数f(x)x3x2x在区间2,1上的最大值为_，最小值为_函数的极值与最值有何关系？剖析：如果函数在某些点处不可导，也需要考虑这些点是否是极值点、函数的最大值和最小值点观察下图中一个定义在区间a，b上的函数f(x)的图象图中f(x1)与f(x3)是极小值，f(x2)是极大值函数f(x)在a，b上的最大值是f(b)，最小值是f(x3)一般地，在区间a，b上如果函数f(x)的图象是一条连续不间断的曲线，那么该函数在a，b上必有最大值与最小值注意：(1)在区间(a，b)内函数f(x)的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数不一定有最大值与最小值，如函数f(x)在(0，)内连续，但没有最大值与最小值(2)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的(3)函数f(x)在区间a，b上的图象是一条连续不间断的曲线，是f(x)在区间a，b上有最大值与最小值的充分而不必要条件(4)函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个也没有题型一 求函数的极值【例题1】求下列各函数的极值：(1)f(x)x2ex；(2)y.分析：按照求极值的方法，首先从方程f(x)0入手，求出函数f(x)在定义域内所有可解的极值点，然后按极值的定义判断并求值反思：函数的极值研究是导数应用的关键知识点，可加深对函数单调性与其导数关系的理解，yf(x)的导数存在时，f(x0)0是yf(x)在xx0处有极值的必要条件，只有再加上x0两侧附近的导数的符号相反，才能断定yf(x)在xx0处取得极值题型二 求函数在区间a，b上的最值【例题2】已知函数f(x)x，求函数f(x)的最大值分析：求出f(x)的极值及定义域区间端点处的函数值，比较得到最大值反思：如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值如果函数yf(x)在区间(a，b)内可导，求f(x)在区间a，b上的最值可简化过程，即直接将极值点的函数值与端点的函数值比较，即可判定最大(或最小)的函数值，就是最大(或最小)值题型三 由函数的最值求参数的值【例题3】已知函数f(x)ax36ax2b，问是否存在实数a，b使f(x)在区间1,2上取得最大值3，最小值29，若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由分析：利用求最值的方法确定a，b的值，注意对a的讨论反思：此类题目属于逆向思维题，但仍可根据求函数最值的步骤来求解，借助于待定系数法求其参数值题型四 易错辨析易错点：对于可导函数，极值点处的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，因此已知函数的极值点求某些参变量的值时，应验证所得结果是否符合题意【例题4】已知f(x)x33ax2bxa2在x1处有极值0，求常数a，b的值错解：因为f(x)在x1处有极值0，且f(x)3x26axb，所以即解得或综上所述，a1，b3或a2，b9.1下列结论中，正确的是()A导数为零的点一定是极值点B如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值C如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值D如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值2下列说法正确的是()A函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B闭区间上图象连续不断的函数一定有最值，也一定有极值C若函数在其定义域上有最值，则一定有极值，反之，若有极值则一定有最值D若函数在给定区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值；但若有极值，则可有多个极值甚至无穷多个3函数f(x)2x33x212x5在0,3上的最大值和最小值分别是()A5，15 B5，4C4，15 D5，164函数f(x)2x36x218x7的极大值为_，极小值为_5函数y2x36x2m(m为常数)，在区间2,2上有最大值3，那么它在区间2,2上的最小值为_答案：基础知识梳理1(1)f(x)极大值点f(x)f(x0)极小值点(2)极值极值点【做一做11】D【做一做12】C2导数f(x)f(x)0极大值极小值【做一做21】B【做一做22】6y6x26x6x(x1)，当x(，0)或x(1，)时，y0，原函数为增函数，当x(0,1)时，y0，原函数为减函数，故当x0时，y极大值a6.3函数值【做一做3】12f(x)3x22x1，令f(x)0，得x11，x2，又f(1)1，f()，f(2)2，f(1)1，故函数的最大值为1，最小值为2.典型例题领悟【例题1】解：(1)函数f(x)的定义域为R，f(x)2xexx2ex(x)x(2x)ex，令f(x)0，得x0或x2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)极小值0极大值4e2从表中可以看出，当x0时，函数有极小值，且f(0)0；当x2时，函数有极大值，且f(2)4e2.(2)y，令y0，得x，当x在R上取值时，y，y的变化情况如下表：xy0y极大值当x时，函数取得极大值，且f().【例题2】解：f(x)1，令f(x)0，得x21ln x，显然x1是方程的解令g(x)x2ln x1，x(0，)，则g(x)2x0，函数g(x)在(0，)上单调，x1是方程f(x)0的唯一解当0x1时，f(x)10，当x1时，f(x)0，函数f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，)内单调递减，当x1时，函数有最大值f(x)maxf(1)1.【例题3】解：显然a0，f(x)3ax212ax3ax(x4)，令f(x)0，解得x10，x24(舍去)(1)当a0，x变化时，f(x)，f(x)的变化状态如下表：x1,000,2f(x)0f(x)极大值所以当x0时，f(x)取得最大值所以b3.又f(2)16a3，f(1)7a3，f(1)f(2)，所以当x2时，f(x)取得最小值，所以16a329，即a2.(2)当a0，x变化时，f(x)，f(x)的变化状态如下表：x1,000,2f(x)0f(x)极小值所以当x0时，f(x)取得最小值所以b29.又f(2)16a29，f(1)7a29，f(2)f(1)，所以当x2时，f(x)取得最大值，所以16a293，即a2.综上所述，a2，b3或a2，b29.【例题4】错因分析：根据极值定义，函数先减后增为极小值，函数先增后减为极大值，错解中未验证x1两侧函数的单调性，故求错正解：因为f(x)在x1处有极值0，且f(x)3x26axb，所以即解得或当a1，b3时f(x)3x26x33(x1)20，所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去，当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3)，当x(3，1)时，f(x)为减函数；当x1，)时，f(x)为增函数所以f(x)在x1处取得极小值，因此a2，b9.随堂练习巩固1B2D3A由f(x)6x26x126(x1)(x2)0，得x1或x2.因为f(0)5，f(2)15，f(3)4，所以f(2)f(3)f(0)所以f(x)maxf(0)5，f(x)minf(2)15.41747由f(x)6x212x186(x1)(x3)0，得x1或x3，当x(，1)时，f(x)0，当x(1,3)时，f(x)0，当x(3，)时，f(x)0，所以极大值为f(1)17，极小值为f(3)47.537y6x212x6x(x2)，在(2,2)上，只有x0是f(x)的极值点，且为极大值点f(x)极大值f(0)m，又f(2)1624mm40，f(2)1624mm8.容易判断m40m8m，m3.f(x)minm4037.