（新课标）2020版高考数学二轮复习 第三部分 教材知识 重点再现 回顾2 函数与导数学案 文 新人教A版

回顾2函数与导数必记知识 函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(x)f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(x)f(x)f(|x|)成立，则f(x)为偶函数)(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值：若f(xT)f(x)(T0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期 指数与对数式的运算公式amanamn；(am)namn；(ab)mambm(a，b0)loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM；alogaNN；logaN(a0且a1，b0且b1，M0，N0) 指数函数与对数函数的对比区分表解析式yax(a0且a1)ylogax(a0且a1)图象定义域R(0，)值域(0，)R单调性0a1时，在R上是增函数0a1时，在(0，)上是增函数 方程的根与函数的零点(1)方程的根与函数零点的关系由函数零点的定义，可知函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标所以，方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(2)函数零点的存在性如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)0且a1)；(ex)ex；(logax)(a0且a1)；(ln x).(2)导数的四则运算(uv)uv；(uv)uvuv；(v0) 导数与极值、最值(1)函数f(x)在x0处的导数f(x0)0且f(x)在x0附近“左正右负”f(x)在x0处取极大值；函数f(x)在x0处的导数f(x0)0且f(x)在x0附近“左负右正”f(x)在x0处取极小值(2)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极值与其端点值中的“最大值”；函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极值与其端点值中的“最小值”.必会结论 函数单调性和奇偶性的重要结论(1)当f(x)，g(x)同为增(减)函数时，f(x)g(x)则为增(减)函数(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性(3)f(x)为奇函数f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数f(x)的图象关于y轴对称(4)偶函数的和、差、积、商是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数，奇函数与偶函数的积、商是奇函数(5)定义在(，)上的奇函数的图象必过原点即有f(0)0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数f(x)0.(6)f(x)f(x)0f(x)为奇函数；f(x)f(x)0f(x)为偶函数 函数的周期性的重要结论周期函数yf(x)满足：(1)若f(xa)f(xa)，则函数的周期为2|a|.(2)若f(xa)f(x)，则函数的周期为2|a|.(3)若f(xa)，则函数的周期为2|a|.(4)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线xa对称，则其周期为2|a|.(5)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线xa对称，则其周期为4|a|. 函数图象对称变换的相关结论(1)yf(x)的图象关于y轴对称的图象是函数yf(x)的图象(2)yf(x)的图象关于x轴对称的图象是函数yf(x)的图象(3)yf(x)的图象关于原点对称的图象是函数yf(x)的图象(4)yf(x)的图象关于直线yx对称的图象是函数yf1(x)的图象(5)yf(x)的图象关于直线xm对称的图象是函数yf(2mx)的图象(6)yf(x)的图象关于直线yn对称的图象是函数y2nf(x)的图象 函数图象平移变换的相关结论(1)把yf(x)的图象沿x轴向左或向右平移|c|个单位长度(c0时向左平移，c0时向上平移，b1)或缩短(0a0)的图象(2)把yf(x)的图象上各点的横坐标伸长(0b1)到原来的倍，而纵坐标不变，得到函数yf(bx)(b0)的图象 常见抽象函数的性质与对应的特殊函数模型的对照表抽象函数的性质特殊函数模型f(xy)f(x)f(y)(xR，yR)；f(xy)f(x)f(y)(xR，yR)正比例函数f(x)kx(k0)f(x)f(y)f(xy)(x，yR)；f(xy)(x，yR，f(y)0)指数函数f(x)ax(a0，a1)f(xy)f(x)f(y)(x0，y0)；f()f(x)f(y)(x0，y0)对数函数f(x)logax(a0，a1)f(xy)f(x)f(y)(x，yR)；f()(x，yR，y0)幂函数f(x)xn 可导函数与极值点之间的三种关系(1)定义域D上的可导函数f(x)在xx0处取得极值的充要条件是f(x0)0，并且f(x)在xx0两侧异号，若“左负右正”，则xx0为极小值点，若“左正右负”，则xx0为极大值点(2)函数f(x)在xx0处取得极值时，它在这点的导数不一定存在，例如函数y|x|，结合图象知它在x0处有极小值，但它在x0处的导数不存在(3)“f(x0)0”是“函数f(x)在xx0处取得极值”的既不充分也不必要条件，要注意对极值点进行检验必练习题1已知函数f(x)若f(a)3，则f(a2)()AB3C或3 D或3解析：选A.当a0时，若f(a)3，则log2aa3，解得a2(满足a0)；当a0时，若f(a)3，则4a213，解得a3，不满足a0，所以舍去于是，可得a2.故f(a2)f(0)421.故选A.2(2019贵州省适应性考试)若log2a0.3，0.3b2，c0.32，则实数a，b，c之间的大小关系为()Aabc BacbCcab Dbac解析：选B.根据题意有a20.3，blog0.32，c0.32，又20.3201，log0.32cb.3(2019济南市学习质量评估)函数yln|x|的图象大致为()解析：选D.令f(x)yln|x|，则f(x)f(x)，故函数为偶函数，排除选项B；当x0且x0时，y，排除选项A；当x2时，y1ln 21ln e0，排除选项C.故选D.4(2019江西七校第一次联考)设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(2，1上的图象，则f(2 018)f(2 019)()A2 B1C1 D0解析：选C.因为函数f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2 018)f(2 0186733)f(1)，f(2 019)f(2 0196733)f(0)，由题中图象知f(1)1，f(0)0，所以f(2 018)f(2 019)f(1)f(0)1.5(2019济南市模拟考试)已知函数f(x)cos(2x)1，则f(x)的最大值与最小值的和为()A0 B1C2 D4解析：选C.由已知得f(x)sin 2x1，因为ysin 2x，y都为奇函数，所以不妨设f(x)在xa处取得最大值，则根据奇函数的对称性可知，f(x)在xa处取得最小值，故f(a)f(a)sin 2a1sin(2a)12.选C.6已知R上的奇函数f(x)满足：当x0时，x0)(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为2，求a的值及在该点处的切线方程；(2)若f(x)是单调函数，求a的取值范围解：(1)f(x)2ax1，易知f(1)2a2，得a1，则f(1)0，所以所求切线方程为y2(x1)，即2xy20.(2)f(x)，x(0，)，当f(x)是单调递增函数时，有f(x)0，即2ax2x10在x(0，)上恒成立，所以2a，令t，t0，则2at2t，t(0，)，则2a(t2t)max，令h(t)t2t(t0)，易知当t时，h(t)取得最大值，h(t)max，则2a，所以a；当f(x)是单调递减函数时，有f(x)0，即2ax2x10在x(0，)上恒成立，因为a0，所以2ax2x10在x(0，)上恒成立是不可能的综上，a的取值范围为.10(2019四省八校双教研联考)已知函数f(x)axaxln x1(aR，a0)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当x1时，求证：1.解：(1)f(x)aa(ln x1)aln x，若a0，则当x(0，1)时，f(x)0，当x(1，)，f(x)0，所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减；若a0，则当x(0，1)时，f(x)0，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增(2)证明：要证1，即证ex，即证1时，xxln x10，即1时，ln x1，则F(x)ex单调递增，所以F(x)F(1)e10，所以F(x)在(1，)上单调递增，所以F(x)F(1)，则F(1)e，所以exln xe0，所以exln x，所以ex ln x，所以原不等式得证- 8 -