2022-2023学年高中数学 考点02 棱锥与棱台庖丁解题 新人教A版必修2

2022-2023学年高中数学 考点02 棱锥与棱台庖丁解题 新人教A版必修21棱锥的主要结构特征：(1)有一个面是多边形；(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形；棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；多边形叫做棱锥的底面；顶点到底面的距离叫做棱锥的高2棱锥按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥等如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形；等腰三角形底边上的高叫做棱锥的斜高3棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台原棱锥的底面与截面分别叫做棱台的下底面、上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面间的距离叫做棱台的高4由正棱锥截得的棱台叫做正棱台正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高【例】给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明 【解析】如图所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥如图所示，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的4(1)，有一组对角为直角，余下部分按虚线折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底 1能保证棱锥是正棱锥的一个条件是( )A底面为正多边形B各侧棱都相等C各侧面与底面都是全等的正三角形D各侧面都是等腰三角形【答案】C 【易错易混】对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形2下列说法正确的是( )A各个面都是三角形的多面体一定是棱锥B四面体一定是三棱锥C棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一定是正棱锥D底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱相等的棱锥一定是正棱锥 【答案】B 3下列几种说法中正确的有（ ）用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台棱台的侧面一定不会是平行四边形有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台A0个B1个C2个D3个【答案】A【解析】必须用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分才是棱台，故不正确;棱台的侧面一定是梯形，故正确;有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，因为各条侧棱不一定相交于一点，故不正确【方法技巧】关于棱锥、棱台结构特征题目的判断方法（1）举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确（2）直接法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点4如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能是( )A正三棱锥 B正四棱锥C正五棱锥 D正六棱锥【答案】D【解析】如图所示，在正六边形ABCDEF中，OAOBAB，而在正六棱锥SABCDEF中，SAOAAB，即侧棱长大于底面边长，侧面不可能是等边三角形 5棱台不具有的性质是（ ）A两底面相似B侧面都是梯形 C侧棱长都相等D侧棱延长后交于一点【答案】C【解析】棱台是由平行于棱锥的底面的平面截棱锥得到的，棱锥的侧棱长不一定相等，所以棱台的侧棱长也不一定相等A，B，D选项都正确【方法技巧】延长各侧棱看能否还原成棱锥如图所示的两个几何体就不是棱台 6若正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为，则该棱锥的高等于( )A3(3)BC1D2(3)【答案】B 1如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是( ) ABCD【答案】C 2有一个正三棱锥和一个正四棱锥，它们所有的棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上，则所得到的这个组合体是( )A底面为平行四边形的四棱柱B五棱锥C无平行平面的六面体D斜三棱柱【答案】D【解析】如图，正三棱锥ABEF和正四棱锥BCDEF的一个侧面重合后， 而面BCD和面AEF平行，其余各面都是四边形，故该组合体是斜三棱柱3正五棱台的上、下底面面积分别为1 cm2、49 cm2，平行于底面的截面面积为25 cm2，那么截面到上、下底面的距离的比值为_【答案】2【解析】“还台于锥”，利用相似比求4如图，在三棱锥VABC中，VAVBVC4，AVBAVCBVC30，过点A作截面AEF，求AEF周长的最小值 【答案】4 东方之冠中国馆 中国馆的几何结构是倒立的棱台