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13.1函数的单调性与导数(一)学习目标1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间知识点一函数的单调性与导函数的关系思考观察图中函数f(x)，填写下表导数值切线的斜率倾斜角曲线的变化趋势函数的单调性f(x)0k0锐角上升递增f(x)0k0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)如果f(x)0，解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为减区间1函数f(x)在定义域上都有f(x)0.()类型一函数图象与导数图象的应用例1已知函数yf(x)的定义域为1,5，部分对应值如下表f(x)的导函数yf(x)的图象如图所示.x1045f(x)1221给出下列关于函数f(x)的说法：函数yf(x)是周期函数；函数f(x)在0,2上是减函数；如果当x1，t时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；当1a2时，函数yf(x)a有4个零点其中正确说法的个数是()A4 B3C2 D1考点函数的单调性与导数的关系题点根据导函数的图象确定原函数图象答案D解析依题意得，函数f(x)不可能是周期函数，因此不正确；当x(0,2)时，f(x)0，因此函数f(x)在0,2上是减函数，正确；当x1，t时，若f(x)的最大值是2，则结合函数f(x)的可能图象分析可知，此时t的最大值是5，因此不正确；注意到f(2)的值不明确，结合函数f(x)的可能图象分析可知，将函数f(x)的图象向下平移a(1a0，则yf(x)在(a，b)上单调递增；如果f(x)0，则yf(x)在这个区间上单调递减；若恒有f(x)0，则yf(x)是常数函数，不具有单调性(2)函数图象变化得越快，f(x)的绝对值越大，不是f(x)的值越大跟踪训练1已知yxf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，则所给四个图象中，yf(x)的图象大致是()考点函数的单调性与导数的关系题点根据导函数图象确定原函数图象答案C解析当0x1时，xf(x)0，f(x)1时，xf(x)0，f(x)0，故yf(x)在(1，)上为增函数故选C.类型二利用导数求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间(1)yx2ln x；(2)yx(b0)考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求不含参数函数的单调区间解(1)函数yx2ln x的定义域为(0，)，又y.若y0，即解得x1；若y0，即解得0x0，则(x)(x)0，所以x或x.所以函数的单调递增区间为(，)，(，)令f(x)0，则(x)(x)0，所以x0，函数在解集所表示的定义域内为增函数(4)解不等式f(x)0，函数在解集所表示的定义域内为减函数跟踪训练2函数f(x)(x22x)ex(xR)的单调递减区间为_考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求不含参数函数的单调区间答案(2，2)解析由f(x)(x24x2)ex0，即x24x20，解得2x0，得x1，由f(x)0，得0x0时，f(x)，a0，0.由f(x)0，得x1，由f(x)0，得0x0，所以f(x)在(，)上单调递增若a0，则当x(，ln a)时，f(x)0.所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增综上所述，当a0时，函数f(x)在(，)上单调递增；当a0时，f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增.1函数f(x)xln x()A在(0,6)上是增函数B在(0,6)上是减函数C在上是减函数，在上是增函数D在上是增函数，在上是减函数考点函数的单调性与导数的关系题点利用导数值的正负号判定函数的单调性答案A2若函数f(x)的图象如图所示，则导函数f(x)的图象可能为()考点函数的单调性与导数的关系题点根据原函数图象确定导函数图象答案C解析由f(x)的图象可知，函数f(x)的单调递增区间为(1,4)，单调递减区间为(，1)和(4，)，因此，当x(1,4)时，f(x)0，当x(，1)或x(4，)时，f(x)0，即ln x10，得x.故函数f(x)的单调递增区间为.4若函数f(x)x3bx2cxd的单调递减区间为1,2，则b_，c_.考点利用导数求函数的单调区间题点已知单调区间求参数值答案6解析f(x)3x22bxc，由题意知，f(x)0即3x22bxc0的两根为1和2.由得5试求函数f(x)kxln x的单调区间考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求含参数函数的单调区间解函数f(x)kxln x的定义域为(0，)，f(x)k.当k0时，kx10，f(x)0时，由f(x)0，即0，解得0x0，即0，解得x.当k0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.综上所述，当k0时，f(x)的单调递减区间为(0，)；当k0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.1导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度2利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0和f(x)0，所以在(4,5)上，f(x)是增函数2函数yf(x)的图象如图所示，则导函数yf(x)的图象可能是()考点函数的单调性与导数的关系题点根据原函数图象确定导函数图象答案D解析函数f(x)在(0，)，(，0)上都是减函数，当x0时，f(x)0，当x0时，f(x)0)，函数在(，0)上单调递减，在(0，a)上单调递增，在(a，)上单调递减，故选C.4函数f(x)xex的一个单调递增区间是()A1,0 B2,8C1,2 D0,2考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求不含参数的函数的单调区间答案A解析因为f(x)(1x)ex0，又因为ex0，所以x0，yxex在(0，)内为增函数6.函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，若ABC为锐角三角形，则下列不等式一定成立的是()Af(cos A)f(cos B)Bf(sin A)f(sin B)Df(sin A)f(cos B)考点利用导数研究函数的单调性题点比较函数值的大小答案D解析根据图象知，当0x0，f(x)在区间(0,1)上是增函数ABC为锐角三角形，A，B都是锐角且AB，则0BA，则sinsin A，0cos Bsin Af(cos B)7定义在R上的函数f(x)，若(x1)f(x)2f(1)Bf(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)2f(1)Df(0)f(2)与2f(1)大小不定考点利用导数研究函数的单调性题点比较函数值的大小答案C解析(x1)f(x)1时，f(x)0，x0，则f(x)在(1，)上单调递减，在(，1)上单调递增，f(0)f(1)，f(2)f(1)，则f(0)f(2)2f(1)二、填空题8若函数f(x)的导函数为f(x)x24x3，则函数f(x1)的单调递减区间是_考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求不含参数的函数的单调区间答案(0,2)解析由f(x)x24x3，f(x1)(x1)24(x1)3x22x，令f(x1)0，解得0x2，所以f(x1)的单调递减区间是(0,2)9.在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式xf(x)0的解集为_考点函数的单调性与导数的关系题点利用单调性确定导数值的正负号答案(，1)(0,1)解析由xf(x)0可得，或由题图可知当1x1时，f(x)0，当x1时，f(x)0，则或解得0x1或x1，xf(x)0，解得x0，故f(x)的单调递增区间为(0，)11已知函数f(x)2x3ax21(a为常数)在区间(，0)，(2，)上单调递增，且在区间(0,2)上单调递减，则a的值为_考点利用导数求函数的单调区间题点已知单调区间求参数值答案6解析由题意得f(x)6x22ax0的两根为0和2，可得a6.12定义在R上的函数f(x)满足f(1)1，f(x)2x1的x的取值范围是_考点利用导数研究函数的单调性题点构造法的应用答案(，1)解析令g(x)f(x)2x1，则g(x)f(x)2g(1)0时，x0，即f(x)2x1的解集为(，1)三、解答题13已知函数f(x)x3bx2cxd的图象经过点P(0,2)，且在点M(1，f(1)处的切线方程为6xy70.(1)求函数yf(x)的解析式；(2)求函数yf(x)的单调区间考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求不含参数的函数的单调区间解(1)由yf(x)的图象经过点P(0,2)，知d2，f(x)x3bx2cx2，f(x)3x22bxc.由在点M(1，f(1)处的切线方程为6xy70，知6f(1)70，即f(1)1.又f(1)6，即解得bc3，故所求函数解析式是f(x)x33x23x2.(2)f(x)3x26x3.令f(x)0，得x1；令f(x)0，得1x0，试讨论f(x)的单调性考点利用导函数求函数的单调区间题点利用导数求含参数的函数的单调区间解f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.令g(x)x2ax2，其判别式a28.(1)当0，即0a0，都有f(x)0，此时f(x)是(0，)上的单调递增函数；(2)当0，即a2时，当且仅当x时，有f(x)0，对定义域内其余的x都有f(x)0，此时f(x)也是(0，)上的单调递增函数；(3)当0，即a2时，方程g(x)0有两个不同的实根：x1，x2，0x1x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)即f(x)在和上单调递增；在上单调递减.14
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