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专题五 函数江苏 新高考江苏卷对函数在解答题上基本不考“抽象函数”，2013年第20题，考查函数的单调性、零点个数问题；2014年第19题，考查函数与不等式；2015年第19题，讨论函数的单调性及函数零点确定参数值；2016年第19题，考查函数与不等式、零点问题，2017年第20题，考查函数与导数、函数的极值、零点问题.题目难度较大，多体现分类讨论思想.第1课时函数(基础课)常考题型突破函数的概念与图象必备知识1函数的定义域(1)函数的定义域是研究函数问题的先决条件，它会直接影响函数的性质，所以要树立定义域优先的意识(2)对于复合函数的定义域要注意：如果函数f(x)的定义域为A，则f(g(x)的定义域是使函数g(x)A的x的取值范围如果f(g(x)的定义域为A，则函数f(x)的定义域是函数g(x)的值域f(g(x)与f(h(x)联系的纽带是g(x)与h(x)的值域相同2函数的值域求函数值域的常用方法有观察法、不等式法、图象法、换元法、单调性法等3分段函数若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数4函数的图象函数的图象包括作图、识图、用图，其中作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换题组练透1(2017南通二调)函数f(x)的定义域是_解析：由题意得lg(5x2)05x212x2，因此f(x)的定义域为2,2答案：2,22(2017盐城模考)已知函数f(x)若f(0)3，则f(a)_.解析：因为f(0)3，所以a23，即a5，所以f(a)f(5)9.答案：93(2017南通模考)函数f(x)31x2的值域为_解析：因为1x21，所以f(x)31x2(0,3答案：(0,34(2016南通调研)已知函数f(x)loga(xb)(a0且a1，bR)的图象如图所示，则ab的值是_解析：将(3,0)，(0，2)分别代入解析式得loga(3b)0，logab2，解得a，b4，从而ab.答案：方法归纳1.求函数定义域的类型和相应方法(1)若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可.(2)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义.2.求函数值的注意点形如f(g(x)的函数求值时，应遵循先内后外的原则；而对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；对具有周期性的函数求值要利用其周期性.3.函数的图象(1)作图若函数表达式或变形后的表达式是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征描点作出；若函数图象可由基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序.尤其注意yf(x)与yf(x)，yf(x)，yf(x)，yf(|x|)，y|f(x)|及yaf(x)b的相互关系.,(2)识图,从图象与坐标轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系.(3)用图图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究. 函数的基本性质必备知识1函数的单调性单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性判断函数单调性常用定义法、图象法及导数法2函数的奇偶性函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域上具有相同的单调性，判断函数奇偶性的常用方法有定义法、图象法及性质法3函数的周期性周期性是函数在定义域上的整体性质若函数满足f(ax)f(x)(a不等于0)，则其一个周期T|a|，最小正数T叫做f(x)的最小正周期4函数的对称性若函数f(x)满足f(ax)f(ax)或f(x)f(2ax)，则函数f(x)关于直线xa对称若函数f(x)满足f(ax)f(ax)或f(x)f(2ax)，则函数f(x)关于点(a,0)中心对称 题组练透1(2017南京三模)已知函数f(x)是定义在R上且周期为4的偶函数当x2,4时，f(x)，则f的值为_解析：因为函数f(x)是定义在R上且周期为4的偶函数，所以fff，因为当x2,4时，f(x)，所以fflog42.答案：2(2017盐城期中)若函数f(x)在区间(，a)上单调递减，在(a，)上单调递增，则实数a的取值范围是_解析：函数f(x)根据反比例函数的性质可知，在区间(，0)上单调递减，要使函数f(x)在区间(，a)上单调递减，则a0.因此函数f(x)|x1|在区间(a，)上单调递增，那么a10，解得a1.所以实数a的取值范围是1，0答案：1,03(2017苏北四市期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x3，则不等式f(x)5的解集为_解析：若x0，则x0，当x0时，f(x)2x3，当x0时，f(x)2x3，f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)2x3f(x)，则f(x)2x3，x0，当x0时，不等式f(x)5等价于2x35，即2x2，无解，不成立；当x0时，不等式f(x)5等价于2x35，即2x8，得x3，即x3；当x0时，f(0)0，不等式f(x)5不成立，综上，不等式的解为(，3答案：(，34(2017江苏高考)已知函数f(x)x32xex，其中e是自然对数的底数若f(a1)f(2a2)0，则实数a的取值范围是_解析：由f(x)x32xex，得f(x)x32xexf(x)，所以f(x)是R上的奇函数又f(x)3x22ex3x2223x20，当且仅当x0时取等号，所以f(x)在其定义域内单调递增因为f(a1)f(2a2)0，所以f(a1)f(2a2)f(2a2)，所以a12a2，解得1a，故实数a的取值范围是.答案：方法归纳1破解函数的单调性的四种方法数形结合法对于填空题能画出图象的函数转化法由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，(常转化为基本初等函数单调性的判断问题)导数法解析式为分式、指数函数式、对数式等较复杂的函数定义法抽象函数2.判断函数的奇偶性的三个技巧(1)奇、偶函数的定义域关于原点对称；(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；(3)对于偶函数而言，有f(x)f(x)f(|x|)3函数性质的应用可以利用函数的性质确定函数图象，并充分利用已知区间上函数的性质解决问题，体现转化思想基本初等函数必备知识1指数函数的图象与性质yax(a0，且a1)a10a0时，y1；x0时，0y0时，0y1；x1在(，)上是增函数在(，)上是减函数2对数函数的图象与性质ylogax(a0，且a1)a10a1时，y0；当0x1时，y1时，y0；当0x0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数3.二次函数的图象和性质yax2bxc(a0)a0a0)，f(xa)(xa)(1a|xa|)1，又f(xa)f(x)对任意的xR恒成立，在同一直角坐标系中作出满足题意的yf(xa)与yf(x)的图象如图所示：x(1ax)1(xa)1a(xa)1恒成立，即xax21a(x22axa2)xa1，整理得：2x22axa210恒成立，4a242(a21)0，解得a.答案：，)4.(2017苏北三市三模)如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y13logax，y22logax和y3logax(a1)的图象上，则实数a的值为_解析：设C(x0，logax0)，则2logaxBlogax0，即 xx0，解得xB，故xCxBx02，解得 x04，即B(2,2loga2)，A(2,3loga2)，由AB2，可得3loga22loga22，解得a.答案：方法归纳基本初等函数图象与性质的应用技巧(1)指数函数与对数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a1和0a0和0.若函数yf(f(x)1有3个不同的零点，则m的取值范围是_解析：令f(x)t，则f(t)1，所以t或tm1，即f(x)与f(x)m1有3个不同解所以即0m1.答案：(0,1)3(2017江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间0,1)上，f(x)其中集合D，则方程f(x)lg x0的解的个数是_解析：由于f(x)0,1)，因此只需考虑1x10的情况，在此范围内，当xQ且xZ时，设x，q，pN*，p2且p，q互质若lg xQ，则由lg x(0,1)，可设lg x，m，nN*，m2且m，n互质，因此10，则10nm，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg xQ，故lg x不可能与每个周期内xD对应的部分相等，只需考虑lg x与每个周期内xD部分的交点画出函数草图(如图)，图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期xD的部分，且x1处(lg x)1，则在x1附近仅有一个交点，因此方程f(x)lg x0的解的个数为8.答案：8方法归纳利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法课时达标训练1(2017苏锡常镇一模)函数f(x)的定义域为_解析：由题意得解得x且x1，故函数的定义域是.答案：2函数f(x)ln的值域是_解析：因为|x|0，所以|x|11.所以01.所以ln0，即f(x)ln的值域为(，0答案：(，03(2017启东模考)设函数f(x)则f(f(2)_.解析：因为f(2)422，f(2)213，所以f(f(2)3.答案：34已知f(x)是奇函数，g(x).若g(2)3，则g(2)_.解析：由题意可得g(2)3，则f(2)1，又f(x)是奇函数，则f(2)1，所以g(2)1.答案：15已知函数f(x)若f(1)f(a1)2，则a的值为_解析：因为f(1)f(a1)2，又f(1)0，所以f(a1)2，当a10，即a1时，有log2(a1)2，解得a5.当a10，即a1时，有2a12，解得a2(舍去)，所以a5.答案：56(2017泰州二中模考)函数f(x)是R上的奇函数，f(x2)f(x)，当x(0,2)时，f(x)x2，则f(7)_.解析：因为f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)，则函数f(x)是周期为4的周期函数，则f(7)f(78)f(1)f(1)(12)3.答案：37(2017苏州考前模拟)设alog2，blog，c0.3，则a，b，c按从小到大的顺序排列为_解析：由已知结合对数函数图象和指数函数图象得到a1,0c1.答案：ac时，f(x)max|4a|a2a45，解得a(矛盾)，故a的取值范围是.答案：13对于任意实数a，b，定义mina，b设函数f(x)x3，g(x)log2x，则函数h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_解析：依题意，h(x)当0x2时，h(x)log2x是增函数；当x2时，h(x)3x是减函数，所以h(x)在x2时，取得最大值h(2)1.答案：114(2017全国卷)设函数f(x)则满足f(x)f1的x的取值范围是_解析：由题意知，可对不等式分x0,0讨论当x0时，原不等式为x1x1，解得x，所以x0.当01，显然成立当x时，原不等式为2x2x1，显然成立综上可知，x的取值范围是.答案：1已知函数f(x)设aR，若关于x的不等式f(x)在R上恒成立，则a的取值范围是_解析：法一：根据题意，作出f(x)的大致图象，如图所示当x1时，若要f(x)恒成立，结合图象，只需x2x3，即x23a0，故对于方程x23a0，24(3a)0，解得a；当x1时，若要f(x)恒成立，结合图象，只需xa，即a.又2，当且仅当，即x2时等号成立，所以a2.综上，a的取值范围是.法二：关于x的不等式f(x)在R上恒成立等价于f(x)af(x)，即f(x)af(x)在R上恒成立，令g(x)f(x).当x1时，g(x)(x2x3)x232，当x时，g(x)max；当x1时，g(x)2，当且仅当，且x1，即x时，“”成立，故g(x)max2.综上，g(x)max.令h(x)f(x)，当x1时，h(x)x2x3x232，当x时，h(x)min；当x1时，h(x)x2，当且仅当，且x1，即x2时，“”成立，故h(x)min2.综上，h(x)min2.故a的取值范围为.答案：2已知函数y与函数y的图象共有k(kN*)个公共点：A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，Ak(xk，yk)，则(xiyi)_.解析：y2，易知该函数在R上单调递增，值域为(0,2)，且图象关于点(0,1)对称y1，易知该函数在R上单调递减，且图象关于点(0,1)对称故两函数图象有两个交点，它们关于点(0,1)对称，所以(xiyi)2.答案：23(2017扬州考前调研)已知函数f(x)有两个不相等的零点x1，x2，则的最大值为_解析：当k0时，函数f(x)只有一个零点，不合题意；当k0时，由于0，所以函数f(x)在(0,1上至多有一个零点，在(1，)上没有零点，不合题意；当k1时，函数f(x)只有一个零点1，不合题意；当k1时，函数f(x) 在(0,1上44k0，没有零点，不合题意；当1k0时，函数f(x)在(0,1上的零点为x1，在(1，)上零点为x2，符合题意所以k，令t(0,1)，则kt21，则t2t22.答案：4(2017南通三模)已知函数f(x)若函数g(x)2f(x)ax恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围是_解析：g(x)显然当a2时，g(x)有无穷多个零点，不符合题意；当xa时，令g(x)0，得x0，当x0，且a2，则g(x)在a，)上无零点，在(，a)上存在零点x0和x， a，解得0a2，若a0，则g(x)在0，)上存在零点x0，在(，0)上存在零点x，符合题意若a0，则g(x)在a，)上存在零点x0，g(x)在(，a)上只有1个零点，0(，a)，g(x)在(，a)上的零点为，a，解得a0的解集为(，1)(2，)，则f(lg x)0的解集为(，1)(2，)，所以一元二次不等式f(x)0的解集为(1,2)，由f(lg x)0，可得1lg x2，从而解得10xf(x)的解集用区间表示为_解析：由题意f(x)作出f(x)的图象如图所示法一：由函数图象知f(x)的图象关于直线x2对称因为x220且x22x恒成立，所以x224且x224x，解得x(，2)(，)法二：由函数f(x)的图象可知，当0x4时，f(x)4，所以x224，得x或x时，x22x，故x.当x4x，故x0，则的最小值为_解析：因为ab0，所以4ab24，当且仅当时取等号，故的最小值是4.答案：44若实数x，y满足2x2xyy21，则的最大值为_解析：法一：2x2xyy2(2xy)(xy)，令2xym，xyn，则mn1，当取得最大值时，必有mn0，则，当且仅当mn时取等号，所以的最大值为.法二：当取最大值时，x2y0，且5x22xy2y2(x2y)22(2x2xyy2)(x2y)22，则，当且仅当x2y时取等号，故的最大值为.答案：方法归纳利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”但应注意以下两点：具备条件正数；验证等号成立(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解课时达标训练1(2017山东高考改编)设函数y的定义域为A，函数yln(1x)的定义域为B，则AB_.解析：由题意可知Ax|2x2，Bx|x1，故ABx|2x1答案：x|2x0，则实数a的取值范围是_解析：令f(x)x22(a2)xa，则4(a2)24a4(a1)(a4)(1)若0，则1a0在R上恒成立，符合题意(2)若0，即a1或a4时，f(x)0的解为xa2，显然a1时，不符合题意，当a4时符合题意(3)当0时，即a4时，f(x)0在(，1)(5，)上恒成立，解得3a5.又a4，4a5，综上，实数a的取值范围为(1,5答案：(1,53定义区间(a，b)，a，b)，(a，b，a，b的长度均为dba.用x表示不超过x的最大整数，记xxx，其中xR.设f(x)xx，g(x)x1，若用d表示不等式f(x)g(x)解集区间的长度，则当0x3时，d_.解析：f(x)xxx(xx)xxx2，由f(x)g(x)得xxx2x1，即(x1)xx21.当x0,1)时，x0，不等式的解为x1，不合题意；当x1,2)时，x1，不等式为00，无解，不合题意；当x2,3时，x1，所以不等式(x1)xx21等价于xx1，此时恒成立，所以此时不等式的解为2x3，所以当0x3时，不等式f(x)g(x)解集区间的长度为d1.答案：14(2017南京三模)已知a，b，c为正实数，且a2b8c，则的取值范围为_解析：因为a，b，c为正实数，且a2b8c，所以令x，y，得则作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示令z3x8y，则yx，由图知当直线yx过点A时，截距最大，即z最大，当直线yx与曲线y相切时，截距最小，即z最小解方程组得A(2,3)，zmax328330，设直线yx与曲线y的切点为(x0，y0)，则xx0，即，解得x03.切点坐标为，zmin33827，2730.答案：27,30第3课时导数(基础课)常考题型突破导数的运算及几何意义必备知识1四个易误导数公式(1)(sin x)cos x；(2)(cos x)sin x；(3)(ax)axln a(a0)；(4)(logax)(a0，且a1)2导数的几何意义函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率kf(x0)，相应的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)题组练透1(2016天津高考)已知函数f(x)(2x1)ex，f(x)为f(x)的导函数，则f(0)的值为_解析：因为f(x)(2x1)ex，所以f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex，所以f(0)3e03.答案：32(2017南通海门联考)设函数f(x)的导数为f(x)，且f(x)x22xf(1)，则f(2)_.解析：因为f(x)x22xf(1)，所以f(x)2x2f(1)，令x1，得f(1)22f(1)，解得f(1)2，则f(x)2x4，所以f(2)2240.答案：03(2017徐州检测)如图，直线l是曲线yf(x)在点(4，f(4)处的切线，则f(4)f(4)的值等于_解析：根据题意，由函数的图象可得f(4)5，直线l过点(0,3)和(4,5)，则直线l的斜率k，又由直线l是曲线yf(x)在点(4，f(4)处的切线，则f(4)，则有f(4)f(4).答案：4(2017南通、泰州一调)已知两曲线f(x)2sin x与g(x)acos x，x相交于点P.若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a的值为_解析：由f(x)g(x)，得2sin xacos x，即tan x，a0，设交点P(m，n)，f(x)2sin x的导数为f(x)2cos x，g(x)acos x的导数为g(x)asin x，由两曲线在点P处的切线互相垂直，可得2cos m(asin m)1，且tan m，则1，分子分母同除以cos2m，即有1，即为a21，解得a.答案：方法归纳与切线有关问题的处理策略(1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值，kf(x0)(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.(3)求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0)，则切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.利用导数研究函数的单调性必备知识函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f(x)0f(x)在(a，b)上为增函数，f(x)0f(x)在(a，b)上为减函数题组练透1(2017常州前黄中学国际分校月考)函数yx2sin x在(0,2)内的单调增区间为_解析：令y12cos x0，即cos x，x(0,2)，x.答案：2.定义在R上的可导函数f(x)，已知yef(x)的图象如图所示，则yf(x)的增区间是_解析：由题意及题图知f(x)0的区间是(，2)，故函数yf(x)的增区间是(，2)答案：(，2)3(2017南京三模)若函数f(x)ex(x22xa)在区间a，a1上单调递增，则实数a的最大值为_解析：由题意得，f(x)ex(x22a)0在区间a，a1上恒成立，即x22a0在区间a，a1上恒成立，所以解得1a，所以实数a的最大值为.答案：方法归纳与单调性有关的两类问题的求解策略(1)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0.(2)若已知函数的单调性，则转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题来求解利用导数研究函数的极值(最值)必备知识(1)若在x0附近左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值(2)设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得题组练透1(2017扬州期末)已知x1，x5是函数f(x)cos(x)两个相邻的极值点，且f(x)在x2处的导数f(2)0，解得x1，令f(x)0，解得2x1，所以f(x)在(，2)上单调递增，在(2,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以当x1时，f(x)取得极小值，且f(x)极小值f(1)1.答案：13直线ya分别与曲线y2(x1)，yxln x交于A，B两点，则AB的最小值为_解析：设A(x1，a)，B(x2，a)，则2(x11)x2ln x2，x1(x2ln x2)1，ABx2x1(x2ln x2)1，令y(xln x)1，则y，函数在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，当x1时，函数取得最小值，即ABmin.答案：4(2017南京、盐城模拟)已知函数f(x)ax2xb(a，b均为正数)，不等式f(x)0的解集记为P，集合Qx|2tx2t若对于任意正数t，PQ，则的最大值是_解析：因为集合Q实质上是包含2的一个开区间，在该区间上存在实数满足f(x)0，则f(2)4a2b0,0b4a2，所以.令g(a)，则g(a)，由g(a)0得a1，且当a时，g(a)0，g(a)单调递增，当a(1，)时，g(a)0，g(a)单调递减，则g(a)g(1)，故，即的最大值是.答案：方法归纳研究极值、最值问题应注意的三点(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定注意分析这个零点是不是函数的极值点(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论(3)含参数时，要讨论参数的大小课时达标训练1(2017全国卷)曲线yx2在点(1,2)处的切线方程为_解析：因为y2x，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y|x12111，所以切线方程为y2x1，即xy10.答案：xy102已知曲线f(x)xsin x1在点处的切线与直线axy10互相垂直，则实数a_.解析：f(x)sin xxcos x，由题意，fsincos 1，所以a1.答案：13(2017苏州张家港暨阳中
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