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2022届高考数学一轮复习 第九章 概率 第三节 几何概型课时作业1在区间0,1上随机取一个数x,则事件“log0.5(4x3)0”发生的概率为()A.B.C. D解析:因为log0.5(4x3)0,所以04x31,即60x216x600,(x6)(x10)06x0”发生的概率为_解析:由题意知0a1,事件“3a10”发生时,a且a1,取区间长度为测度,由几何概型的概率公式得其概率P.答案:14若在区间4,4内随机取一个数m,在区间2,3内随机取一个数n,则使得方程x22mxn240有两个不相等的实数根的概率为_解析:方程x22mxn240有两个不相等的实数根,0,即(2m)24(n24)0,m2n24,总的事件的集合(m,n)|4m4,2n3,所表示的平面区域(如图中矩形)的面积S8540,而满足条件的事件的集合是(m,n)|m2n24,4m4,2n3,图中阴影部分的面积S4022404,由几何概型的概率计算公式得所求事件的概率P1.答案:1B组能力提升练1在平面区域内随机取一点(a,b),则函数f(x)ax24bx1在区间1,)上是增函数的概率为()A. BC. D解析:不等式组表示的平面区域为如图所示的AOB的内部及边界AB(不包括边界OA,OB),则SAOB448.函数f(x)ax24bx1在区间1,)上是增函数,则应满足a0且x1,即,可得对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界OC,BC,不包括边界OB),由,解得a,b,所以SCOB4,根据几何概型的概率计算公式,可知所求的概率为,故选B.答案:B2在区间,内随机取两个数分别记为a,b,则使得函数f(x)x22axb2有零点的概率为()A. BC. D解析:建立如图所示的平面直角坐标系,则试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD及其内部要使函数f(x)x22axb2有零点,则必须有4a24(b2)0,即a2b2,其表示的区域为图中阴影部分故所求概率P.答案:B3如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是()A.B.C1 D解析:设OAOBr,则两个以为半径的半圆的公共部分面积为2()2()2,两个半圆外部的阴影部分的面积为r2()22,所以所求概率为1.答案:C4在区间0,1上随机取两个数x,y,记p1为事件“xy”的概率,p2为事件“xy”的概率,则()Ap1p2 Bp2p1C.p2p1 Dp1p2解析:如图,满足条件的x,y构成的点(x,y)在正方形OBCA内,其面积为1.事件“xy”对应的图形为阴影ODE,其面积为,故p1,则p1表示以C为圆心,半径为的圆外画出可行域如图所示,可行域的面积为,可行域内的圆外面积为,故概率为1.故选A.答案:A8运行如图所示的程序框图,如果在区间0,e内任意输入一个x的值,则输出的f(x)值不小于常数e的概率是()A. B1C1 D解析:由题意得f(x)如图所示,当1e,故输出的f(x)值不小于常数e的概率是1,故选B.答案:B9. 在区间1,5和2,4分别取一个数,记为a,b,则方程1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为()A. BC. D解析:1表示焦点在x轴上且离心率小于,ab0,a2b.它对应的平面区域如图中阴影部分所示:则方程1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为P1,故选B.答案:B10已知关于x,y的不等式组所表示的区域为M,曲线y与x轴围成的区域为N,若向区域N内随机投一点,则该点落在区域M内的概率为()A. BC. D解析:由已知条件,作出区域M为如图所示的OAB及其内部,而曲线y可化为(x)2y2,其中y0,因而曲线y与x轴围成的区域N为图中的半圆部分,可求得A(,),因而OAB的面积SM,半圆的面积SN,由几何概型的概率计算公式,得所求概率P,故选D.答案:D11已知O,A,B三地在同一水平面内,A地在O地正东方向2 km处,B地在O地正北方向2 km处,某测绘队员在A,B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点,用测绘仪进行测绘,O地为一磁场,距离其不超过 km的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰,使测量结果不准确,则该测绘队员能够得到准确数据的概率是()A. BC1 D1解析:在等腰直角三角形OAB中,以O为圆心,为半径的圆截AB所得的线段长为2,而|AB|2,故该测绘队员能够得到准确数据的概率是11,故选D.答案:D12一只昆虫在边长分别为5,12,13的三角形区域内随机爬行,则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为_解析:如图所示,该三角形为直角三角形,其面积为51230,阴影部分的面积为222,所以其概率为.答案:13(2018南昌质检)在边长为2的正方形ABCD中有一个不规则的图形M,用随机模拟方法来估计不规则图形的面积若在正方形ABCD中随机产生了10 000个点,落在不规则图形M内的点数恰有2 000个,则在这次模拟中,不规则图形M的面积的估计值为_解析:由题意,因为在正方形ABCD中随机产生了10 000个点,落在不规则图形M内的点数恰有2 000个,所以概率P.边长为2的正方形ABCD的面积为4,不规则图形M的面积的估计值为4.答案:14已知正方形ABCD的边长为2,H是边DA的中点在正方形ABCD内部随机取一点P,则满足|PH|的概率为_解析:如图,设E,F分别为边AB,CD的中点,则满足|PH|的点P在AEH,扇形HEF及DFH内,由几何概型的概率计算公式知,所求概率为.答案:15若m(0,3),则直线(m2)x(3m)y30与x轴、y轴围成的三角形的面积小于的概率为_解析:对于直线方程(m2)x(3m)y30,令x0,得y;令y0,得x,由题意可得|,因为m(0,3),所以解得0m2,由几何概型的概率计算公式可得,所求事件的概率是.答案:
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