（浙江专版）2019版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何初步 第7节 空间角的计算学案 理

第7节空间角的计算最新考纲1.能用几何方法解决空间角问题；2.了解向量方法在研究立体几何空间角问题中的应用知 识 梳 理1求异面直线所成的角(1)(几何法)通过作平行线化为三角形求解(2)(向量法)设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则a与b的夹角l1与l2所成的角范围(0，)求法cos cos |cos |2.求直线与平面所成的角(1)(几何法)通过直线在平面上的射影求解，其步骤为“一作、二证、三计算”(2)(向量法)设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，则sin |cosa，n|3求二面角的大小(1)(几何法)通过一个面的垂线或垂面先作出二面角的平面角，然后加以证明和计算(2)(向量法)如图，AB，CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小_，如图，n1，n2 分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos |cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)常用结论与微点提醒1异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角2线面角的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin |cosa，n|，不要误记为cos |cosa，n|.3二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面，的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补诊 断 自 测1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角()(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是0，()答案(1)(2)(3)(4)2(选修21P104练习2改编)已知两平面的法向量分别为m(0，1，0)，n(0，1，1)，则两平面所成的二面角为()A45 B135C45或135 D90解析cosm，n，即m，n45.两平面所成二面角为45或18045135.答案C3在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A. B. C. D.解析建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设BC2，则B(0，2，0)，A(2，0，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，所以(1，1，2)，(1，0，2)，故BM与AN所成角的余弦值cos .答案C4(2018舟山测试)平面的斜线与平面所成的角是35，则此斜线与平面内所有不过斜足的直线所成的角的范围是()A035B090C3590 D3590解析设平面的斜线的斜足为B，过斜线上A点作平面的垂线，垂足为C，则ABC35，当内的直线与BC平行时，直线与斜线所成的角为35；当内的直线与BC垂直时，则此直线与平面ABC垂直，直线与斜线所成的角为90；当内的直线与BC既不平行也不垂直时，直线与斜线所成的角满足3590.答案D5已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若 cosm，n，则l与所成的角为_解析设l与所成角为，cosm，n， sin | cosm，n|，090，30.答案306过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为_解析如图，建立空间直角坐标系，设ABPA1，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，由题意，AD平面PAB，设E为PD的中点，连接AE，则AEPD，又CD平面PAD，CDAE，从而AE平面PCD.所以(0，1，0)，分别是平面PAB，平面PCD的法向量，且，45.故平面PAB与平面PCD所成的二面角为45.答案45考点一求异面直线所成的角【例1】 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中点已知AB2，AD2，PA2.求：(1)PCD的面积(2)(一题多解)异面直线BC与AE所成的角的大小解(1)因为PA底面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD.又ADCD，PAADA，所以CD平面PAD，又PD平面PAD，从而CDPD.因为PD2，CD2，所以PCD的面积为222. (2)法一如图1，取PB中点F，连接EF，AF，则EFBC，从而AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角图1在AEF中，由于EF，AF，AEPC2.所以AF2EF2AE2，AFE，则AEF是等腰直角三角形，所以AEF.因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是.法二如图2，建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，C(2，2，0)，E(1，1)，(1, ，1)，(0，2，0)图2设与的夹角为，则cos ，所以.由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是.规律方法(1)几何法求异面直线所成的角关键是根据定义构成三角形求解(2)利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：选好基底或建立空间直角坐标系；求出两直线的方向向量v1，v2；代入公式|cosv1，v2|求解；取锐角或直角【训练1】 (1)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2，BAD60，PAAB，则PB与AC所成角的余弦值为()A. B.C. D.(2)(2018浙江五校联考)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在A1C上运动(包括端点)，则BP与AD1所成角的取值范围是()A. B.C. D.解析(1)延长DA到E，使AEDA，连接BE，PE，则AE綉BC，四边形AEBC为平行四边形，BEAC，PBE就是直线PB与AC所成的角在PAE中，PA2，AE2，PAAE，PE2，BEAC2，PB2，cosPBE.(2)建立如图坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1棱长为1，则(1，0，1)，(1，1，1)设(，)，其中01.则(，1，1)又设BP与AD1所成角为，所以cos |cos，|.由01得cos ，而0，所以.答案(1)C(2)D考点二求直线与平面所成的角【例2】 (2018浙江“超级全能生”联考)如图，在梯形ABCD中，ABCD，ADCDCBa，ABC60，平面ACFE平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AEa，点M在线段EF上，且MF2EM.(1)求证：AM平面BDF；(2)(一题多解)求直线AM与平面BEF所成角的余弦值(1)证明在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCBa，ABC60，四边形ABCD是等腰梯形，且DCADAC30，DCB120，ACBDCBDCA90，ACBC.又ACBDa，AB2a.设AC与BD交于点N，NBCNBA30，由角平分线定理知2，连接FN，则ANMF且ANMF，四边形AMFN是平行四边形，AMNF，又NF平面BDF，AM平面BDF，AM平面BDF.(2)解法一由题知ACEF，点A到平面BEF的距离等于点C到平面BEF的距离，过点C作BF的垂线交BF于点H，ACCF，ACBC，BCCFC，AC平面BCF，即EF平面BCF，CHEF，又CHBF，EFBFF，CH平面BEF.在RtBCF中，CHa，在AEM中，AMa，直线AM与平面BEF所成角的正弦值为，即直线AM与平面BEF所成角的余弦值为.法二以C为坐标原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，F(0，0，a)，E(a，0，a)，M，(a，0，0)，(0，a，a)，设平面BEF的法向量为m(x，y，z)，取y1，则有m(0，1，1)设直线AM与平面BEF所成的角为，sin ，即直线AM与平面BEF所成角的余弦值为.规律方法求线面角的方法：(1)几何法求线面角的步骤是“一作、二证、三计算”，转化为三角形求解(2)向量法(或坐标法)求线面角，分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)，注意范围是.【训练2】 (2018浙东北教联一模)如图，已知四棱锥PABCD的底面是菱形，BAD，ABPD2，PBPC.(1)求证：平面PBC平面ABCD；(2)(一题多解)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值(1)证明如图，取BC的中点M，连接PM，DM，DB，则BCD和PBC分别是等边三角形、等腰直角三角形，故PMBC，DMBC，且PM1，DM，所以DM2PM2PD2，故PMDM，又BCDMM，所以PM平面ABCD.又PM平面PBC，从而平面PBC平面ABCD.图1(2)解法一如图1，在平面ABP内，过点P作直线PB的垂线交AB的延长线于点Q，过点M作AB的垂线交AB的延长线于点N，过点C作PQ的垂线交PQ于点E，连接PN，CQ.由于PQPB，PCPB，PQPCP，则PB平面PQC，又PB平面PAB，则平面PQC平面PAB，又CEPQ，平面PQC平面PABPQ，则CE平面PAB，CPE是直线PC与平面PAB所成角由于MNAB，BM1，则BN，MN.又PM平面ABCD，则PMAB，又MNAB，MNPMM，所以AB平面PMN，则ABPN，在RtPMN中，PN，则在RtPBN中，tan PBN，PB，从而在RtBPQ中，PQ，BQ4，CQ2.在PQC中，PC2QC2PQ2，即CPCQ，则CE，sinCPE.法二如图2，建立空间直角坐标系Mxyz.图2则P(0，0，1)，A(，2，0)，B(0，1，0)，C(0，1，0)，(，1，0)，(0，1，1)，(0，1，1)，设平面ABP的法向量为n(x，y，z)，则即令x1，得y，z，即n(1，)设直线PC与平面PAB所成角的平面角为，则sin ，即直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.考点三求二面角【例3】 (一题多解)(2017山东卷)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是的中点(1)设P是上的一点，且APBE，求CBP的大小；(2)当AB3，AD2时，求二面角EAGC的大小解(1)因为APBE，ABBE，AB，AP平面ABP，ABAPA，所以BE平面ABP，又BP平面ABP，所以BEBP，又EBC120，图1因此CBP30.(2)法一如图1，取的中点H，连接EH，GH，CH.因为EBC120，所以四边形BEHC为菱形，所以AEGEACGC.取AG的中点M，连接EM，CM，EC，则EMAG，CMAG，所以，EMC为所求二面角的平面角又AM1，所以EMCM2.在BEC中，由于EBC120，由余弦定理得EC22222222cos 12012，所以EC2，因此EMC为等边三角形，故所求的角为60.法二以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图2所示的空间直角坐标系图2由题意得A(0，0，3)，E(2，0，0)，G(1，3)，C(1，0)，故(2，0，3)，(1，0)，(2，0，3)设m(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量由可得取z12，可得平面AEG的一个法向量m(3，2)设n(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量由可得取z22，可得平面ACG的一个法向量n(3，2)所以cosm，n.因此所求的角为60.规律方法(1)几何法求二面角的步骤是“一作、二证、三计算”注意利用二面角一个平面的垂线、垂面找(作)平面角(2)利用向量计算二面角大小的常用方法：找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小【训练3】 如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAB底面ABCD，底面ABCD为矩形，PAPB，O为AB的中点，ODPC.(1)求证：OCPD；(2)(一题多解)若PD与平面PAB所成的角为30，求二面角DPCB的余弦值(1)证明如图，连接OP.PAPB，O为AB的中点，OPAB.侧面PAB底面ABCD，OP平面ABCD，OPOD，OPOC.ODPC，OD平面OPC，ODOC，又OPOC，OPODO，OC平面OPD，OCPD.(2)解法一在矩形ABCD中，由(1)得ODOC，AB2AD，不妨设AD1，则AB2.侧面PAB底面ABCD，底面ABCD为矩形，DA平面PAB，CB平面PAB，DPACPB，DPA为直线PD与平面PAB所成的角，DPA30，CPB30，PAPB，DPCP2，PDC为等边三角形设PC的中点为M，连接DM，则DMPC.在RtCBP中，过M作NMPC，交PB于点N，连接ND，则DMN为二面角DPCB的一个平面角由于CPB30，PM1，故在RtPMN中，MN，PN.cosAPB，AN2323，ND2314，cosDMN，即二面角DPCB的余弦值为.法二取CD的中点E，以O为原点，OE，OB，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.在矩形ABCD中，由(1)得ODOC，AB2AD，不妨设AD1，则AB2.侧面PAB底面ABCD，底面ABCD为矩形，DA平面PAB，CB平面PAB，DPACPB，DPA为直线PD与平面PAB所成的角，DPA30，CPB30，PAPB，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D(1，1，0)，P(0，0，)，从而(1，1，)，(0，2，0)设平面PCD的法向量为n1(x1，y1，z1)，由得可取n1(，0，1)同理，可取平面PCB的一个法向量为n2(0，1)于是cosn1，n2，二面角DPCB的余弦值为.基础巩固题组一、选择题1(2018浙江名校三联)直三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长都相等，M是A1C1的中点，N是BB1的中点，则AM与NC1所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析不妨设该直三棱柱的棱长为2，取AC的中点E，连接C1E，NE，则C1EAM，所以C1E与C1N所成的角即为AM与NC1所成的角易得C1EC1N，NE2，在NEC1中，由余弦定理得cosNC1E.答案B2(2018宁波月考)已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CD的中点，则直线AF与平面A1D1F所成角的正弦值为()A. B.C. D.解析如图所示，取AB的中点G，连接GF，A1G，AE，设A1GAEH，连接HF.设正方体的棱长为a，因为G，F分别为AB，DC的中点，所以GF綉A1D1，所以平面A1D1F即平面A1D1FG.在RtA1AG与RtABE中，因为A1AAB，AGBE，所以RtA1AGRtABE，所以GA1AEAG.因为GA1AA1GA90，所以EAGA1GA90，即AEA1G，又GFAE，A1GGFG，所以AE平面A1D1F，所以HFA是直线AF与平面A1D1F所成的角在RtA1AG中，AG，A1Aa，所以AHa，又AFa，所以sinHFA.答案B3(2018浙江三市联考)已知矩形ABCD，ADAB，沿直线BD将ABD折成ABD，使点A在平面BCD上的射影在BCD内(不含边界)设二面角ABDC的大小为，直线AD，AC与平面BCD所成的角分别为，则()A BC D解析如图，作AEBD于E，AO平面BCD于O，连接OE，OD，OC，易知AEO，ADO，ACO.在矩形ABCD中，作AEBD于E，延长AE交BC于F，则点O必落在EF上由ADAB知，OECFOCtan tan ，又，均为锐角，得.答案D4(2018杭州学军中学模拟)如图，正方形ABCD与正方形BCEF所成的二面角的大小是，PQ是正方形BCEF所在平面内的一条动直线，则直线BD与PQ所成角的取值范围是()A. B.C. D.解析由直线在平面中的平移可知，求直线BD与PQ的夹角，即求PQ的平行线与BD的夹角，故过点D作平面BCEF的垂线，垂足为H，又两个平面的夹角为，所以H为CE的中点，连接BH，则由题意条件可知，BD与BH的夹角，即DBH为BD与平面BCEF中所有直线的夹角的最小值因为四边形ABCD与四边形BCEF均为正方形，且BC为公共边，所以可设两个正方形的边长均为1，则BD，又两个平面的夹角为，即HCD，又DHC，所以在等腰直角三角形CHD中，DHHCCD，又在RtBHD中，BD，DH，所以DBH.易知在平面BCEF中存在直线lBH，又DHl，BHDHH，则l平面BDH，所以lBD，即存在与BD垂直的直线PQ.综上，故选A.答案A5(2018绍兴检测)过正四面体ABCD的顶点A作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面BCD所成的角为75，这样的截面有()A6个 B12个C16个 D18个解析如图，正四面体ABCD中，因为过点A的截面是等腰三角形，若AEAF，则截面与底面BCD所成的角为75有如下情形如图所示，在高线的两侧的截面AE1F1、截面AE2F2与底面BCD所成的角为75(E1F1，E2F2与BC平行)，同理截面的一边与CD平行也有2个，与BD平行也有2个，共有6个若AEEF，同理也有6个若EFAF，同理也有6个综上所述，满足题意的截面共有18个，故选D.答案D6(2017浙江卷)如图，已知正四面体DABC(所有棱长均相等的三棱锥)，P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，APPB，2，分别记二面角DPRQ，DPQR，DQRP的平面角为，则()A BC D解析如图，作出点D在底面ABC上的射影O，过点O分别作PR，PQ，QR的垂线OE，OF，OG，连接DE，DF，DG，则DEO，DFO，DGO.由图可知安们的对边都是DO，只需比较EO，FO，GO的大小即可如图，在AB边上取点P，使AP2PB，连接OQ，OR，则O为QRP的中心设点O到QRP三边的距离为a，则OGa，OFOQsinOQFOQsinOQPa，OEORsinOREORsinORPa，OFOGOE，.答案B二、填空题7在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于_解析以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图设AA12AB2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，2)，则(0，1，0)，(1，1，0)，(0，1，2)设平面BDC1的一个法向量为n(x，y，z)，则n，n，所以有令y2，得平面BDC1的一个法向量为n (2，2，1)设CD与平面BDC1所成的角为，则sin |cosn，|.答案8(2017温州月考)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角大小为_；直线EF与底面ABC所成角的大小为_解析以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系设ABBCAA12，则C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，则(0，1，1)，(2，0，2)，2，cos，EF和BC1所成的角为60；FB平面ABC，BFBE1，FEB为直线EF与底面ABC的夹角且为45.答案60459已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于_解析延长FE，CB相交于点G，连接AG，如图所示设正方体的棱长为3，则GBBC3，作BHAG于点H，连接EH，则EHB为所求二面角的平面角BH，EB1，tanEHB.答案10如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，所有的棱长均为2，M是AB的中点，动点P在底面A1B1C1内，若BP平面A1MC，记PCC1，则sin 的取值范围是_解析如图，取A1B1的中点D，连接BD，C1D，BC1，则BDA1M，又A1M平面A1MC，BD平面A1MC，所以BD平面A1MC，又C1DCM，C1D平面A1MC，CM平面A1MC，所以C1D平面A1MC，又BDC1DD，所以平面BC1D平面A1MC，所以点P在线段C1D上，点P的轨迹的长度C1D，连接CD，在RtCDC1中，0C1CD，CD，sinC1CD，所以0sin .答案三、解答题11(2018绍兴一中调研)如图，在空间几何体ABCDE中，正方形ABCD所在的平面与RtABE所在的平面互相垂直，AEB90，且AB2，AE1.(1)求证：平面ADE平面BCE；(2)求直线AB与平面BCE所成角的大小；(3)求异面直线AB与CE所成角的余弦值(1)证明平面ABCD平面ABE，BCAB，平面ABCD平面ABEAB，BC平面ABE.AE平面ABE，AEBC，又AEBE，BC，BE平面BCE，BCBEB，AE平面BCE.AE平面ADE，平面ADE平面BCE.(2)解由(1)知AE平面BCE，EB为AB在平面BCE内的射影，ABE为直线AB与平面BCE所成的角在RtABE中，sinABE，ABE30，即直线AB与平面BCE所成角的大小为30.(3)解ABCD，DCE为异面直线AB与CE所成的角AEB90，且AB2，AE1，DCBCAD2，CE，DE，故cosDCE，异面直线AB与CE所成角的余弦值为.12(2018温州模拟)如图，三棱柱ABCA1B1C1所有的棱长均为2，A1B，A1BAC.(1)(一题多解)求证：A1C1B1C；(2)求直线AC和平面ABB1A1所成角的余弦值(1)证明法一取AC的中点O，连接A1O，BO，BOAC，A1BAC，A1BBOB，A1B平面A1BO，BO平面A1BO，AC平面A1BO，连接AB1交A1B于点M，连接OM，则B1COM，又OM平面A1BO，ACOM，ACB1C，A1C1AC，A1C1B1C.法二连接AB1，BC1，四边形A1ABB1是菱形，A1BAB1，又A1BAC，AB1ACA，A1B平面AB1C，A1BB1C，又四边形B1BCC1是菱形，BC1B1C，又A1BBC1B，B1C平面A1BC1，B1CA1C1.(2)解A1BAB1，A1BAC，A1B平面AB1C，平面AB1C平面ABB1A1，平面AB1C平面ABB1A1AB1，AC在平面ABB1A1内的射影落在AB1上，B1AC为直线AC和平面ABB1A1所成的角AB12AM2，在RtACB1中，cosB1AC，直线AC和平面ABB1A1所成角的余弦值为.能力提升题组13.如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A. B.C. D.解析不妨令CB1，则CACC12，可得O(0，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，A(2，0，0)，B1(0，2，1)，(0，2，1)，(2，2，1)，cos，0.与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.答案A14在正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且 SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是()A30 B45 C60 D90解析如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa.则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(a，0，0)，P.则(2a，0，0)，(a，a，0)，设平面PAC的一个法向量为n(x，y，z)，则解得可取n(0，1，1)，则 cos，n，又，n(0，180)，n60，直线BC与平面PAC所成的角为906030.答案A15(2016浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD，ABBC3，CD1，AD，ADC90，沿直线AC将ACD翻折成ACD，直线AC与BD所成角的余弦的最大值是_解析设直线AC与BD所成角为，平面ACD翻折的角度为，设O是AC中点，由已知得AC，如图，以OB为x轴，OA为y轴，过O与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A，B，C，作DHAC于H，翻折过程中，DH始终与AC垂直，CH，则OH，DH，因此可设D，则，与平行的单位向量为n(0，1，0)，所以cos |cos，n|，所以cos 1时，cos 取最大值.答案16如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90.(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM平面PBE，并说明理由；(2)(一题多解)若二面角PCDA的大小为45，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值解(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行延长AB，DC，相交于点M(M平面PAB)，点M即为所求的一个点理由如下：由已知，知BCED，且BCED.所以四边形BCDE是平行四边形从而CMEB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM平面PBE.(说明：延长AP至点N，使得APPN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)法一由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以CD平面PAD.从而CDPD.所以PDA是二面角PCDA的平面角所以PDA45.设BC1，则在RtPAD中，PAAD2.过点A作AHCE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知PA平面ABCD，从而PACE.于是CE平面PAH.所以平面PCE平面PAH.过A作AQPH于Q，则AQ平面PCE.所以APH是PA与平面PCE所成的角在RtAEH中，AEH45，AE1，所以AH.在RtPAH中，PH，所以sinAPH.所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.法二由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以CD平面PAD.于是CDPD.从而PDA是二面角PCDA的平面角所以PDA45.由PAAB，可得PA平面ABCD.设BC1，则在RtPAD中，PAAD2.作AyAD，以A为原点，以，的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，C(2，1，0)，E(1，0，0)，所以(1，0，2)，(1，1，0)，(0，0，2)，设平面PCE的一个法向量为n(x，y，z)，由得设x2，解得n(2，2，1)设直线PA与平面PCE所成角为，则sin .所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.17(2016浙江卷)如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3.(1)求证：BF平面ACFD；(2)(一题多解)求二面角BADF的平面角的余弦值(1)证明延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示因为平面BCFE平面ABC，平面BCFE平面ABCBC，且ACBC，所以，AC平面BCK，因此BFAC.又因为EFBC，BEEFFC1，BC2，所以BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BFCK，且CKACC，所以BF平面ACFD.(2)解法一过点F作FQAK于Q，连接BQ.因为BF平面ACK，所以BFAK，则AK平面BQF，所以BQAK.所以BQF是二面角BADF的平面角在RtACK中，AC3，CK2，得FQ.在RtBQF中，FQ，BF，得cosBQF.所以，二面角BADF的平面角的余弦值为.法二如图，延长AD，BE，CF相交于一点K，则BCK为等边三角形取BC的中点O，则KOBC，又平面BCFE平面ABC，平面BCFE平面ABCBC，所以KO平面ABC.以点O为原点，分别以射线OB，OK的方向为x，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意得B(1，0，0)，C(1，0，0)，K(0，0，)，A(1，3，0)，E，F.因此，(0，3，0)，(1，3，)，(2，3，0)设平面ACK的法向量为m(x1，y1，z1)，平面ABK的法向量为n(x2，y2，z2)由得取m(，0，1)；由得取n(3，2，)于是，cosm，n.所以，二面角BADF的平面角的余弦值为.28