2022年高考数学大二轮总复习 增分策略 第四篇 第6讲 解析几何

2022年高考数学大二轮总复习 增分策略 第四篇 第6讲 解析几何1直线的倾斜角与斜率(1)倾斜角的范围为0，)(2)直线的斜率定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即ktan (90)；倾斜角为90的直线没有斜率；斜率公式：经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线的斜率为k(x1x2)；直线的方向向量a(1，k)；应用：证明三点共线：kABkBC.问题1(1)直线的倾斜角越大，斜率k就越大，这种说法正确吗？(2)直线xcos y20的倾斜角的范围是_2直线的方程(1)点斜式：已知直线过点(x0，y0)，其斜率为k，则直线方程为yy0k(xx0)，它不包括垂直于x轴的直线(2)斜截式：已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程为ykxb，它不包括垂直于x轴的直线(3)两点式：已知直线经过P1(x1，y1)、P2(x2，y2)两点，则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线(4)截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a，b，则直线方程为1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线(5)一般式：任何直线均可写成AxByC0(A，B不同时为0)的形式问题2已知直线过点P(1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为_3点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P(x0，y0)到直线AxByC0的距离为d；(2)两平行线l1：AxByC10，l2：AxByC20间的距离为d.问题3两平行直线3x2y50与6x4y50间的距离为_4两直线的平行与垂直(1)l1：yk1xb1，l2：yk2xb2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l1l2k1k2；l1l2k1k21.(2)l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则有l1l2A1B2A2B10且B1C2B2C10；l1l2A1A2B1B20.特别提醒：(1)、仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件；(2)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线问题4设直线l1：xmy60和l2：(m2)x3y2m0，当m_时，l1l2；当m_时，l1l2；当_时l1与l2相交；当m_时，l1与l2重合5圆的方程(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2.(2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，只有当D2E24F0时，方程x2y2DxEyF0才表示圆心为(，)，半径为的圆问题5若方程a2x2(a2)y22axa0表示圆，则a_.6直线、圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系直线l：AxByC0和圆C：(xa)2(yb)2r2(r0)有相交、相离、相切可从代数和几何两个方面来判断：代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：0相交；0相离；0相切；几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则dr相离；dr相切(2)圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，则当|O1O2|r1r2时，两圆外离；当|O1O2|r1r2时，两圆外切；当|r1r2|O1O2|r1r2时，两圆相交；当|O1O2|r1r2|时，两圆内切；当0|O1O2|b0)；焦点在y轴上，1(ab0)(2)双曲线的标准方程：焦点在x轴上，1(a0，b0)；焦点在y轴上，1(a0，b0)(3)与双曲线1具有共同渐近线的双曲线系为(0)(4)抛物线的标准方程焦点在x轴上：y22px(p0)；焦点在y轴上：x22py(p0)问题8与双曲线1有相同的渐近线，且过点(3,2)的双曲线方程为_9(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|或|P1P2|.(3)过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于C(x1，y1)、D(x2，y2)，则焦半径|CF|x1；弦长|CD|x1x2p；x1x2，y1y2p2.问题9已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为_例1已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是_错因分析本题易出现的错误有两个：一是利用导函数的几何意义求出曲线在点P处的切线的斜率之后，不能利用基本不等式求出斜率的取值范围；二是混淆直线倾斜角的取值范围以及直线的倾斜角和斜率之间的关系，不能求出倾斜角的取值范围解析设曲线在点P处的切线斜率为k，则ky，因为ex0，所以由基本不等式，得k又k0，所以1k0，即1tan 0.所以.答案，)易错点2忽视直线的特殊位置例2已知l1：3x2ay50，l2：(3a1)xay20.求使l1l2的a的值错因分析本题易出现的问题是忽视直线斜率不存在的特殊情况，即忽视a0的情况解当直线斜率不存在，即a0时，有l1：3x50，l2：x20，符合l1l2；当直线斜率存在时，l1l2a，经检验，a符合题意故使l1l2的a的值为或0.易错点3焦点位置考虑不全例3已知椭圆1的离心率等于，则m_.错因分析本题易出现的问题就是误以为给出方程的椭圆，其焦点在x轴上导致漏解该题虽然给出了椭圆的方程，但并没有确定焦点所在坐标轴，所以应该根据其焦点所在坐标轴进行分类讨论解析当椭圆的焦点在x轴上时，则由方程，得a24，即a2.又e，所以c，mb2a2c222()21.当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的方程为1.则由方程，得b24，即b2.又e，故，解得，即a2b，所以a4.故ma216.综上，m1或16.答案1或16易错点4忽视“判别式”致误例4已知双曲线x21，过点A(1,1)能否作直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由错因分析只利用根与系数的关系考虑中点坐标，而忽视直线与双曲线相交于两点的条件解设被A(1,1)所平分的弦所在直线方程为yk(x1)1.代入双曲线方程x21，整理得，(2k2)x22k(k1)x32kk20，由4k2(k1)24(2k2)(2k3k2)0，解得k，故不存在被点A(1,1)平分的弦易错点5求离心率范围忽视特殊情况例5双曲线1 (a0，b0)的两个焦点为F1、F2，若P为双曲线上一点，且|PF1|2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为_错因分析忽视P为双曲线右顶点的情况，导致离心率范围缩小解析设|PF2|m，F1PF2 (0)，当点P在右顶点处时，.e3.当时，由条件，得|PF1|2m，|F1F2|2m2(2m)24m2cos ，且|PF1|PF2|m2a.所以e.又1cos 1，所以e(1,3)综上，e(1,3答案(1,3易错点6定点问题意义不明例6已知抛物线y24x的焦点为F，过F作两条相互垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N.求证：直线MN恒过定点错因分析直线恒过定点是指无论直线如何变动，必有一个定点的坐标适合这条直线的方程，问题就归结为用参数把直线的方程表示出来，无论参数如何变化这个方程必有一组常数解本题容易出错的地方有两个：一是在用参数表示直线MN的方程时计算错误；二是在得到了直线系MN的方程后，对直线恒过定点的意义不明，找错方程的常数解证明由题设，知F(1,0)，直线AB的斜率存在且不为0，设lAB：yk(x1)(k0)，代入y24x，得k2x22(k22)xk20，得xM，又yMk(xM1)，故M(，)因为CDAB，所以kCD.以代k，同理，可得N(2k21，2k)所以直线MN的方程为(2k21)(y2k)(2k)(x2k21)，化简整理，得yk2(x3)ky0，该方程对任意k恒成立，故解得故不论k为何值，直线MN恒过点(3,0)1(xx安徽)过点P(，1)的直线l与圆x2y21有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.2(xx广东)若实数k满足0k0，b0)的渐近线与圆(x2)2y22相交，则此双曲线的离心率的取值范围是()A(2，) B(1,2)C(1，) D(，)5已知点F1、F2是椭圆x22y22的左、右两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|的最小值是()A0 B1 C2 D26(xx课标全国)已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4，则|QF|等于()A. B. C3 D27在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_8抛物线y22px(p0)的焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A、B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AKl，垂足为K，若|BC|2|BF|，且|AF|4，则AKF的面积是_9(xx兰州、张掖联考)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则抛物线的方程是_10过双曲线1(a0，b0)的右焦点F向其一条渐近线作垂线，垂足为M，已知MFO30(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为_11已知点A(2,0)，B(2,0)，过点A作直线l与以A，B为焦点的椭圆交于M，N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线l与圆x2y21相切，则该椭圆的标准方程是_学生用书答案精析6解析几何要点回扣问题1(1)错(2)0，)问题25xy0或xy60问题3问题41m3且m13问题51问题6内切问题71问题81问题9解析|AF|BF|xAxB3，xAxB.线段AB的中点到y轴的距离为.查缺补漏1D方法一如图，过点P作圆的切线PA，PB，切点为A，B.由题意知|OP|2，|OA|1，则sin ，所以，BPA.故直线l的倾斜角的取值范围是.方法二设过点P的直线方程为yk(x)1，则由直线和圆有公共点知1.解得0k.故直线l的倾斜角的取值范围是0，2A因为0k9，所以两条曲线都表示双曲线双曲线1的实半轴长为5，虚半轴长为，焦距为22，离心率为.双曲线1的实半轴长为，虚半轴长为3，焦距为22，离心率为，故两曲线只有焦距相等故选A.3D设P(x0，y0)，直线AF的倾斜角为，准线l与x轴交于点B，由题意知，F(2,0)，直线l：x2.又tan ，AFB，|BF|4，|AB|4，即A(2,4)PAl，P(x0，4)，代入y28x得x06，|PF|x028.4C双曲线的渐近线为bxay0，因为它与圆(x2)2y20相交，所以圆心(2,0)到该直线的距离小于圆的半径，即，整理得b2a2，所以c2a2a2，得2，所以1e0.过点B作抛物线的准线的垂线，垂足为B1，则有|BF|BB1|；又|CB|2|FB|，因此有|CB|2|BB1|，cosCBB1，CBB1，即直线AB与x轴的夹角为.又|AF|AK|x14，因此y14sin2，因此AKF的面积等于|AK|y1424.9y23x解析如图，分别过点A，B作准线的垂线AE，BD，分别交准线于点E，D，则|BF|BD|，|BC|2|BF|，|BC|2|BD|，BCD30，又|AE|AF|3，|AC|6，即点F是AC的中点，根据题意得p，抛物线的方程是y23x.102解析由已知得点F的坐标为(c,0)(c)，其中一条渐近线方程为bxay0，则|MF|b，由MFO30可得cos 30，所以，所以e2.11.1解析根据题意，知直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x2)，由题意设椭圆方程为1(a24)，由直线l与圆x2y21相切，得1，解得k2.将代入，得(a23)x2a2xa44a20，设点M的坐标为(x1，y1)，点N的坐标为(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1x2.又线段MN的中点到y轴的距离为，所以|x1x2|，即，解得a28.所以该椭圆的标准方程为1.