2022年高中数学（北师大版）选修1-1教案：第2章知识拓展：由椭圆离心率求法探讨最大角的应用

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2022年高中数学（北师大版）选修1-1教案：第2章知识拓展：由椭圆离心率求法探讨最大角的应用例：设椭圆的左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使，求离心率e的取值范围。常见解法有：解法1：利用曲线范围设P（x，y），又知，则将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得解法2：利用基本不等式由椭圆定义，有，平方后得解法3：利用最大角范围由已知可知椭圆的最大角范围为，所以又很显然第三种解法最为简单，但是什么是最大角呢？它又如何使用呢？由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”，如图：即是。当p为椭圆上任意一点时，则当P在位置时，最大。此时在中，最大角还可以快速解决一些其他问题：1.为上的一点，则为直角的点有_个2.上有4个点使为直角，则的范围是_总结：，综合应用椭圆的对称性，上面的两个问题就很好解决，第一题中由于，故满足题意的P点有两个，第二题中由于M点有四个，故最大角应该大于，此时，即再回到开始时的例题若改为：如果椭圆上存在点P，使，则离心率e的取值范围又是多少？此时最大角范围应该，则，又，所以。

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