（江苏专版）2019版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 第31讲 平面向量的综合应用学案 理

第31讲平面向量的综合应用考试要求1.用向量方法解决某些简单的平面几何问题(A级要求)；2.用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题(A级要求).诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)若，则A，B，C三点共线.()(2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决.()(3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算.()(4)在ABC中，若0，则ABC为钝角三角形.()解析(4)中，与的夹角为B，是钝角，只能说明B为锐角.答案(1)(2)(3)(4)2.(教材改编)已知力F(2，3)作用在一物体上，使物体从A(2，0)移动到B(2，3)，则F对物体所做的功为_.解析由已知位移s(4，3)，力F做的功为WFs2(4)331.答案13.已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，4)，B(5，2)，C(1，4)，则这个三角形的形状是_.解析(2，2)，(6，6)，12120，ABC为直角三角形.答案直角三角形4.在四边形ABCD中，(1，2)，(4，2)，则该四边形的面积为_.解析(1，2)(4，2)0，则，故四边形ABCD的对角线互相垂直，面积S|25.答案55.(2018苏州调研)在梯形ABCD中，2，|6，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足40，|，Q为边AD上的一个动点，则|的最小值为_.解析设AB中点为E，则四边形BCDE为平行四边形，且2，所以2，D，E，P三点共线，|6，|2.又33|cosADE|，所以cosADE，sinADE.要使|最小，即PQAD.此时|sinADE.答案知 识 梳 理1.向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题向量共线定理ababx1y2x2y10，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0垂直问题数量积的运算性质abab0x1x2y1y20，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos (为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|，其中a(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题.2.平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决.(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即WFs|F|s|cos (为F与s的夹角).3.向量在三角函数中的应用与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型.解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识.4.向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体.考点一平面向量在平面几何中的应用【例1】 (1)在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点.若1，则AB的长为_.(2)(2017苏、锡、常、镇调研(二)在ABC中，ABAC，AB，ACt，P是ABC所在平面内一点，若，则PBC面积的最小值为_.解析(1)由题意，可知，.因为1，所以()1，即221.因为|1，BAD60，所以|，因此式可化为1|21，解得|0(舍去)或，所以AB的长为.(2)以A为坐标原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系，则P(1，4)，C(t，0)，B，BC：ty1，xt2yt0，SPBC|4t1|21|，PBC面积的最小值为.答案(1)(2)规律方法向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.【训练1】 (1)在ABC中，已知向量与满足0，且，则ABC的形状为_三角形.(2)在ABC中，若，则点O是ABC的_(从“重心”“垂心”“内心”“外心”中选填一个).解析(1)，分别为平行于，的单位向量，由平行四边形法则可知为BAC的平分线.因为0，所以BAC的平分线垂直于BC，所以ABAC.又cosBAC，所以cosBAC，又0BAC，故BAC，所以ABC为等边三角形.(2)，()0，0，OBCA，即OB为ABC底边CA上的高所在直线.同理0，0，故O为ABC的垂心.答案(1)等边(2)垂心考点二向量在解析几何中的应用【例2】 (1)(2018南京、盐城模拟)已知向量(k，12)，(4，5)，(10，k)，且A，B，C三点共线，当k0时，若k为直线的斜率，则过点(2，1)的直线方程为_.(2)(2018江苏大联考)已知P为单位圆O上的点，M，N为圆x2y216上两点，函数f(x)|x|(xR)，若函数f(x)的最小值为t，且当点P在单位圆上运动时，t的最大值为3，则线段MN的长度为_.解析(1)(4k，7)，(6，k5)，且，(4k)(k5)670，解得k2或k11.由k0可知k2，则过点(2，1)且斜率为2的直线方程为y12(x2)，即2xy30.(2)f(x)，tdPMN，由题意得(dPMN)max3，因此dOMN2，MN24.答案(1)2xy30(2)4规律方法向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题；(2)工具作用，利用abab0；abab(b0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.【训练2】 (1)(2018盐城模拟)如图所示，半圆的直径AB6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则()的最小值为_.(2)设O为坐标原点，C为圆(x2)2y23的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足0，则_.解析(1)圆心O是直径AB的中点，2，()2，与共线且方向相反，当大小相等时，乘积最小.由条件知，当POPC时，最小值为2.(2)0，OMCM，OM是圆的切线，设OM的方程为ykx，由，得k，即.答案(1)(2)考点三向量的其他应用(多维探究)命题角度1向量在物理中的应用【例31】 如图，一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F1，F2成60角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为_.解析如题图所示，由已知得F1F2F30，则F3(F1F2)，即FFF2F1F2FF2|F1|F2|cos 6028.故|F3|2.答案2命题角度2向量在不等式中的应用【例32】 已知x，y满足若(x，1)，(2，y)，且的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是_.解析因为(x，1)，(2，y)，所以2xy，令z2xy，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，观察图象可知，当目标函数z2xy过点C(1，1)时，zmax2113，目标函数z2xy过点F(a，a)时，zmin2aa3a，所以383a，解得a.答案命题角度3向量在解三角形中的应用【例33】 (2018苏北三市(连云港、徐州、宿迁)调研)已知ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且C，c2，当取得最大值时，的值为_.解析C.BACAA，由得bsinB sin2cos Asin A；bccos A2cos A4cos2Asin Acos A4sin 2A22cos 2Asin 2A2sin2.ABc，0A0)的图象上任意一点，过M点向直线yx和y轴作垂线，垂足分别是A，B，则_.解析由题意可得AMB135.设M(x0)，则|，所以|cos 135x2.答案24.(2018江苏六校联考)在ABC中，已知AB8，AC6，点O为三角形的外心，则_.解析由点O为三角形的外心，可设AB，AC的中点分别为M，N，则MOAB，ONAC，从而()0，即0，所以232，同理()0，即0，所以218，所以()(18)(32)14.答案145.(2018江苏大联考)已知ABC为等边三角形，AB2，设点P，Q满足，(1)，R，若，则_.解析因为，所以()()2(1)2(1)22cos 6044(1)(1)22cos 602222，解得.答案6.(2017泰州中学第二次质量检测)已知ABC中，BC2，G为ABC的重心，且满足AGBG，则ABC的面积的最大值为_.解析以为x轴的正半轴，BC的中点为坐标原点建立直角坐标系，则B(1，0)，C(1，0)，设A(x，y)，由G为ABC的重心，得G，所以，由AGBG，得0，所以x23xy20，即y2，所以|y|，故SABCBCh|y|(h为BC边上的高)，所以ABC的面积的最大值为.答案7.(2017南京、盐城二模)在ABC中，BAC120，AB4.若点D在边BC上，且2，AD，则AC的长为_.解析由2得2()，又AD，所以，即244228，因为ABC中，BAC120，AB4，所以168|4|228，从而|3(|1舍去).答案38.(2018苏北四市调研)对任意两个非零向量，定义.若平面向量a，b满足|a|b|0，a与b的夹角，且ab和ba都在集合中，则ab_.解析设abcos ，则bacos ，两式相乘，可得cos2，因为，所以k1，k2都是正整数，cos21，即2k1k20，所以k13，k21，ab.答案9.(2017南京高三第三次模拟)已知向量a(2cos ，sin2)，b(2sin ，t)，.(1)若ab，求t的值；(2)若t1，且ab1，求tan的值.解(1)因为向量a(2cos ，sin2)，b(2sin ，t)，且ab，所以cos sin ，tsin2.由cos sin 得(cos sin )2，即12sin cos ，从而2sin cos .所以(cos sin )212sin cos .因为，所以cos sin .所以sin ，从而tsin2.(2)因为t1，且ab1，所以4sin cos sin21，即4sin cos cos2.因为，所以cos 0，从而tan .所以tan 2.所以tan.10.(2018南通调研)已知向量m，n.(1)若mn1，求cos的值；(2)记f(x)mn，在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2ac)cos Bbcos C，求f(A)的取值范围.解mnsin cos cos2sin cos sin.(1)mn1，sin，cos12sin2，coscos.(2)(2ac)cos Bbcos C，由正弦定理得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C，2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C，2sin Acos Bsin(BC).ABC，sin(BC)sin A，且sin A0，cos B，B.0A.，sin1.又f(x)mnsin，f(A)sin，故1f(A).故f(A)的取值范围是.二、选做题11.(2018江苏押题卷)在平面内，6，动点P，M满足|2，则|2的最大值是_.解析由已知易得ABC是等边三角形且边长为 2，设O是ABC的中心，则|2.以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(2，0)，B(1，)，C(1，).设P(x，y)，由已知|2，得(x2)2y24，M，|2，它表示圆(x2)2y24上的点P(x，y)与点B(1，3)的距离的平方的，|max228，(|)16.答案1612.(2018苏州期中)如图，半径为1，圆心角为的圆弧上有一点C.(1)当C为圆弧的中点时，D为线段OA上任一点，求|的最小值；(2)当C在圆弧上运动时，D，E分别为线段OA，OB的中点，求的取值范围.解以O为原点，以为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，(1)设D(t，0)(0t1)，C，所以，所以|2tt2t2t1(0t1)，当t时，|的最小值为.(2)设(cos ，sin )，0，E，则(cos ，sin ).又因为D，所以，所以sin，因为0，所以，所以sin1，1，则sin.所以.16