2022届高考数学二轮复习 专题五 解析几何 课后综合提升练 1.5.2 椭圆、双曲线、抛物线 文

2022届高考数学二轮复习 专题五 解析几何 课后综合提升练 1.5.2 椭圆、双曲线、抛物线 文(40分钟70分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.抛物线y=x2的焦点到双曲线y2-=1的渐近线的距离为()A.B.C.1D.【解析】选B.因为抛物线y=x2的焦点为(0,1),双曲线y2-=1的渐近线的方程为y=x,即x-y=0,所以抛物线y=x2的焦点到双曲线y2-=1的渐近线的距离为d=.2.已知椭圆mx2+4y2=1的离心率为,则实数m等于()A.2B.2或C.2或6D.2或8【解析】选D.焦点在x轴时,a2=,b2=,根据e=,即=m=2,焦点在y轴时,a2=,b2=,即=m=8,所以m等于2或8.3.设F为双曲线C:-=1(a0,b0)的右焦点,B为虚轴的上端点,若直线FB与双曲线C的一条渐近线垂直,则C的离心率为()A.B.C.-1D.【解析】选B.因为直线FB的斜率为-,双曲线C的一条渐近线的斜率为,又因为直线FB与双曲线C的一条渐近线垂直,所以=-1,所以c2-a2=b2=ac,两边都除以a2,得e2-e-1=0,因为e1,所以e=.4.已知双曲线-=1(a0,b0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选D.由已知可得c=2,双曲线渐近线方程为y=x,即aybx=0,a2+b2=c2=8,(x-2)2+y2=3的圆心为(2,0),半径r=,若双曲线渐近线与圆方程相切,则d=,所以b=,所以b2=6,c2=8,a2=2,所以双曲线方程为-=1.5.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,点P是抛物线C上一点,过点P作l的垂线,垂足为A,准线l与x轴的交点设为B,若BAF=30,且APF的面积为12,则以PF为直径的圆的标准方程为()A.(x-2)2+(y+3)2=12或(x-2)2+(y-3)2=12B.(x-3)2+(y+2)2=12或(x-3)2+(y-2)2=12C.(x-2)2+(y+3)2=8或(x-2)2+(y-3)2=8D.(x-3)2+(y+2)2=8或(x-3)2+(y-2)2=8【解析】选A.作出辅助图形如图所示,因为BAF=30,故AFB=60=PAF,由抛物线的定义可知|PA|=|PF|,故APF为等边三角形,因为APF的面积为12,故|PF|=|PA|=|AF|=4,而|BF|=|AF|=2=p,故点P的横坐标为|PA|-=3,代入y2=4x中,解得y=6,故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y3)2=12.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知点F是椭圆C:+=1(ab0)的左焦点,若椭圆C上存在两点P,Q满足=2,则椭圆C的离心率的取值范围是_.【解析】设P(x1,y1),Q(x2,y2),F(-c,0),直线PF:y=k(x+c).因为P,Q满足=2,所以y1=-2y2.由得(b2+a2k2)y2-2kcb2y-b4k2=0,y1+y2=,y1y2=,由得y1=,y2=,代入得b2+a2k2=8c28c2b2=a2-c29c2a2,所以椭圆C的离心率的取值范围是.答案:7.设F1,F2为椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点,经过F1的直线交椭圆C于A,B两点,若F2AB是面积为4的等边三角形,则椭圆C的方程为_.【解析】由题意,知|AF2|=|BF2|=|AB|=|AF1|+|BF1|,又由椭圆的定义知,|AF2|+|AF1|=|BF2|+|BF1|=2a,联立,解得|AF2|=|BF2|=|AB|=a,|AF1|=|BF1|=a,所以=|AB|AF2|sin 60=4,所以a=3,|F1F2|=|AB|=2,所以c=,所以b2=a2-c2=6,所以椭圆C的方程为+=1.答案:+=18.已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,过点F的直线与抛物线C交于M,N两点,且|MN|=8,则线段MN的中点到抛物线C的准线的距离为_.【解析】分别过点M,N作抛物线C的准线的垂线,垂足分别为P,Q,由抛物线的定义知,|MP|=|MF|,|NQ|=|NF|,则|MP|+|NQ|=|MN|=8.线段MN的中点到抛物线C的准线的距离为梯形MNQP的中位线的长度,即(|MP|+|NQ|)=4.答案:4三、解答题(每小题10分,共30分)9.如图,已知椭圆+=1(ab0)的右顶点和上顶点分别为A,B,|AB|=,离心率为.(1)求椭圆的标准方程.(2)过点A作斜率为k(k0)的直线l与椭圆交于另外一点C,求ABC面积的最大值,并求此时直线l的方程.【解析】(1)由题意得解得所以,椭圆方程为+y2=1.(2)kAB=-,设与AB平行的椭圆的切线方程为y=-x+m,联立方程组得消去y得x2-2mx+2m2-2=0,=4m2-4(2m2-2)=0,解得m=.因为k0,所以m=-.代入到中得x=-,代入到y=-x-得y=-,所以当取C的坐标是时,ABC的面积最大.此时C点到AB的距离为d=,SABC=+1.此时,直线l的方程是y=x-+1.10.已知点M(1,m)在抛物线C:y2=2px(p0)上,点M到抛物线C的焦点F的距离为.(1)求m的值.(2)若直线y=kx+2与x轴交于点N,与抛物线C交于A,B,且=2,求k的值.【解析】(1)由已知:1+=,所以p=3.所以抛物线方程:y2=6x,把M(1,m)代入,得:m=.(2)由已知k0,N,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去x,得:ky2-6y+12=0,由=36-48k0,得k且k0,且y1+y2=,y1y2=,因为=2,所以=.即y1=2y2由联立可得:k=,满足kb0)的左顶点为A(-2,0),且过点.(1)求椭圆C的标准方程及离心率.(2)若直线l:x=ty-1交椭圆C于P(x1,y1),Q(x2,y2).求证:y1y2=-;若APQ的面积为,求t的值.【解析】(1)由题意得:a=2,又因为椭圆过点,所以+=1,所以b=1.因为c2=a2-b2,所以c=,所以离心率e=,所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)由题意,联立整理得:(t2+4)y-2ty-3=0,所以y1+y2=,y1y2=-,所以y1y2=-成立.由题意得,直线l:x=ty-1恒过(-1,0).设直线l与x轴交于点M,则M(-1,0),所以|AM|=1.因为|y1-y2|=,所以SAPQ=|AM|y1-y2|=,所以4t4+7t2-11=0,所以t2=1,或t2=-(舍),所以t=1.(20分钟20分)1.(10分)双曲线x2-=1(b0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过F2且与双曲线交于A,B两点(1)若l的倾斜角为,F1AB是等边三角形,求双曲线的渐近线方程.(2)设b=,若l的斜率存在,且(+)=0,求l的斜率.【解析】(1)方法一:设A(xA,yA).由题意,F2(c,0),c=,=b2(c2-1)=b4,因为F1AB是等边三角形,所以2c=|yA|,即4(1+b2)=3b4,解得b2=2,故双曲线的渐近线方程为y=x.方法二:由题可知A(c,b2),因为F1AB是等边三角形,所以tan 30=.即4(1+b2)=3b4,解得b2=2,故双曲线的渐近线方程为y=x.(2)由已知,b=,所以c2=1+b2=4,所以F1(-2,0),F2(2,0).由题意可得,直线l的方程为y=k(x-2),显然k0.由得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0.因为l与双曲线交于两点,所以k2-30,且=36(1+k2)0.设A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=,x1x2=.方法一:设AB的中点为M(xM,yM).由(+)=0,即=0,知F1MAB,故k=-1.而xM=,yM=k(xM-2)=,=,所以k=-1,得k2=,显然符合题意,故l的斜率为.方法二:因为=(x1+2,y1),=(x2+2,y2),=(x2-x1,y2-y1)由(+)=0得(x1+x2+4)(x2-x1)+(y1+y2)(y2-y1)=0整理得(1+k2)(x1+x2)+4-4k2=0,即20k2=12 所以k2=,显然符合题意,故l的斜率为.2.(10分)已知椭圆C:+=1(ab0)的长轴长为4,焦距为2.(1)求椭圆C的方程.(2)过动点M(0,m)(m0)的直线交x轴于点N,交C于点A,P(P在第一象限),且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B.设直线PM,QM的斜率分别为k,k,证明为定值.求直线AB的斜率的最小值.【解题指南】(1)由长轴长为4,焦距为2,可得a=2,c=,方程易得.(2)设出点P坐标,易得点Q坐标,表示出直线PM,QM的斜率分别为k与k,它们之比易得;借助上述关系可以方便计算直线AB的斜率,此外理清直线截距与斜率k之间的关系是解决问题的又一关键.【解析】(1)由题意a=2,c=,所以b2=2,所以椭圆方程为+=1.(2)由题意,设P,则Q(p,-2m),直线PA的斜率 k=,其中0m20.将直线y=Kx+m与椭圆方程联立,可得,x2+4Kmx+2m2-4=0.设A,B,直线PA:y=kx+m,直线QB:y=-3kx+m,分别令K=k,K=-3k可得:x1p=,x2p=,所以,kAB=(当且仅当k=时取等号).所以,直线AB的斜率的最小值为.