（江苏专版）2019版高考数学大一轮复习 第七章 不等式 第40讲 一元二次不等式学案 理

第40讲一元二次不等式考试要求1.从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系(B级要求)；2.求解一元二次不等式(C级要求).诊 断 自 测1.(教材改编)不等式x23x100的解集是_.解析解方程x23x100得x12，x25，由于yx23x10的图象开口向上，所以x23x100的解集为(，2)(5，).答案(，2)(5，)2.(扬州市2018届高三上学期期中)不等式2的解集为_.解析2，即0等价于(1x)x0的解集是，则ab_.解析x1，x2是方程ax2bx20的两个根，解得ab14.答案144.(必修5P78例3改编)某厂生产一批产品，日销售量x(单位：件)与货价p(单位：元/件)之间的关系为p1602x，生产x件所需成本C50030x元.若使得日获利不少于1300元，则该厂日产量所要满足的条件是_.解析由题意得(1602x)x(50030x)1300，解得20x45.答案20，455.(必修5P80习题8改编)若不等式x22xk220对于任意的x2，)恒成立，则实数k的取值范围是_.解析由x22xk220，得k2x22x2，设f(x)x22x2，f(x)(x1)23，当x2，可求得f(x)max2，则k2f(x)max2，所以k或k000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两个相异实根x1，x2(x10(a0)的解集(，x1)(x2，)(，)(，)R一元二次不等式ax2bxc0)的解集(x1，x2)2.常用结论(xa)(xb)0或(xa)(xb)0型不等式的解法不等式解集ab(xa)(xb)0x|xbx|xax|xa(xa)(xb)0x|axbx|bx0(0(0).(2)0(0)f(x)g(x)0(0)且g(x)0.以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式.考点一一元二次不等式及分式不等式的解法【例1】 解下列关于x的不等式.(1)6x25x10，方程6x25x10的解为x1，x21.根据y6x25x1的图象，可得原不等式的解集为.(2)原不等式变形为30，即0，所以原不等式的解集为.规律方法(1)可通过解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数的图象，求出不等式的解集；(2)遇到分式不等式一般有两种方法：方法一是转化变形为0(a0(ab)的形式，方法二是针对分母的正负进行讨论；如第(2)题，就可以转化成或者再分别求解.考点二含参不等式解法【例2】 (1)解关于x的不等式：x2(a1)xa0.(2)解关于x的不等式：ax2(a1)x11时，x2(a1)xa0的解集为x|1xa，当a1时，x2(a1)xa0的解集为，当a1时，x2(a1)xa0的解集为x|ax1.(2)若a0，原不等式等价于x11.若a0，解得x1.若a0，原不等式等价于(x1)0.当a1时，1，(x1)1时，1，解(x1)0，得x1；当0a1，解(x1)0，得1x.综上所述，当a0时，解集为x|x1；当a0时，解集为x|x1；当0a1时，解集为.规律方法含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论.(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.【训练1】 (1)求不等式12x2axa2(aR)的解集.(2)解关于x的不等式kx22xk0(kR).解(1)12x2axa2，12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，得x1，x2.当a0时，解集为；当a0时，x20，解集为x|xR，且x0；当a0时，解集为.综上所述，当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为x|xR，且x0；当a0时，不等式的解集为.(2)当k0时，不等式的解为x0.当k0时，若44k20，即0k1时，不等式的解为x；若0，即k1时，不等式无解.当k0时，若44k20，即1k0时，不等式的解为x或x；若0，即k1时，不等式的解集为R；若0，即k1时，不等式的解集为x|x1.综上所述，k1时，不等式的解集为；0k1时，不等式的解集为；k0时，不等式的解集为x|x0；当1k0时，不等式的解集为；k1时，不等式的解集为x|x1；k1时，不等式的解集为R.考点三三个二次的关系【例3】 已知函数f(x)2x2bxc(b，cR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)m的解集为(n，n10)，求实数m的值.解因为函数f(x)2x2bxc(b，cR)的值域为0，)，所以b28c0，所以c，因为不等式f(x)m的解集为(n，n10)，所以2x2bxm，即2x2bxm0的解集为(n，n10)，设方程2x2bxm0的两根为x1，x2，则x1x2，x1x2，所以|x1x2|10，解得m50.规律方法(1)一元二次不等式解的两个边界就是一元二次方程的根，二次函数的零点，也就是二次函数图象与x轴交点的横坐标.(2)若x1，x2为ax2bxc0(a0)两根，则|x1x2|.考点四一元二次不等式的应用【例4】 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成(1成10%)，售出商品数量就增加x成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式yf(x)，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围.解(1)由题意得y100100.因为售价不能低于成本价，所以100800.即x2，所以yf(x)40(10x)(254x)，定义域为0，2.(2)由题意得40(10x)(254x)10 260，化简得8x230x130，解得x.所以x的取值范围是.规律方法求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系.(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型.(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义.(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.【训练2】 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1x10)，每小时可获得的利润是100(5x1)元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.解(1)根据题意得200(5x1)3 000，整理得5x140，即5x214x30，又1x10，可解得3x10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x的取值范围是3，10.(2)设利润为y元，则y10091049104，故当x6时，ymax457 500元.即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元.一、必做题1.(教材改编)不等式3x25x40的解集为_.解析原不等式变形为3x25x40.因为(5)2434230，所以3x25x40无解.由函数y3x25x4的图象可知3x25x40的解集为.答案2.(教材改编)不等式0的解集为_.解析原不等式等价于即即x1.故原不等式的解集为.答案3.若集合Ax|ax2ax10，则实数a的取值范围是_.解析由题意知a0时，满足条件.当a0时，由得0a4，所以0a4.答案0，44.(2017南京三模)记不等式x2x60的解集为集合A，函数ylg(xa)的定义域为集合B.若“xA”是“xB”的充分条件，则实数a的取值范围为_.解析由题意得A(3，2)，B(a，)，AB，a3.答案(，35.若关于x的不等式x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a_.解析由x22ax8a20，得(x2a)(x4a)0，所以不等式的解集为(2a，4a)，即x24a，x12a，由x2x115，得4a(2a)15，解得a.答案6.已知不等式ax2bx10的解集是，则不等式x2bxa0的解集是_.解析由题意知，是方程ax2bx10的根，所以由根与系数的关系得，.解得a6，b5，不等式x2bxa0即为x25x60，解集为(2，3).答案(2，3)7.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是_.解析由题意得，3 860500500(1x%)500(1x%)227 000，化简得(x%)23x%0.640，解得x%0.2，若x%3.2(舍去).x20，即x的最小值为20.答案208.若不等式2x22axa1有唯一解，则a的值为_解析若不等式2x22axa1有唯一解，则x22axa1有两个相等的实根，所以4a24(a1)0，解得a.答案9.已知f(x)则不等式f(x2x1)12的解集是_.解析由题意得当x0时，f(x)0，且f(x)单调递增；当x0时，f(x)0，且f(x)单调递增，因为020020，所以f(x)在R上单调递增，又f(3)12，所以f(x2x1)12f(x2x1)f(3)x2x131x2.答案(1，2)10.已知关于x的不等式1.(1)当a1时，解该不等式；(2)当a为任意实数时，解该不等式.解(1)当a1时，不等式化为1，化为0，所以1x2，解集为x|1x2.(2)由1，得0，即(ax2)(x1)1，即0a2时，解集为；当2时，解集为；当a0时，解集为x|x1；当a0，解得x2，则A(，4)(2，)，若m4，g(x)x23x4，由x23x40，解得1x4，则B1，4，所以AB(2，4.(2)存在x使得不等式x2(m1)xm1成立，即存在x，使得不等式m成立，所以m，因为xx111，当且仅当x11，即x0时取得等号，所以m1，解得m1.即实数m的取值范围是(，1.11