（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第1讲 集合与常用逻辑用语学案 文 苏教版

第1讲集合与常用逻辑用语 2019考向导航考点扫描三年考情考向预测2019201820171集合间的关系及运算第1题第1题第1题江苏高考对集合的考查一般包含两个方面：一是集合的运算，二是集合间的关系试题难度为容易题，若以集合为载体与其他知识交汇，则可能为中档题逻辑知识是高考冷点，复习时要抓住基本概念2四种命题及其真假判断3充分条件与必要条件4逻辑联结词、全称量词和存在量词1必记的概念与定理(1)四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理(2)充分条件与必要条件若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若pq，则p，q互为充要条件2记住几个常用的公式与结论(1)(AB)(AB)；(2)ABABA；ABABB；(3)集合与集合之间的关系：AB，BCAC，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n1，非空真子集数为2n2；(4)集合的运算：U(AB)(UA)(UB)，U(AB)(UA)(UB)，U(UA)A3需要关注的易错易混点(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性，求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验(2)有些全称命题并不含有全称量词，这时我们要根据命题涉及的意义去判断对命题的否定，首先弄清楚是全称命题还是存在性命题，再针对不同形式加以否定(3)“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者不同，前者是“pq但qp”而后者是“qp，p q” 集合间的关系及运算典型例题 (1)(2019高考江苏卷)已知集合A1，0，1，6，Bx|x0，xR，则AB_(2)已知集合A1，2，Ba，a23若AB1，则实数a的值为_(3)(2019苏州第二次质量预测)已知集合Px|y，xN，Qx|ln x1，则PQ_【解析】(1)由交集定义可得AB1，6(2)因为a233，所以由AB1，得a1，即实数a的值为1(3)由x2x20，得1x2，因为xN，所以P0，1，2因为ln x1，所以0xe，所以Q(0，e)，则PQ1，2【答案】(1)1，6(2)1(3)1，2解集合运算问题应注意以下两点(1)看元素组成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键(2)对集合化简有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决对点训练1(2018高考江苏卷)已知集合A0，1，2，8，B1，1，6，8，那么AB_解析 由集合的交运算可得AB1，8答案 1，82(2019江苏省名校高三入学摸底)已知集合A1，3，m2，集合B3，2m1，若BA，则实数m_解析 因为BA，所以m22m1或12m1，解得m1或m0，经检验均满足题意，故m1或0答案 1或0四种命题及其真假判断典型例题 (1)(2019苏州第一次质量预测)下列说法正确的是_“若a1，则a21”的否命题是“若a1，则a21”；“若am2bm2，则ab”的逆命题为真命题；存在x0(0，)，使3x04x0成立；“若sin ，则”是真命题(2)给出命题：若函数yf(x)是幂函数，则函数yf(x)的图象不过第四象限在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是_【解析】(1)对于，“若a1，则a21”的否命题是“若a1，则a21”，故错误；对于，“若am2bm2，则ab”的逆命题为“若ab，则am2bm2”，因为当m0时，am2bm2，所以其逆命题为假命题，故错误；对于，由指数函数的图象知，对任意的x(0，)，都有4x3x，故错误；对于，“若sin ，则”的逆否命题为“若，则sin ”，且其逆否命题为真命题，所以原命题为真命题，故正确(2)易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题只有一个【答案】(1)(2)1一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后得到的形式上的命题，解这类试 题时要注意对于一些关键词的否定，等于的否定是不等于，而不是单纯的大于、也不是单纯的小于“都是”的否定是“不都是”，“不都是”包含“都不是”，“至少有一个”的否定是“一个都没有”，“所有的”的否定是“某些”，“任意的”的否定是“某个”，“至多有一个”的否定是“至少有两个”，“至多有n个”的否定是“至少有n1个”，“任意两个”的否定是“某两个”像这类否定同学们不妨探究一下对点训练3已知命题“若函数f(x)exmx在(0，)上是增函数，则m1”，则下列结论正确的是_(只填序号)否命题“若函数f(x)exmx在(0，)上是减函数，则m1”是真命题逆命题“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上是增函数”是假命题逆否命题“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上是减函数”是真命题逆否命题“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数”是真命题解析 命题“若函数f(x)exmx在(0，)上是增函数，则m1”是真命题，所以其逆否命题“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数”是真命题答案 4命题“面积相等的三角形是全等三角形”的否定为_，否命题为_答案 面积相等的三角形不是全等三角形面积不相等的三角形不是全等三角形充分条件与必要条件典型例题 (1)若a，bR，则“a(ab)1”的_(填写“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中的一个)(2)已知条件p：1x21，q：xa，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_【解析】(1)因为1100a(ab)0，所以“a(ab)1”的充要条件(2)因为p是q的充分不必要条件，故pq，但qp，即不等式1x21的解集是x|xa的真子集，从而a3【答案】(1)充要条件(2)(，3判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法对点训练5(2019湖南湘东五校联考)“不等式x2xm0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是_m；0m1；m0；m1解析 若不等式x2xm0在R上恒成立，则(1)24m0，解得m，因此当不等式x2xm0在R上恒成立时，必有m0，但当m0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m0答案 6(2019徐州模拟)若a2x，blogx，则“ab”是“x1”的_条件解析 如图所示，当xx0时，ab若ab，则得到xx0，且x01，所以由ab不一定得到x1，所以“ab”不是“x1”的充分条件；若x1，则由图象得到ab，所以“ab”是“x1”的必要条件故“ab”是“x1”的必要不充分条件答案 必要不充分逻辑联结词、全称量词和存在量词典型例题 (1)命题“x0(0，)，ln x0x01”的否定，下列正确的是_x0(0，)，ln x0x01x0(0，)，ln x0x01x(0，)，ln xx1x(0，)，ln xx1(2)已知命题p：x0，1，a2x；命题q：xR，使得x24xa0若命题“pq”是真命题，“pq”是假命题，则实数a的取值范围为_【解析】(1)改变原命题中的两个地方即可得其否定，改为，否定结论，即ln xx1(2)命题p为真，则a2x(x0，1)恒成立，因为y2x在0，1上单调递增，所以2x212，故a2，即命题p为真时，实数a的取值集合为Pa|a2若命题q为真，则方程x24xa0有解，所以4241a0，解得a4故命题q为真时，实数a的取值集合为Qa|a4若命题“pq”是真命题，那么命题p，q至少有一个是真命题；由“pq”是假命题，可得p与q至少有一个是假命题若p为真命题，则p为假命题，q可真可假，此时实数a的取值范围为2，)；若p为假命题，则q必为真命题，此时，“pq”为真命题，不合题意综上，实数a的取值范围为2，)【答案】(1)(2)2，)全称命题(存在性命题)的否定是其全称量词改为存在量词(存在量词改为全称量词)，并把结论否定，而命题的否定则是直接否定结论 对点训练7(2019无锡市高三上学期期末考试)命题“x2，x24”的否定是“_，x24”解析 由全称命题的否定是存在性命题得，命题“x2，x24”的否定是“x2，x24”，故填x2答案 x28下列四个命题：xR，使sin xcos x2；对xR，sin x2；对x，tan x2；xR，使sin xcos x其中正确命题的序号为_解析 因为sin xcos xsin， ；故xR，使sin xcos x2错误；xR，使sin xcos x正确；因为sin x2或sin x2，故对xR，sin x2错误；对x，tan x0，0，由基本不等式可得tan x2正确答案 1(2019江苏名校高三入学摸底)设集合A2，2，Bx|x23x40，则A(RB)_解析 由Bx|x23x40x|x1或x4，得RBx|1x4，又A2，2，所以A(RB)2答案 22命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是_答案 任意一个无理数，它的平方不是有理数3已知a，b，cR，命题“若abc3，则a2b2c23”的否命题是_解析 命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以应填“若abc3，则a2b2c23”答案 若abc3，则a2b2c20；xR，2x0解析 对于x1成立，对于x成立，对于x0时显然不成立，对于，根据指数函数性质显然成立答案 5已知UR，A1，a，Ba22a2，aR，若(UA)B，则a_解析 由题意知BA，所以a22a21或a22a2a当a22a21时，解得a1；当a22a2a时，解得a1或a2当a1时，不满足集合中元素的互异性，舍去；当a2时，满足题意所以a2答案 26若命题“ax22ax30不成立”是真命题，则实数a的取值范围是_解析 ax22ax30恒成立，当a0时，30成立；当a0时，得3a0x|1x1(1，1)，RA(，11，)，则u1x2(0，1，所以By|yf(x)y|y0(，0，RB(0，)，所以题图阴影部分表示的集合为(ARB)(BRA)(0，1)(，1答案 (0，1)(，18(2019江苏省名校高三入学摸底卷)已知集合Px|xa，Q，若PQQ，则实数a的取值范围是_解析 由Q，得Q1，2，又PQQ，所以a2，即实数a的取值范围是2，)答案 2，)9若R，使sin 1成立，则cos的值为_解析 由题意得sin 10又1sin 1，所以sin 1所以2k(kZ)故cos答案 10(2019江苏省高考名校联考信息卷(八)已知x0，xR，则“9”的_条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析 由2或x9得x2，所以由“3x9”可以得“1”，反之却无法得到，所以“9”的必要不充分条件答案 必要不充分11给出以下三个命题：若ab0，则a0或b0；在ABC中，若sin Asin B，则AB；在一元二次方程ax2bxc0中，若b24ac0，则方程有实数根其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是_(填序号)解析 在ABC中，由正弦定理得sin Asin BabAB故填答案 12(2019南京高三模拟)下列说法正确的序号是_命题“若x21，则x1”的否命题为“若x21，则x1”；“x1”是“x25x60”的必要不充分条件；命题“若xy，则sin xsin y”的逆否命题为真命题；命题“x0R，xx010”的否定是“xR，x2x10”解析 命题“若x21，则x1”的否命题为“若x21，则x1”，所以不正确由x1，能够得到x25x60，反之，由x25x60，得到x1或x6，所以“x1”是“x25x60”的充分不必要条件，所以不正确命题“若xy，则sin xsin y”为真命题，所以其逆否命题也为真命题，所以正确命题“x0R，xx010”的否定是“xR，x2x10”，所以不正确答案 13若命题“x1，1，12xa4x0”是假命题，则实数a的最小值为 _解析 变形得a，令t，则a，因为x1，1，所以t，所以f(t)在上是减函数，所以f(t)minf(2)6，又因为该命题为假命题，所以a6，故实数a的最小值为6答案 614(2019江苏四星级学校高三联考)设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P*Qz|zab，aP，bQ，若P1，2，Q1，0，1，则集合P*Q中元素的个数为_解析 法一(列举法)：当b0时，无论a取何值，zab1；当a1时，无论b取何值，ab1；当a2，b1时，z21；当a2，b1时，z212故P*Q，该集合中共有3个元素法二(列表法)：因为aP，bQ，所以a的取值只能为1，2；b的取值只能为1，0，1zab的不同运算结果如下表所示：ba1011111212由上表可知P*Q，显然该集合中共有3个元素答案 3- 10 -