2022年高三数学上学期10月月考试题 文(II)

2022年高三数学上学期10月月考试题 文(II)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合M=x|x2+x20，则MN=（）A （1，1）B （2，1）C （2，1）D （1，2）2已知i是虚数单位，设复数z1=13i，z2=32i，则在复平面内对应的点在（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3已知向量，的夹角为45，且|=1，|2|=，则|=（）A B 2C 3D 44已知sin+cos=（0），则sincos的值为（）A B C D 5已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A 10B 8C 6D 46下列命题错误的是（）A 命题“若x21，则1x1”的逆否命题是若x1或x1，则x21B “am2bm2”是”ab”的充分不必要条件C 命题p：存在x0R，使得x02+x0+10，则p：任意xR，都有x2+x+10D 命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题7已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（）A B C D 8为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B（如图），要测算A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC=50m，ABC=105，BCA=45，就可以计算出A，B两点的距离为（）A 50mB 50mC 25mD m9已知函数y=xf（x）的图象如图（其中f（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象可能是（）A B C D 10已知直线l，m，平面，且l，m，给出下列四个命题：若，则lm；若lm，则；若，则lm；若lm，则其中正确命题的个数是（）A 0B 1C 2D 311已知函数f（x）=满足对任意的实数x1x2都有0成立，则实数a的取值范围为（）A （，2）B （，C （，2D ，则方程2|x|=cos2x所有实数根的个数为（）A 2B 3C 4D 5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=的最小值为14已知x0，y0，若+m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是15已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若AB=AA1=2，AC=1，BAC=60，则此球的表面积等于16下面四个命题：已知函数且f（a）+f（4）=4，那么a=4；要得到函数的图象，只要将y=sin2x的图象向左平移单位；若定义在（，+）上的函数f（x）满足f（x+1）=f（x），则f（x）是周期函数；已知奇函数f（x）在（0，+）为增函数，且f（1）=0，则不等式f（x）0解集x|x1其中正确的是三、解答题：本大题共5小题，共计70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17设等差数列an的前n项和为Sn，且（c是常数，nN*），a2=6（）求c的值及数列an的通项公式；（）证明：18在四棱锥PABCD中，ABC=ACD=90，BAC=CAD=60，PA平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2（1）若F为PC的中点，求证：PC平面AEF；（2）求四棱锥PABCD的体积V19已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示（）求函数f（x）的解析式；（）若，求cos的值20如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC（1）求证：平面AB1C1平面AC1；（2）若AB1A1C，求线段AC与AA1长度之比；（3）若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE平面AB1C1？若存在，试确定点E的位置；若不存在，请说明理由21设函数f（x）=axlnx，g（x）=exax，其中a为正实数（l）若x=0是函数g（x）的极值点，讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）在（1，+）上无最小值，且g（x）在（1，+）上是单调增函数，求a的取值范围；并由此判断曲线g（x）与曲线y=ax2ax在（1，+）交点个数参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合M=x|x2+x20，则MN=（）A （1，1）B （2，1）C （2，1）D （1，2）考点：交集及其运算专题：集合分析：首先化简集合M和N，然后根据交集的定义求出MN即可解答：解：x2+x20即（x+2）（x1）0解得：2x1M=x|2x1解得：x1N=x|x1MN=（2，1）故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础2已知i是虚数单位，设复数z1=13i，z2=32i，则在复平面内对应的点在（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限考点：复数代数形式的乘除运算专题：数系的扩充和复数分析：直接把复数z1，z2代入，然后利用复数代数形式的除法运算化简求值，求出在复平面内对应的点的坐标，则答案可求解答：解：z1=13i，z2=32i，=，则在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第四象限故选：D点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3已知向量，的夹角为45，且|=1，|2|=，则|=（）A B 2C 3D 4考点：平面向量数量积的运算；向量的模专题：平面向量及应用分析：将|2|=平方，然后将夹角与|=1代入，得到|的方程，解方程可得解答：解：因为向量，的夹角为45，且|=1，|2|=，所以424+2=10，即|22|6=0，解得|=3或|=（舍）故选：C点评：本题解题的关键是将模转化为数量积，从而得到所求向量模的方程，利用到了方程的思想4已知sin+cos=（0），则sincos的值为（）A B C D 考点：同角三角函数间的基本关系专题：计算题分析：将已知等式左右两边平方，利用同角三角函数间的基本关系化简，求出2sincos的值，再将所求式子平方，利用完全平方公式展开，并利用同角三角函数间的基本关系化简，把2sincos的值代入，开方即可求出值解答：解：将已知的等式左右两边平方得：（sin+cos）2=，sin2+2sincos+cos2=1+2sincos=，即2sincos=，（sincos）2=sin22sincos+cos2=12sincos=，0，sincos，即sincos0，则sincos=故选B点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及完全平方公式的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键5已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A 10B 8C 6D 4考点：等比数列的性质专题：等差数列与等比数列分析：由题意可得，a3=a1+4，a4=a1+6，根据 （a1+4）2=a1 （a1+6），求得a1的值从而得解解答：解：由题意可得，a3=a1+4，a4=a1+6a1，a3，a4成等比数列，（a1+4）2=a1 （a1+6），a1=8，a2等于6，故选：C点评：本题考查等差数列的通项公式，等比数列的定义，求出a1的值是解题的难点6下列命题错误的是（）A 命题“若x21，则1x1”的逆否命题是若x1或x1，则x21B “am2bm2”是”ab”的充分不必要条件C 命题p：存在x0R，使得x02+x0+10，则p：任意xR，都有x2+x+10D 命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题考点：命题的真假判断与应用专题：简易逻辑分析：对于A，写出逆否命题，比照后可判断真假；对于B，利用必要不充分条件的定义判断即可；对于C，写出原命题的否定形式，判断即可对于D，根据复合命题真值表判断即可；解答：解：命题“若x21，则1x1”的逆否命题是若x1或x1，则x21，故A正确；“am2bm2”ab”为真，但”ab”“am2bm2”为假（当m=0时不成立），故“am2bm2”是”ab”的充分不必要条件，故B正确；命题p：存在x0R，使得x02+x0+10，则p：任意xR，都有x2+x+10，故C正确；命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”中至少有一个是真命题，故D错误，故选：D点评：本题借助考查命题的真假判断，考查充分条件、必要条件的判定及复合命题的真假判定7已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（）A B C D 考点：简单空间图形的三视图；由三视图求面积、体积专题：计算题分析：由题意可得侧视图为三角形，且边长为边长为1的正三角形的高线，高等于正视图的高，分别求解代入三角形的面积公式可得答案解答：解：边长为1的正三角形的高为=，侧视图的底边长为，又侧视图的高等于正视图的高，故所求的面积为：S=故选A点评：本题考查简单空间图形的三视图，涉及三角形面积的求解，属基础题8为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B（如图），要测算A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC=50m，ABC=105，BCA=45，就可以计算出A，B两点的距离为（）A 50mB 50mC 25mD m考点：正弦定理的应用专题：计算题分析：由题意及图知，可先求出BAC，再由正弦定理得到AB=代入数据即可计算出A，B两点的距离解答：解：由题意及图知，BAC=30，又BC=50m，BCA=45由正弦定理得AB=50m故选A点评：本题考查利用正弦定理求长度，是正弦定理应用的基本题型，计算题9已知函数y=xf（x）的图象如图（其中f（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象可能是（）A B C D 考点：利用导数研究函数的单调性专题：导数的概念及应用分析：根据函数y=xf（x）的图象，依次判断f（x）在区间（，1），（1，0），（0，1），（1，+）上的单调性即可解答：解：由函数y=xf（x）的图象可知：当x1时，xf（x）0，f（x）0，此时f（x）增；当1x0时，xf（x）0，f（x）0，此时f（x）减；当0x1时，xf（x）0，f（x）0，此时f（x）减；当x1时，xf（x）0，f（x）0，此时f（x）增综上所述，y=f（x）的图象可能是B，故选：B点评：本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，同时考查了分类讨论的思想，属于基础题10已知直线l，m，平面，且l，m，给出下列四个命题：若，则lm；若lm，则；若，则lm；若lm，则其中正确命题的个数是（）A 0B 1C 2D 3考点：等差数列的性质专题：综合题分析：利用直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系逐一判断，成立的证明，不成立的可举出反例解答：解；l，l，又m，lm，正确由lm推不出l，错误当l，时，l可能平行，也可能在内，l与m的位置关系不能判断，错误l，lm，m，又m，故选C点评：本题主要考查显现，线面，面面位置关系的判断，属于概念题11已知函数f（x）=满足对任意的实数x1x2都有0成立，则实数a的取值范围为（）A （，2）B （，C （，2D ，故选：B点评：本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档12己知x，则方程2|x|=cos2x所有实数根的个数为（）A 2B 3C 4D 5考点：根的存在性及根的个数判断专题：数形结合；函数的性质及应用分析：在同一坐标系内作出函数f（x）=2|x|，g（x）=cos2x的图象，根据图象交点的个数，可得方程解的个数解答：解：在同一坐标系内作出函数f（x）=2|x|，g（x）=cos2x的图象根据函数图象可知，图象交点的个数为5个方程2|x|=cos2x所有实数根的个数为5个故选D点评：本题考查方程解的个数，考查函数图象的作法，考查数形结合的数学思想，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=的最小值为1考点：简单线性规划专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论解答：解：z的几何意义为区域内点到点G（0，1）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，AG的斜率最小，由解得，即A（2，1），则AG的斜率k=，故答案为：1点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及直线斜率的计算，利用数形结合是解决本题的关键14已知x0，y0，若+m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是4m2考点：函数恒成立问题；基本不等式专题：计算题分析：根据题意，由基本不等式的性质，可得+2=8，即+的最小值为8，结合题意，可得m2+2m8恒成立，解可得答案解答：解：根据题意，x0，y0，则0，0，则+2=8，即+的最小值为8，若+m2+2m恒成立，必有m2+2m8恒成立，m2+2m8m2+2m80，解可得，4m2，故答案为4m2点评：本题考查不等式的恒成立问题与基本不等式的应用，关键是利用基本不等式求出+的最小值15已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若AB=AA1=2，AC=1，BAC=60，则此球的表面积等于8考点：球的体积和表面积专题：计算题分析：通过已知体积求出底面外接圆的半径，确定球心为O的位置，求出球的半径，然后求出球的表面积解答：解：在ABC中AB=AA1=2，AC=1，BAC=60，可得BC=，可得ABC外接圆半径r=1，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，三棱柱为直三棱柱，侧面BAA1B1是正方形它的中心是球心O，球的直径为：BA1=2，球半径R=，故此球的表面积为4R2=8故答案为：8点评：本题是中档题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力16下面四个命题：已知函数且f（a）+f（4）=4，那么a=4；要得到函数的图象，只要将y=sin2x的图象向左平移单位；若定义在（，+）上的函数f（x）满足f（x+1）=f（x），则f（x）是周期函数；已知奇函数f（x）在（0，+）为增函数，且f（1）=0，则不等式f（x）0解集x|x1其中正确的是考点：命题的真假判断与应用专题：综合题；简易逻辑分析：已知函数，分a0，a0，利用f（a）+f（4）=4，即可求出a；要得到函数的图象，只要将y=sin2x的图象向左平移单位；利用f（x）满足f（x+1）=f（x），可得f（x+2）=f（x+1）=f（x），所以f（x）是以2为周期的周期函数；已知奇函数f（x）在（0，+）为增函数，且f（1）=0，则f（1）=0，在（，0）为增函数，即可解不等式f（x）0解答：解：已知函数，a0时，f（a）+f（4）=4，那么a=4；a0时，f（a）+f（4）=4，那么a=4，故不正确；要得到函数的图象，只要将y=sin2x的图象向左平移单位，故不正确；若定义在（，+）上的函数f（x）满足f（x+1）=f（x），则f（x+2）=f（x+1）=f（x），所以f（x）是周期函数，周期为2；已知奇函数f（x）在（0，+）为增函数，且f（1）=0，则f（1）=0，在（，0）为增函数，不等式f（x）0等价于f（x）f（1）或f（x）f（1），解集x|x1x|0x1，故不正确故答案为：点评：本题考查命题的真假的判断，考查分段函数，函数的图象变换，周期性，奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共计70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17设等差数列an的前n项和为Sn，且（c是常数，nN*），a2=6（）求c的值及数列an的通项公式；（）证明：考点：等差数列的前n项和；数列的求和专题：计算题；证明题分析：（）根据，令n=1代入求出a1，令n=2代入求出a2，由a2=6即可求出c的值，由c的值即可求出首项和公差，根据首项和公差写出等差数列的通项公式即可；（）利用数列的通项公式列举出各项并代入所证不等式的坐标，利用=（），把各项拆项后抵消化简后即可得证解答：解：（）解：因为，所以当n=1时，解得a1=2c，当n=2时，S2=a2+a2c，即a1+a2=2a2c，解得a2=3c，所以3c=6，解得c=2，则a1=4，数列an的公差d=a2a1=2，所以an=a1+（n1）d=2n+2；（）因为=因为nN*，所以点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，会利用拆项法进行数列的求和，是一道综合题18在四棱锥PABCD中，ABC=ACD=90，BAC=CAD=60，PA平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2（1）若F为PC的中点，求证：PC平面AEF；（2）求四棱锥PABCD的体积V考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定专题：空间位置关系与距离分析：（1）在RtABC，BAC=60，可得AC=2AB，PA=CA，又F为PC的中点，可得AFPC利用线面垂直的判定与性质定理可得：CDPC利用三角形的中位线定理可得：EFCD于是EFPC即可证明PC平面AEF（2）利用直角三角形的边角关系可得BC，CDSABCD=利用V=，即可得出解答：（1）证明：在RtABC，BAC=60，AC=2AB，PA=2AB，PA=CA，又F为PC的中点，AFPCPA平面ABCD，PACDACCD，PAAC=A，CD平面PACCDPCE为PD中点，F为PC中点，EFCD则EFPCAFEF=F，PC平面AEF（2）解：在RtABC中，AB=1，BAC=60，BC=，AC=2在RtACD中，AC=2，CAD=60，CD=2，AD=4SABCD=则V=点评：本题考查了线面垂直的判定与性质定理、三角形的中位线定理、直角三角形的边角关系、四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示（）求函数f（x）的解析式；（）若，求cos的值考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；三角函数的恒等变换及化简求值专题：作图题；综合题分析：（I）观察图象可得函数的最值为1，且函数先出现最大值可得A=1；函数的周期T=，结合周期公式T=可求；由函数的图象过（）代入可得（II）由（I）可得f（x）=sin（2x+），从而由f（）=，代入整理可得sin（）=，结合已知0a，可得cos（+）=，利用，代入两角差的余弦公式可求解答：解：（）由图象知A=1f（x）的最小正周期T=4（）=，故=2将点（，1）代入f（x）的解析式得sin（+）=1，又|，=故函数f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+）（）f（）=，即sin（）=，注意到0a，则，所以cos（+）=又cos=cos（+）cos+sin（+）sin=点评：本题主要考查了（i）由三角函数的图象求解函数的解析式，其步骤一般是：由函数的最值求解A，（但要判断是先出现最大值或是最小值，从而判断A的正负号）由周期求解=，由函数图象上的点（一般用最值点）代入求解；（ii）三角函数的同角平方关系，两角差的余弦公式，及求值中的拆角的技巧，要掌握常见的拆角技巧：2=（+）+（）2=（+）（）=（+）=（+）20如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC（1）求证：平面AB1C1平面AC1；（2）若AB1A1C，求线段AC与AA1长度之比；（3）若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE平面AB1C1？若存在，试确定点E的位置；若不存在，请说明理由考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定专题：证明题；空间位置关系与距离分析：（1）由于已知，可得B1C1CC1，又ACBC，可得B1C1A1C1，从而B1C1平面AC1，又B1C1平面AB1C1，从而平面AB1C1平面AC1（2）由（1）知，B1C1A1C，若AB1A1C，则可得：A1C平面AB1C1，从而A1CAC1，由于ACC1A1是矩形，故AC与AA1长度之比为1：1（3）证法一：设F是BB1的中点，连结DF、EF、DE则易证：平面DEF平面AB1C1，从而DE平面AB1C1证法二：设G是AB1的中点，连结EG，则易证EGDC1即有DEC1G，DE平面AB1C1解答：解：（1）由于ABCA1B1C1是直三棱柱，所以B1C1CC1；又因为ACBC，所以B1C1A1C1，所以B1C1平面AC1由于B1C1平面AB1C1，从而平面AB1C1平面AC1（2）由（1）知，B1C1A1C所以，若AB1A1C，则可得：A1C平面AB1C1，从而A1CAC1由于ACC1A1是矩形，故AC与AA1长度之比为1：1（3）点E位于AB的中点时，能使DE平面AB1C1证法一：设F是BB1的中点，连结DF、EF、DE则易证：平面DEF平面AB1C1，从而DE平面AB1C1证法二：设G是AB1的中点，连结EG，则易证EGDC1所以DEC1G，DE平面AB1C1点评：本题主要考察了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，属于基本知识的考查21设函数f（x）=axlnx，g（x）=exax，其中a为正实数（l）若x=0是函数g（x）的极值点，讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）在（1，+）上无最小值，且g（x）在（1，+）上是单调增函数，求a的取值范围；并由此判断曲线g（x）与曲线y=ax2ax在（1，+）交点个数考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性专题：计算题；导数的综合应用分析：（1）求出g（x）的导数，令它为0，求出a=1，再求f（x）的导数，令它大于0或小于0，即可得到单调区间；（2）求出f（x）的导数，讨论a的范围，由条件得到a1，再由g（x）的导数不小于0在（1，+）上恒成立，求出ae，令即a=，令h（x）=，求出导数，求出单调区间，判断极值与e的大小即可解答：解：（1）由g（x）=exa，g（0）=1a=0得a=1，f（x）=xlnxf（x）的定义域为：（0，+），函数f（x）的增区间为（1，+），减区间为（0，1）（2）由若0a1则f（x）在（1，+）上有最小值f（），当a1时，f（x）在（1，+）单调递增无最小值g（x）在（1，+）上是单调增函数g（x）=exa0在（1，+）上恒成立ae，综上所述a的取值范围为，此时即a=，令h（x）=，h（x）=，则 h（x）在（0，2）单调递减，（2，+）单调递增，极小值为故两曲线没有公共点点评：本题考查导数的综合应用：求单调区间，求极值和最值，考查分类讨论的思想方法，曲线与曲线交点个数转化为函数极值或最值问题，属于中档题