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专题八概率与统计、算法、推理与证明、复数命题观察高考定位(对应学生用书第32页)1(2017江苏高考)已知复数z(1i)(12i)，其中i是虚数单位，则z的模是_法一：z(1i)(12i)12ii213i，|z|.法二：|z|1i|12i|.2(2017江苏高考)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_件18，应从丙种型号的产品中抽取30018(件)3(2017江苏高考)图81是一个算法流程图若输入x的值为，则输出y的值是_图812输入x，1不成立，执行y2log2242.故输出y的值为2.4(2017江苏高考)记函数f (x)的定义域为D.在区间4,5上随机取一个数x，则xD的概率是_由6xx20，解得2x3，D2,3如图，区间4,5的长度为9，定义域D的长度为5，P.5(2016江苏高考)已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是_0.1这组数据的平均数为(4.74.85.15.45.5)5.1，S2(4.75.1)2(4.85.1)2(5.15.1)2(5.45.1)2(5.55.1)20.1.6(2016江苏高考)复数z(12i)(3i)，其中i为虚数单位，则z的实部是_5z(12i)(3i)55i，故z的实部是5.7(2016江苏高考)如图82是一个算法的流程图，则输出的a的值是_. 【导学号：56394053】图829第一次循环：a5，b7，第二次循环：a9，b5，此时ab循环结束a9.8(2016江苏高考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是_点数小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为.命题规律(1)随机事件的概率、复数、算法程序框图、推理证明在高考中多以填空题的形式考查，并且常与统计知识放在一块考查；(2)借助古典概型考查互斥事件、对立事件的概率求法考查古典概型概率公式的应用，尤其是古典概型与互斥、对立事件的综合问题更是高考的热点在解答题中古典概型常与统计相结合进行综合考查，考查学生分析和解决问题的能力，难度以中档题为主；(3)考查以样本的分布估计总体的分布(以样本的频率估计总体的频率、以样本的特征数估计总体的特征数)主干整合归纳拓展(对应学生用书第32页)第1步 核心知识再整合1随机事件的概率(1)随机事件的概率范围：0P(A)1；必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0.(2)古典概型的概率：P(A)；(3)几何概型的概率：P(A)；(4)互斥事件的概率加法公式：P(AB)P(A)P(B)；对立事件的概率减法公式：P()1P(A)2直方图的三个常用结论(1)小长方形的面积组距频率；(2)各长方形的面积和等于1；(3)小长方形的高.3统计中的四个数据特征(1)众数、中位数；(2)样本平均数；(3)样本方差；(4)样本标准差4线性回归方程线性回归方程为ybxa，一定经过样本中心点(，)5循环结构的两种基本类型(1)当型循环：当给定的条件成立时，反复执行循环体，直至条件不成立为止；(2)直到型循环：先第一次执行循环体，再判断给定的条件是否成立，若成立，跳出循环体；否则，执行循环体，直至条件第一次不成立为止循环结构一般用于一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和、累乘求积等问题常常用循环结构来解决6合情推理(1)归纳推理；(2)类比推理7演绎推理直接证明：综合法，分析法，反证法，数学归纳法8复数的相关概念，复数的几何意义，复数的四则运算9复数重要性质i1i，i21, i3i，i41. i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i.第2步 高频考点细突破古典概型与几何概型【例1】(1)(江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试) 现有4名学生A，B，C，D平均分乘两辆车，则“A，B两人恰好乘坐在同一辆车”的概率为_(2)(2017江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知1是集合(x，y)|x2y21所表示的区域，2是集合(x，y)|y|x|所表示的区域，向区域1内随机的投一个点，则该点落在区域2内的概率为_解析(1)4名学生A，B，C，D平均分乘两辆车共有六种坐法：(AB，CD)，(AC，BD)，(AD，BC)，(BC，AD)，(BD，AC)，(CD，AB)，其中“A，B两人恰好乘坐在同一辆车”包含两种坐法，因此所求概率为.(2) 不等式x2y21表示的平面区域为1，面积为；2是集合(x，y)|y|x|所表示的区域，对应的面积为，所求概率为.答案(1)(2)规律方法(1)解决古典概型问题，关键是弄清楚基本事件的总数n以及某个事件A所包含的基本事件的个数m，然后由公式P(A)来求概率；(2)几何概型解决的关键在于把所有基本事件转化为与之对应的区域；(3)对于较复杂的互斥事件可先分解为基本事件，然后用互斥事件的概率加法公式求解举一反三(江苏省南京市2017届高考三模)甲盒子中有编号分别为1,2的两个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3,4,5,6的四个乒乓球现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为_. 【导学号：56394054】分别从每个盒子中随机地取出1个乒乓球，可能出现以下情况：(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(2,6)、共8种情况，其中编号之和大于6的有：167,257,268，共3种情况，取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为.抽样方法【例2】(江苏省扬州市2017届高三上学期期末)某学校共有师生3 200人，先用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是_解析学校共有师生3 200人，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，每个个体被抽到的概率是，学校的教师人数为1020200.答案200规律方法类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽取的机会均等从总体中逐个抽取总体中的个体数较少系统抽样将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体中的个体数较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成(1)当总体中的个体数较多，并且没有明显的层次差异时，可用系统抽样的方法，把总体分成均衡的几部分，按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到需要的样本(2)在利用系统抽样时，经常遇到总体容量不能被样本容量整除的情况，这时可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除举一反三(无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测)某工厂生产甲、乙、丙、丁4类产品共计1 200件，已知甲、乙、丙、丁4类产品的数量之比为1245，现要用分层抽样的方法从中抽取60件，则乙类产品抽取的件数为_10由题设乙类产品抽取的件数为6010.用样本估计总体【例3】(2017届高三七校联考期中考试)某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩(均为整数)分成六段：40,50)，50,60)，90,100后得到频率分布直方图(如下图83所示)，则分数在70,80)内的人数是_图83解析由频率分布直方图知小长方形面积为对应区间概率，所有小长方形面积和为1，因此分数在70,80)内的概率为1(0.0250.01520.0100.005)100.3，人数为0.310030.答案30规律方法(1)利用频率分布直方图估计样本的数字特征中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和众数：在频率分布直方图中，众数是最高的矩形底边的中点的横坐标(2)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定举一反三(江苏省南京市2017届高考三模)如图84是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定(方差较小)的那名运动员的得分的方差为_图84根据茎叶图中的数据，计算甲的平均数为1(7791418)11，乙的平均数为2(89101315)11；根据茎叶图中的数据知乙的成绩波动性小，较为稳定(方差较小)，计算乙成绩的方差为：s2(811)2(911)2(1011)2(1311)2(1511)2.程序框图的执行【例4】(2017江苏省泰州市高考数学一模)如图85是一个算法的流程图，则输出的n的值为_图85解析当n1，a1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a5，n3；满足进行循环的条件，执行循环后，a17，n5；不满足进行循环的条件，退出循环，故输出n值为5.答案5规律方法此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题(3)按照题目的要求完成解答并验证举一反三(江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟)如图86是一个算法流程图，则输出的x的值是_【导学号：56394055】图869第一次循环：x5，y7，第二次循环：x9，y5，结束循环，输出x9.伪代码的执行【例5】(2017江苏省盐城市高考数学二模)根据如下所示的伪代码，输出S的值为_解析模拟执行程序，可得S1，I1，满足条件I8，S2，I3；满足条件I8，S5，I5；满足条件I8，S10，I7；满足条件I8，S17，I9；不满足条件I8，退出循环，输出S的值为17.答案17规律方法读懂伪代码的关键是正确理解五种语句的功能及执行过程，特别是循环结构中的条件注意“While”语句与“For”语句的区别举一反三(江苏省南京市2017届高考三模)执行如下所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入x的值为_1由程序语句知：算法的功能是求f (x)的值，当x0时，y2x11，解得x1，不合题意，舍去；当x0时，y2x21，解得x1，应取x1；综上，x的值为1.归纳推理【例6】用火柴棒摆“金鱼”，如图87所示：图87按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数是_解析由题意得：“金鱼”图需要火柴棒的根数依次构成一个等差数列，首项为8，公差为6，因此第n项为6n2.答案6n2规律方法归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，所得的结论未必是正确的，但是对于数学家的发现、科学家的发明，归纳推理却是十分有用的，通过观察、实验对有限的资料作出归纳整理，提出带有规律性的猜想. 归纳推理也是数学研究的独特方法之一举一反三一个非空集合中的各个元素之和是3的倍数，则称该集合为“好集”记集合 1,2,3，3n的子集中所有“好集”的个数为f (n)(1)求f (1)，f (2)的值；(2)求f (n)的表达式解(1)当n1时，集合1,2,3的子集中“好集”有3，1,2，1,2,3，共3个，易得f (1)3；当n2时，集合1,2,3,4,5,6的子集中是“好集”的有：单元集：3，6共2个，双元集：1,2，1,5，2,4，4,5，3,6共5个，三元集有：1,2,3，1,2,6，1,3,5，1,5,6，4,2,3，4,2,6，4,3,5，4,5,6共8个，四元集有3,4,5,6，2,3,4,6，1,3,5,6，1,2,3,6，1,2,4,5共5个，五元集有1,2,4,5,6，1,2,3,4,5共2个，还有一个全集故f (2)1(25)2823.(2)首先考虑f (n1)与f (n)的关系集合1,2,3，3n,3n1,3n2,3n3在集合1,2,3，3n中加入3个元素3n1,3n2,3n3.故f (n1)的组成有以下几部分：原有的f (n)个集合；含有元素3n1的“好集”是1,2,3，3n中各元素之和被3除余2的集合，含有元素是3n2的“好集”是1,2,3，3n中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n3的“好集”是1,2,3，3n中各元素之和被3除余0的集合，合计是23n；含有元素是3n1与3n2的“好集”是1,2,3，3n中各元素之和被3除余0的集合，含有元素是3n2与3n3的“好集”是1,2,3，3n中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n1与3n3的“好集”是1,2,3，3n中各元素之和被3除余2的集合，合计是23n；含有元素是3n1,3n2,3n3的“好集”是1,2,3，3n中“好集”与它的并集，再加上3n1,3n2,3n3所以，f (n1)2 f (n)223n1.两边同除以2n1，得4n，所以4n14n241， 即f (n)2n1.类比推理【例7】在平面几何里，有勾股定理“设ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2AC2BC2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、ABD两两相互垂直，则_解析根据平面几何与空间几何中相应量的类比特点，将三棱锥ABCD的三个两两相互垂直的侧面ABC、ACD、ABD类比为平面几何中直角ABC的直角边AB、AC，将三棱锥ABCD的底面BCD类比为直角ABC的斜边BC，在勾股定理中，用相应的三棱锥的面积替换直角三角形的边长得SSSS.答案SSSS规律方法类比推理主要是找出两类事物的共性，一般的类比有以下几种：线段的长度平面几何中平面图形的面积立体几何中立体图形的体积的类比；等差数列与等比数列的类比，等差数列中两数相加类比到等比数列中两数相乘，等差数列中两数的差类比到等比数列中两数相除在类比的时候还需注意，有些时候不能将式子的结构改变，只需将相应的量进行替换举一反三对于命题：如果O是线段AB上一点，则0；将它类比到平面的情形是：若O是ABC内一点，有SOBCSOCASOBA0；将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有_. 【导学号：56394056】VOBCDVOACDVOABDVOABC0根据线性几何中的长度、平面几何中平面图形的面积以及立体几何中相应几何体体积的类比特点以及题中等式的特点，得到在立体几何中：若O是四面体ABCD内一点，则有VOBCDVOACDVOABDVOABC0.间接证明【例8】设数列an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和(1)求证：数列Sn不是等比数列；(2)数列Sn是等差数列吗？为什么？证明(1)假设数列Sn是等比数列，则SS1S3；即a(1q)2a1a1(1qq2)，因为a10，所以(1q)21qq2，即q0，这与公比q0矛盾，所以数列Sn不是等比数列(2)当q1时，Snna1，故Sn是等差数列；当q1时，Sn不是等差数列，否则2S2S1S3，即2a1(1q)a1a1(1qq2)，得q0，这与公比q0矛盾综上，当q1时，数列Sn是等差数列；当q1时，Sn不是等差数列规律方法用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的用反证法证明数学命题的答题模板：第一步：分清命题“pq”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定q；第三步：由p和q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于所作的假设q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题举一反三直线ykxm(m0)与椭圆W：y21相交于A，C两点，O是坐标原点(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形解(1)因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分所以可设A，代入椭圆方程得1，即t.所以|AC|2.(2)证明：假设四边形OABC为菱形因为点B不是W的顶点，且ACOB，所以k0.设AC的方程为ykxm，k0，m0.由消y并整理得(14k2)x28kmx4m240. 设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则，km.所以AC的中点为M.因为M为AC和OB的交点，且m0，k0，所以直线OB的斜率为.因为k1，所以AC与OB不垂直，所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形.复数【例9】(江苏省南京市2017届高考三模)若复数z满足z232i，其中i为虚数单位，为复数z的共轭复数，则复数z的模为_解析设zabi，则abi，由z232i，得3abi32i，a1，b2，|z|.答案规律方法处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理(1)复数相等是一个重要概念，它是复数问题实数化的重要工具，通过复数的代数形式，借助两个复数相等，可以列出方程(组)来求未知数的值(2)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法对于复数概念、几何意义等相关问题的求解，其核心就是要将复数化为一般形式，即zabi(a，bR)，实部为a，虚部为b.(1)复数的概念：z为实数b0；z为纯虚数a0且b0；z为虚数b0.(2)复数的几何意义：zabiz在复平面内对应的点Z(a，b)z在复平面对应向量(a，b)；复数z的模|z|abi|.(3)共轭复数：复数zabi与abi互为共轭复数举一反三(2017江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知i是虚数单位，复数z13yi(yR)，z22i，且1i，则y_.1复数z13yi(yR)，z22i，且1i，1i，化为：3yi(2i)(1i)3i，y1.第3步 高考易错明辨析1忽视判别式适用的前提求实数m的取值范围，使方程x2(m4i)x(12mi)0至少有一个实根错解由于方程x2(m4i)x(12mi)0至少有一根，则(m4i)24(12mi)m2200，解得m2或m2，故实数m的取值范围是.错解分析忽略了0判断一元二次方程使用的情形，利用的符号来判断一元二次方程是否存在实根的前提是实系数一元二次方程正解设x2(m4i)x(12mi)0的一个实数根为a(aR)，则a2(m4i)a(12mi)0，即(a2am1)(4a2m)i0，根据复数相等得， 解得 或故m2.2忽视对循环结构的合理分析如果执行如图88所示的程序框图，那么输出的S_.图88错解S1231005 050.错解分析缺乏对循环结构的合理分析，没有注意到循环结构中变量S的计算公式SS2k，没有注意到每次加上的2k为偶数，从而对算法程序框图的理解错误，导致运算错误正解由程序框图可知，算法表示的是计算100以内所有正偶数的和，即S2461002 550.专家预测巩固提升(对应学生用书第38页)1(改编题)高三年级有男生480人，女生360人，若用分层抽样的方法从高三年级学生中抽取一个容量为21的样本，则抽取男生的人数为_12设抽取男运动员人数为n，则，解之得n12.2(原创题)已知函数f (x)cos，a为抛掷一颗骰子所得的点数，则函数f (x)在0,4上零点的个数大于或等于5的概率为_由已知函数f (x)在0,4上零点的个数大于或等于5等价于函数f (x)的周期小于或等于2，即2，a3，a3,4,5,6，而所有的a值共6个，故所求的概率为P.3(原创题) 以下茎叶图89记录了甲、乙两组各六名同学在某次考试中的数学成绩(百分制)乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，但是知道甲组的中位数小于乙组的中位数，若图中的模糊数字用a表示，则a的值为_图898或9由已知可得，a8或a9.4(原创题)在复数集C上定义运算“”：当|z1|z2|时，z1z2；当|z1|z2|时，z1z2z1z2，若z113i，z21i，z33i，则复数(z1z2)z3在复平面内所对应的点位于第_象限. 【导学号：56394057】一z113i，z21i，则|z1|，|z2|，所以z1z22i，且|z1z2|，|z3|3i|，因此(z1z2)z3(2i)(3i)7i，所对应的点的坐标为(7,1)，故复数(z1z2)z3在复平面内所对应的点位于第一象限5(原创题)执行如图810所示的算法程序框图，若输出的y值满足y，则输入的x值的取值范围是_图810(，1(0，由算法框图可知对应的函数为y当x0时，y2x，令y，即2x，解得x1，当x0时，ylog2x，令y，即log2x，解得0x.综上所述，输入的x值的取值范围是(，1(0，16
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